Résolution d'équations aux distributions

nyadis

J'aimerais avoir des idées sur la résolution des équations suivantes au sens des distributions. 

1) $x^mf =0 $ où $m$ est un entier.
2) $f'=0$ pour celle ci le résultat est une constante mais j'ai du mal à formaliser la preuve.

3) $f'-f=0$ pour celle ci je pense en multipliant par $e^{-x}$ on obtient quelque-chose plus simple et on peut utiliser le résultat 2. Mon problème c'est celui de savoir à quel point cette façon de réécrire $e^{-x}f'-e^{-x}f=(e^{-x}f)'$ est consistant avec la notion de distribution. 

Merci 

Philippe Malot

Bonjour,
Cela dépend un peu des connaissances que tu as déjà sur le sujet.
Si tu n'as que les définitions, il faut être malin et creuser un peu.
Dans un premier temps, il faut commencer par expliciter clairement ce que signifie l'équation (car une distribution est une fonction définie sur un espace de fonctions).
Par exemple, pour la 1) (je suppose que $m$ est un nombre entier naturel non nul), dire que $x^mf=0$ signifie que pour tout fonction test $\varphi$, on a \[\langle x^mf,\varphi\rangle=\langle f,x^m\varphi\rangle=0\;.\].
Autrement dit, si $\psi$ est une fonction test de la forme $x^m\varphi$, alors $\langle f,\psi\rangle=0$. 
Il faut maintenant réfléchir à ce qu'on peut faire avec cela ! 
Est-ce que toute fonction test peut s'écrire de cette façon ? Sinon, est-ce qu'on peut toujours décomposer une fonction test en une fonction qui s'écrit de cette façon plus une autre fonction ?
Il faut avoir quelques connaissances en calcul différentiel et de l'intuition pour y arriver.
Pour la 2), dire que $f'=0$ revient à dire que \[\langle f',\varphi\rangle=-\langle f,\varphi'\rangle=0\;,\] donc que $f$ s'annule sur toutes les fonctions test qui s'écrivent comme la dérivée d'une fonction test.
On peut alors se poser la question : quelles sont ces fonctions ?
Pour la 3), on peut effectivement faire ce genre de manipulations, encore faut-il savoir pourquoi c'est possible !

nyadis

Merci, pour le point 3) je n'ai vraiment aucune idée du pourquoi cela pourrait être vrai avec les distributions. 

Philippe Malot

Il y a deux choses à vérifier : 
- Est-ce que $f'-f=0$ équivaut à $e^{-x}f'-e^{-x}f=0$ ?
- Est-ce que $e^{-x}f'-e^{-x}f=(e^{-x}f)'$ ?
Il suffit dans chaque cas de revenir aux définitions !
Qu'est-ce que la multiplication d'une distribution par une fonction de classe $C^\infty$ et qu'est-ce que la dérivée d'une distribution ?

bd2017

Pour le 1.  avec  $m=1$ c'est assez classique.