Quotient de factorielles

Piteux_gore

Bonjour,
Si $m \ge \alpha + \beta + \gamma + \delta$, alors $\frac {m!} {\alpha! \beta! \gamma! \delta!}$ est un nombre entier.
A tantôt...

Math Coss

C'est $(m-n)!$ fois le coefficient de $a^\alpha b^\beta c^\gamma d^\delta$ dans le développement de $(a+b+c+d)^n$, avec $n=\alpha+\beta +\gamma+\delta$.
Edit : rectification.

jandri

$\dbinom{a+b}{a}\dbinom{c+d}{c}\dbinom{a+b+c+d}{a+b}\dfrac{m!}{(a+b+c+d)!}$  (j'ai remplacé les lettres grecques par $a,b,c,d$).

Piteux_gore

Corollaire : si $m > a + b + c$, alors $m \ge  1 + a + b + c$ et donc $m!/a!b!c! = m!/1!a!b!c!$ est entier.
Reste à étudier le cas $m = a + b + c$...

Titi le curieux

Bonjour,

@Piteux_gore : je crois que tu as mal compris la réponse de Math Coss. Tu devrais te renseigner sur les coefficients multinomiaux.

   En général si tu as un entier $m$ et une famille $(a_i)_{i\in |[1,n]|}\in \mathbb{N}^n$ avec $\displaystyle \sum_{i= 1}^{n} a_i \leq m$ tu auras $ m! \displaystyle \prod_{i=1}^n \frac{1}{a_i !} $ est un entier. En particulier si $\displaystyle \sum_{i= 1}^{n} a_i = m$, c'est un coefficients multinomial. Si tu veux, tu peux, dans ce cas, remarquer que : $ m! \displaystyle \prod_{i=1}^n \frac{1}{a_i !} = \prod_{i=1}^{n-1} \binom{m- \displaystyle \sum_{k<i} a_k}{a_i} $ .

Edit: oups pardon, je ne suis plus si sûr d'avoir compris la dernière remarque, mais si on a: $\displaystyle \sum_{i\in |[1,n]|, a_i \neq 1} a_i \leq m$, ça reste un entier.

Chaurien

Autres idées.

1. Autre interprétation des  coefficients multinomiaux.  Si  $m=\alpha+\beta+\delta+\gamma$, alors $\frac {m !} {\alpha ! \beta ! \gamma! \delta !}$ est le nombre de permutations avec répétitions de $m$ objets, mais juste $4$ distincts, répétés respectivement $\alpha$ fois, $\beta$ fois,  $  \gamma$ fois, $\delta $ fois. 

Par exemple le nombre d'anagrammes du mot MISSISSIPPI est $\frac {11!}{1!2!4!4!}$.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Permutation_avec_répétition

2. On applique la formule de Legendre donnant la $p$-valuation $v_p(n!)$ :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Legendre

et le résultat est la conséquence de $\left\lfloor {x+y+z+t}\right\rfloor $$ \ge \left\lfloor {x}\right\rfloor+\left\lfloor {y}\right\rfloor +\left\lfloor {z}\right\rfloor+\left\lfloor {t}\right\rfloor $.

3. On peut aussi bricoler un raisonnement par récurrence, en rédigeant soigneusement.

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Il existe plusieurs problèmes à propos de quotients de factorielles qui se révèlent être des entiers, 

par exemple $\frac {(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!} $ (OIM 1972-3).

Piteux_gore

On pourrait concocter un exercice sympa là-dessus :
cas de deux nombres ; cas de quatre ; cas de trois ; cas général... avec diverses solutions.

Chaurien

https://people.brandeis.edu/~gessel/homepage/slides/int-quot.pdf

Titi le curieux

Bonjour, 
 Un peu plus fort que le problème initial de piteux_gore soit $(A,f)$ avec $A$ une partie de $|[1,m]|$ et $f$ une fonction de $A$ dans $\mathbb{N} \setminus \{0\}$ telle que $\displaystyle \sum_{x \in A} x f(x) =m$ prouvez que :

 $ m! \displaystyle \prod_{x\in A } \frac{1}{(f(x))! (x!)^{f(x)}}$ est un entier (éventuellement en citant un problème de dénombrement dont ce truc est solution). 

Piteux_gore

Pour en revenir à l'exercice initial
il suffit de prouver que $(a+b+c+d)!/a!b!c!d!$ est entier, ce qui est est une conséquence de $(m+n)!/m!n!$ entier.
En effet, $(a+b+c+d+k)!/a!b!c!d! = (a+b+c+d)!/a!b!c!d! \times (a+b+c+d+1)...(a+b+c+d+k)$.

Piteux_gore

Pour trois nombres, on a
$(m+n+p)!/m!n!p! = (m+n+p)!/(m+n)!p! \times (m+n)!/m!n!$.