Calcul d'une dérivée au sens des distributions.

nyadis

Bonjour, 
J'étudie un peu indépendamment la théorie des distributions. Je suis tombé sur cet exercice et je ne sais pas trop comment l'aborder;

Soit \( S = [-1,1] \times [-1,1] \)  et soit \( u \) telque    \(\left.u\right|_S = 1 \) et \( u = 0 \) ailleurs. Trouver

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} $$

au sens généralisé.

Je suppose qu'il s'agit de calculer des dérivés au sens des distributions. Le problème c'est que je ne sais pas comment exploiter la définition de la distribution $u$ et le fait qu'il s'agit d'une fonction à deux variables. Le cours que j'ai n'est basé que sur des distributions à une variable. 

bd2017

Bonjour

Il faut revenir à la définition 

$$ <\dfrac{\partial^2 u }{\partial x\partial y}, \varphi> =< u,  \dfrac{\partial^2 \varphi }{\partial x\partial y} >=  \iint_{\R^2 } u  \dfrac{\partial^2 \varphi }{\partial x\partial y}  dx dy=\iint_{[0,1]^2 }   \dfrac{\partial^2 \varphi }{\partial x\partial y}  dx dy $$

puis calculer cette dernière intégrale en fonction de $\varphi$  avec l'aide de la formule de Green (intégrations par parties)

Philippe Malot

Bonjour,
Cela fonctionne de la même manière que dans $\R$.
Par définition, on a, pour tout $\varphi\in\mathcal D(\R^2)$, 
\[\langle u,\varphi\rangle=\int_{\R^2}u\varphi=\int_{[-1,1]^2}\varphi\;.\]

Pour les dérivées partielles, on peut le faire en deux fois en dérivant par rapport à chacune des variables ou bien directement, le tout étant de le multiplier par le bon facteur $(-1)^{\lvert\alpha\rvert}$ où $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ et $\lvert\alpha\rvert=\alpha_1+\ldots+\alpha_n$ est l'ordre de dérivation.
Ici, on a $\alpha=(1,1)$ puisqu'on dérive une fois par rapport à $x$ et une fois par rapport à $y$, donc on a simplement, pour tout $\varphi\in\mathcal D(\R^2)$ : 
\[\left\langle\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y},\varphi\right\rangle=(-1)^2\left\langle u,\frac{\partial^2\varphi}{\partial x\partial y}\right\rangle=\int_{[-1,1]^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial x\partial y}\;.\]

Il est ensuite facile de terminer il me semble.

Edit : bd2017 a été plus rapide que moi 

nyadis

\[\left\langle \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}, \varphi \right\rangle = \left\langle u, \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x \partial y} \right\rangle\]

\[\left\langle \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}, \varphi \right\rangle = \iint_{S} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x \partial y} \, dx \, dy\]

intégration par parties

$$\int_{-1}^1\left[\left.\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right|_{y=-1} ^{y=1}\right] d x=\left[\left.\varphi\right|_{x=-1} ^{x=1}\right]_{y=-1}^{y=1}-\int_{-1}^1\left[\left.\varphi\right|_{x=-1} ^{x=1}\right] d y$$

De sorte que

\[\left\langle \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}, \varphi \right\rangle = \varphi(1,1) - \varphi(-1,1) - \varphi(1,-1) + \varphi(-1,-1)\]

\[\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \delta_{(1,1)} - \delta_{(-1,1)} - \delta_{(1,-1)} + \delta_{(-1,-1)}\]

Juste pour confirmation ! 

Est ce que il y'a une façon plus rapide de procéder en invoquant la formule de Green ? 

bd2017

Oui cela semble correct.  Je me suis trompé sur $S=[0,1]^2?$ c'est $S=[-1,1]^2?$ 

gebrane

On peut voir $u$ comme égale à $  H(1 - |x|) \cdot H(1 - |y|)$ où $H$ est la fonction de Heaviside

Renart

@nyadis : dans le cas d'un carré la formule de Green (si l'on parle bien de Green-Riemann ?) revient exactement à faire l'IPP que tu as écrite. On écrit $\partial_{xy}^2 \varphi = \partial_xQ-\partial_y P$ avec, par exemple, $Q= \partial_y \varphi$ et $P=0$ puis on applique la formule. Ce n'est pas vraiment plus rapide dans ce cas.

Autre méthode au passage si l'on connait le produit tensoriel de distributions.  On voit que $u= \chi\otimes \chi$ où $\chi$ est l'indicatrice de $[-1;1]$. Par conséquent \[\partial^2_{xy} u = (\partial_x \chi_x) \otimes (\partial_y \chi_y) = \chi'\otimes \chi' \] et on sait que $\chi' = \delta_{-1} - \delta_1$ d'où $\partial^2_{xy} u = \delta_{-1}\otimes \delta_{-1} - \delta_{-1}\otimes \delta_{1}-\delta_{1}\otimes \delta_{-1} + \delta_{1}\otimes \delta_{1}$. Pour finir on sait que $\delta_a\otimes \delta_b = \delta_{(a,b)}$ donc on retrouve la formule annoncée :  \[ \partial^2_{xy} u =\delta_{(1,1)} - \delta_{(-1,1)} - \delta_{(1,-1)} + \delta_{(-1,-1)}.   \]

nyadis

Merci