$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=n}^{2n} (H_{2k} - H_{k-1}) $

gebrane

Bonjour,

edit je me suis trompé, cette limite n'est pas $\ln (2) $ merci @Chaurien

Mais je pose la question 

Calculer $$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=n}^{2n} (H_{2k} - H_{k-1}) $$

Chaurien

Je ne suis pas certain que ce soit vrai.

Chaurien

Soir $u_{n}=H_{2n}-H_{n-1}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}$ ($n+1$ termes). 

On sait que : $u_{n}\rightarrow \ell =\ln 2>0$.

On a : $S_{n}=\sum_{k=n}^{2n}u_{k}>u_{n}+u_{2n}$, qui a pour limite $2 \ell$.
Il est donc impossible que  $S_{n}\rightarrow \ell $.

Chaurien

Plus précisément :  $u_{n-1}-u_{n}=\frac{1}{n-1}-(\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n})=\frac{3n-1}{2n(n-1)(2n-1)}>0$.
La suite $u_{n}$ est donc  décroissante, d'où :  $S_{n}=\sum_{k=n}^{2n}u_{k} > (n+1)u_{2n}\rightarrow +\infty $.

Chaurien

Encore plus précisément : $(n+1)u_{2n} <S_n<(n+1)u_n$, d'où $S_n \sim n \ln 2$ quand $n \rightarrow + \infty$.

Ne pas oublier le $+$ à $+\infty$, selon notre usage.

gebrane

Merci Chaurien tu m'as réveillé d un sommeil profond

Chaurien

En fait pas besoin de monotonie. Un calcul immédiat montre que si $u_n$ est une suite réelle ou complexe, si  $\lim_{n \rightarrow + \infty} u_n= \ell$, si $Z_n=\sum_{k=n+1}^{2n} u_k$, alors $\lim_{n \rightarrow + \infty} \frac {Z_n} n= \ell$.