Développement en série entière oral Magistère 2024

OShine

Bonjour,
Je planche sur cet exercice.

Exercice : oral Magistère 2 024.
Soit $(a_n)_{n \in \N} \in \{-1,1\}^{\N}$. On note $f$ la somme de la série entière : $z \mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a_n}{n!} z^n$.
On suppose que $\forall x \geq 0 \ , \ \forall k \in \N \ , \ |f^{(k)} (x)|  \leq 1$.
1) Montrer que : $\forall n \in \N \ , \ a_n a_{n+1} \leq 0$.
2) En déduire une expression de $f$.

lourrran

Souvent dans un exercice 'compliqué', la démarche, c'est d'ajouter des questions intermédiaires.
Un exercice du type : montrer que (propriété compliquée), on peut souvent le décomposer en 
Q1) Calculer xxx_simple
Q2) En déduire (propriété simple)
Q3) En déduire (propriété compliquée)

Quelles questions intermédiaires envisages-tu ?

JLapin

Attends un peu : il n'a pas dit qu'il bloquait...

OShine

@lourrran
J'ai commencé à regarder les résultats de cours qui pourraient être utiles.
Première étape : calculer la dérivée k-ième de $f$.

lourrran

1ère étape, calculer la dérivée k-ième de f : OUI !
par contre, je ne vois pas pourquoi tu as copié une copie de cours à cet endroit.
Ferme tous tes livres, et branche ton cerveau.
Tu cherches quoi dans ton livre ?

OShine

1) Par l'absurde, supposons qu'il existe $k \in \N$ tel que : $a_k a_{k+1} >0$.
Alors : $\boxed{a_k = a_{k+1}=\pm 1}$.
Il ne faut pas commencer par déterminer le rayon de convergence de la série entière ? 
On pose : $u_{n}=\dfrac{a_n}{n!}$.
On a : $\Big\lvert \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \Big\rvert= \Big\lvert \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \dfrac{1}{n+1} \Big\rvert =\dfrac{1}{n+1} \longrightarrow 0$ donc le rayon de convergence de la série entière $\displaystyle\sum_{n} \dfrac{a_n}{n!} z^n$ vaut $+\infty$.
Ainsi, $\forall x \geq 0 \ f^{(k)} (x)=\displaystyle\sum_{n=k}^{+\infty} \dfrac{a_n}{(n-k)!} x^n$.
Donc : $\boxed{\forall x \geq 0 \ f^{(k)} (x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a_{n+k}}{n!} x^n}$.
Je bloque ici, je ne vois pas comment utiliser l'hypothèse : $|f^{(k)}(x)| \leq 1$.

JLapin

Commence par traiter le cas $a_0a_1>0$ en faisant une étude de f au voisinage de 0.

OShine

D'accord merci.

1 (suite) ) 
On a : $\forall x \geq 0 \ f^{(k)}(x)=a_k + a_{k+1}x + x g(x)$ où : $g(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{a_{n+k}}{n!} x^{n-1}$.
Montrons que :  $\lim\limits_{x \rightarrow 0} g(x)=0$.
On a : $|g(x)| \leq \displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{x^{n-1}}{n!} \leq \displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{x^{n}}{n!}=e^x-1 \longrightarrow_{0} 0$.
Donc : $\boxed{\lim\limits_{x \rightarrow 0} g(x)=0}$.
Ainsi, il existe $a>0$ tel que $\forall x \in [0,a] \ , \ |g(x)| < \dfrac{1}{2}$.
Raisonnons par disjonction de cas :  

• Si $a_k =a_{k+1}=1$, alors : $\forall x \in [0,a] \ |f^{(k)}(x)| =f^{(k)}(x) > 1+ \dfrac{x}{2}$.

• Si $a_k =a_{k+1}=-1$, alors : $\forall x \in [0,a] \ |f^{(k)}(x)| =-f^{(k)}(x) > 1+ \dfrac{x}{2}$.

Ainsi : $\boxed{\forall x \in [0,a] \ ,  |f^{(k)}(x)| > 1+ \dfrac{x}{2}}$.
Ce qui contredit l'hypothèse.
On a montré : $\boxed{\forall n \in \N \ a_n a_{n+1} <0}$.

OShine

La 2 est rapide. 
2) On remarque que :  
$a_n = \begin{cases} (-1)^n \ \text{si} \ a_0=1 \\  (-1)^{n+1} \ \text{si} \ a_0=-1
   \end{cases} $
Finalement :  
$\boxed{\forall z \in \R \ f(z) = \begin{cases} e^{-z} \ \text{si} \ a_0=1 \\  -e^{-z} \ \text{si} \ a_0=-1
   \end{cases}}$