une intégrale

gimax

Bonjour

Je sèche sur l'exercice suivant :

Calculer $\displaystyle \int_{\Delta} \cos((x+y)^2) dxdy$ où $\Delta=\{(x,y) \in [0,1]^2, \ x \leq y\}$.

J'ai essayé divers changements de variables ($(x,y) \mapsto (x+y, x-y)$, $(x,y) \mapsto ((x+y)^2, y)$, $(x,y) \mapsto (x^2+y^2, 2xy)$...) mais je n'arrive pas à aboutir.
Toute idée ou remarque sera le bienvenu !
GImax

Lirone93

Passage en coordonnées « polaires » dans le plan ?

gimax

Alors je n'ai pas essayé les polaires car ça ne me paraissait pas pouvoir aider, d'une part à cause du domaine de $\Delta$ dont l'expression en polaires me paraît compliquée (en tout cas plus qu'en cartésiennes) et d'autre part parce que $(x+y)^2$ devient $r^2 + 2r\cos \theta \sin \theta$ ce qui ne me semble pas non plus simplifier les calculs...

Lirone93

 $dx\ dy=r\ d\theta\ dr$.
 $\Delta=P(r,\theta)$ du plan, en coordonnées polaires où $r \in [0;1]$ et $\theta \in [0;\frac{\pi}{4}]$

Mais effectivement, ça n'a pas l'air d'aider.

Edit : correction suite message de bd2017.

Lirone93

Une récurrence à établir ?

bd2017

Bonjour, il n'y a pas d'expression simple du calcul de cette intégrale sauf si tu utilises une fonction spéciale .
Le passage en coordonnées polaires n'est pas correct 
Et par ailleurs il n'apporte rien. 
Vu la symétrie de x et y , on peu intégrer sur sur le carré $[0;1]^2$ .

etanche

On peut développer en série entière cosinus et intégrer sur delta $(x+y)^{2n}$

YvesM

Bonjour,
On définit $\displaystyle \Delta = \{(x,y) \in [0,1]^2, x \leq y \}$ ; l’intégrale $\displaystyle I = \iint_\Delta \cos((x+y)^2) dx dy$ existe puisque l'intégrande est continu et borné sur $\displaystyle \Delta.$ Par la symétrie d’échange des variables $x$ et $y$ on a $\displaystyle I = {1 \over 2} \iint_{[0,1]^2} \cos((x+y)^2) dx dy.$
On reconnait une intégrale de Fresnel $\displaystyle C(u) = \int_0^u \cos({\pi \over 2} x^2)dx$ dont on établit une primitive par intégration par parties $\displaystyle \int C(u) du = u C(u) - {1 \over \pi} \sin({\pi \over 2} u^2).$ Voilà !

gimax

Merci pour vos réponses.

@YvesM, je n'ai pas compris comment tu passes de $I$ à $C(u)$, tu pourrais détailler s'il te plaît ?

YvesM

Bonjour,
$\displaystyle \int_0^1 \cos((x+y)^2) dy = \sqrt{\pi\over 2} \big( C(\sqrt{2\over \pi} (x+1) - C(\sqrt{2\over \pi} x) \big).$

gimax

Merci @YvesM

Fin de partie

\begin{align}J&=\int_0^1 \left(\underbrace{\int_0^y\cos((x+y)^2)dx}_{u(x)=x+y}\right)dy\\
&=\int_0^1\left(\int_y^{2y}\cos(u^2)du\right)dy\\
&\overset{\text{IPP}}=\left[y\left(\int_y^{2y}\cos(u^2)du\right)\right]_{y=0}^{y=1}-\int_0^1 y\left(2\cos(4y^2)-\cos(y^2)\right)dy\\
&=\int_1^2\cos(u^2)du-\left[\frac{\sin(4y^2)}{4}-\frac{\sin(y^2)}{2}\right]_{y=0}^{y=1}\\
&=\int_1^2\cos(u^2)du-\frac{\sin 4}{4}+\frac{\sin 1}{2}
\end{align}
Je doute qu'il y ait une expression simple de l'intégrale n'utilisant pas de fonctions spéciales sorties de derrière les fagots.

gimax

Merci à toi @Fin de partie !