La moyenne des minimums des parties de cardinal $r$

amafhh

bonjour,

J'ai essayé pour cet exercice

Soit $n\in \mathbb{N}^{\star}$ et $r\in \{1,...,n\}.$

Montrer que la moyenne $M$ des minimums des parties de $\{1,...,n\}$ de cardinal $r$ est égale à $M=\frac{n+1}{r+1}$.

Ma réponse: j'ai trouvé $ M=\sum_{m=1}^{n-r+1}\frac{mC_{n-m}^{r-1}}{C_{n}^{r}} $.

1) Est-elle juste ?

2) Si oui comment trouvé le résultat donner dans l'énoncé.

Merci pour l'aide

bd2017

Bonjour

Oui c'est exact.  La simplification vient de l'identité $$\sum_{m=1}^{n-r-1} m C_{n-m}^{r-1} =\dfrac{n (n+1)}{r (r+1) } C_{n-1}^{r-1}$$.

Pour le démontrer, on peut  utiliser le développement de $(1+X)^{n-m}$  et puis le dériver pour faire apparaîre le facteur $m.$

Chaurien

Attaque probabiliste. 

 • Ne pas oublier que si $m \in \mathbb N$,  $q \in \mathbb N$, $m<q$, alors $\binom{m}{q}=0$.

 • Soit $n \in \mathbb N^*$ et $r \in \{1,2,...,n\}$.  On tire au hasard une $r$-partie de $\{1,2,...,n\}$ et l'on désigne par $X$ le plus petit nombre obtenu dans la partie tirée.

Alors pour $k \in \{0,1,...,n-1\}$ : $P(X>k)=\frac{\binom{n-k}{r}}{\binom{n}{r}}$.

 • La moyenne cherchée est : $M=E(X)=\sum_{k=0}^{n-1}P(X>k)$. 

Et ça s'arrange...

Bonne soirée.

Fr.  Ch.

Chaurien

 • Noter que la formule $E(X)=\sum_{k=0}^{n-1}P(X>k)$ est valable pour toute variable aléatoire $X$ prenant ses valeurs dans $\{0,1,...,n\}$.

 • Présentement, cette formule conduit à : $E(X)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\binom{n-k}{r}}{\binom{n}{r}}$$=\frac{1}{\binom{n}{r}}\sum_{j=1}^{n}\binom{j}{r}=\frac{1}{\binom{n}{r}}\binom{n+1}{r+1}=\frac{(n+1)!}{(r+1)!(n-r)!}\cdot \frac{r!(n-r)!}{n!}=\frac{n+1}{r+1}$.

 • Pour toute variable aléatoire $X$ prenant ses valeurs dans $\{0,1,...,n\}$, on a aussi la formule : 

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\sum_{k=0}^{n-1}kP(X>k)=E(\frac{X(X-1)}{2})$.

Les courageux pourront en déduire la variance de $X$.

Bonne soirée.

Fr. Ch.

amafhh

merci pour tous

amafhh

@bd2017,
Pour démontrer
$$\sum_{m=1}^{n-r-1} m C_{n-m}^{r-1} =\dfrac{n (n+1)}{r (r+1) } C_{n-1}^{r-1}$$
vous avez dit "on peut  utiliser le développement de $(1+X)^{n-m}$  et puis le dériver pour faire apparaître le facteur $m$.
mais il y a un problème qui est $\sum_{m=1}^{n-r-1} m C_{n-m}^{r-1} $ dépend du compteur $m$, et donc on ne peut pas utiliser la formule du binôme pour le développement de $(1+X)^{n-m}$.
Que peut-on dire ici ?

merci encore.

bd2017

Bonjour

Je précise le calcul:

d'abord  on peut calculer : $\sum_{m-1}^{n-r-1} C_{n-m}^{r-1}$  en remarquant que c'est le coefficient de $X^{r-1}$  dans 

  $$\sum_{m-1}^{n-r-1}(1+X)^{n-m}=\dfrac{(X+1)^n-(X+1)^{r+1}}{X}$$

(on trouve  $ C_n^r -r-1.$ )

Ensuite  on calcule $\sum_{m-1}^{n-r-1} (n-m  +1 )  C_{n-m}^{r-1}$ en remarquant que c'est le coefficient de $X^{r-1}$  dans la dérivée de 

  $$\sum_{m-1}^{n-r-1}(1+X)^{n-m+1}=\dfrac{(X+1)^n-(X+1)^{r+1}}{X}$$

c'est le même principe mais c'est légèrement plus long car il faut dériver l'expression après la simplification.

On rassemble ensuite les 2 sommes  pour obtenir celle souhaitée. 

 

Chaurien

 • Soit $n \in \mathbb N^*$ et $r \in \{1,2,...,n\}$. Avec la méthode que j'ai dite, on peut aussi trouver la moyenne des maximums des $r$-parties de $\{1,2,...,,n\}$.

 • On tire au hasard une $r$-partie de $\{1,2,...,n\}$ et l'on désigne par $X$ le plus petit nombre obtenu dans la partie tirée, comme j'ai dit plus haut,  et l'on désigne par $Y$ le plus grand nombre obtenu dans la partie tirée. La loi de la variable aléatoire $Y$ est la même que la loi de $X'=n+1-X$. On a donc la moyenne $E(Y)=E(n+1-X)=n+1-E(X)=\frac{(n+1)r}{r+1}$.

• Les courageux qui d'aventure auront calculé la variance de $X$ seront récompensés car $V(Y)=V(n+1-X)=V(X)$. Moi j'ai trouvé $V(X)=\frac {n(n+1)(n-r)}{(r+1)^2(r+2)}$. La présence du facteur $n-r$ est rassurante, mais une faute de calcul est toujours à craindre...

Bonne journée.

Fr. Ch.

Chaurien

• Encore une idée, toujours pour  $n \in \mathbb N^*$ et $r \in \{1,2,...,n\}$. Calculer la moyenne (et pourquoi pas la variance) des sommes des éléments des $r$-parties de $\{1,2,...,,n\}$. Pour la moyenne, je trouve $ \frac 12 r(n+1)$.

jandri

Je confirme les résultats trouvés par @Chaurien (sauf une coquille pour la variance, c'est $r(n+1)(n-r)$ au numérateur).

On peut généraliser en désignant par $X_k$ le $k$-ième nombre de la $r$-partie :  

on trouve $E(X_k)=\dfrac{k(n+1)}{r+1}$ et $V(X_k)=\dfrac {k(r+1-k)(n+1)(n-r)}{(r+1)^2(r+2)}$

Autrefois j'avais même calculé le coefficient de corrélation : pour $i\leq j$ j'avais trouvé $r(X_i,X_j)=\sqrt{\dfrac{i(r+1-j)}{j(r+1-i)}}$