Formule pour $\pi$ impliquant des exposants de nombres premiers de Mersenne

Pedja

Quelqu’un peut-il prouver ou réfuter la formule suivante?
$$\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{194}{217} \cdot\left(\displaystyle\prod_{p \equiv 1 \pmod{4} } \frac{p}{p-1}\right) \cdot \left(\displaystyle\prod_{p \equiv 3 \pmod{4} } \frac{p}{p+1}\right)$$,
$p$ -exposant du nombre premier de Mersenne.
Notez que: $S_2=194$ où $S_i=S_{i-1}^2-2$ avec $S_0=4$ et $217=M_3 \cdot M_5$ où $M_q$ est le nombre premier Mersenne.
Voici les différences absolues entre la valeur réelle de pi et les valeurs de la formule pour les cinquante premiers termes: 

[0.45957, 0.21094, 0.20812, 0.036331, 0.23495, 0.066124, 0.034117, 0.017674, 0.053575, 0.023990, 0.00074136, 0.0052987, 0.00012293, 0.0023315, 0.0037559, 0.0023796, 0.0014035, 0.00066499, 0.0013750, 0.0010508, 0.00073488, 0.00045475, 0.00029719, 0.00015243, 1.7066 E-5, 5.3538 E-5, 1.7110 E-5, 1.1319 E-5, 1.2472 E-5, 2.0665 E-6, 6.2174 E-6, 2.5620 E-6, 5.0597 E-6, 2.8129 E-6, 1.7574 E-6, 7.1759 E-7, 2.6702 E-7, 3.3743 E-8, 1.8337 E-7, 3.1407 E-7, 4.3506 E-7, 3.3173 E-7, 2.3531 E-7, 3.1986 E-7, 2.4619 E-7, 1.7332 E-7, 1.1905 E-7, 7.6714 E-8, 3.6037 E-8, 2.0017 E-9]
Graphique:

J’ai posé cette question sur MathOverflow mais n’ai pas eu de réponse.

Boécien

Je comprends rien à la définition.

DZE

Bonjour à tous,

je ne comprends pas bien le graphique : 
si le graphique représente la différence, dans ce cas, ça devrait tendre vers 0, non ?
Si c'est la valeur, alors ça devrait tendre vers $\pi/4$. Or cette valeur est < 1 et le graphique montre une valeur comprise entre 2,68 et 3,38. Donc, je ne comprends pas.

Cordialement,
DZE

Médiat_Suprème

Dans la mesure où la première valeur est 2.682, que le premier écart avec $\pi$ est $0.45957$, la conclusion devrait être facile, non ?

Pedja

Les différences et le graphique sont pour $\pi$. Multipliez simplement la formule par 4.

noix de totos

L'identité est vraie sans le facteur $\frac{194}{217}$. En effet, soit $\chi_4 = (-4/\cdot)$ l'unique caractère primitif de Dirichlet de module $4$, où $(n/\cdot)$ est le symbole de Kronecker. On a $\chi_4(1) = 1$, $\chi_4(2) = 0$ et, si $n \geqslant 3$ est impair, alors $\chi_4(n) = (-1)^{(n-1)/2}$.

D'une part, par exemple avec la formule du nombre de classe de Dirichlet (ou une autre méthode), on a
$$L(1,\chi_4) := \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi_4(n)}{n} = \frac{\pi}{4}.$$
D'autre part, en utilisant le produit eulérien de $L(1,\chi_4)$, il vient
$$L(1,\chi_4) = \prod_p \left( 1 - \frac{\chi_4(p)}{p} \right)^{-1} = \prod_{p \geqslant 3} \left( 1 - \frac{(-1)^{(p-1)/2}}{p} \right)^{-1} = \prod_{\substack{p \geqslant 3 \\ p \equiv \, 1 \; (\textrm{mod} \, 4)}} \left( \frac{p}{p-1} \right) \prod_{\substack{p \geqslant 3 \\ p \equiv \, 3 \; (\textrm{mod} \, 4)}} \left( \frac{p}{p+1} \right)$$
ce qui conclut.

Pedja

Dans ma formule, $p$ ne désigne que les exposants des nombres premiers de Mersenne. Pas tous les nombres premiers.

noix de totos

Ce n'est pas la convention habituelle : une somme on un produit indicé par $p$ représente une somme ou un produit portant sur tous les nombres premiers.

Si l'on parcourt une partie de l'ensemble des nombres premiers, alors cette partie doit être explicitement indiquée sous le symbole utilisé.

Sylvain

En fait comme je l'avais dit sur MO avant qu'on ne supprime mon intervention, une preuve de cette égalité impliquerait l'existence d'une infinité de nombres parfaits pairs, et la convergence du produit qu'elle soit le fait du biais de Tchebychev. Quant aux conventions, on en crève. Le message de Pedja est clair et fort intéressant, c'est l'essentiel.

Pedja

Cher Julien, je suis désolé pour la suppression de votre message MathOverflow. Nous avons peut-être perdu des informations précieuses.

Sylvain

J'en doute, mais merci tout de même :-)

Sylvain

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Mersenne_premier
Peut-être faut-il mettre au jour un espace vectoriel dont les nombres de Mersenne premiers constitueraient une base. La non-linéarité de la formule de récurrence $S_{n+1}=S_{n}^{2}-2$, fonction polynomiale de degré $2$, a-t-elle un lien avec le fait que $\pi$ est une période au sens de Kontsevich-Zagier de degré $2$ ?

Sylvain

J'avais aussi parlé sur MathOverflow de la loi de réciprocité quadratique.
En écrivant $\dfrac{\pi_{p,q}}{4}:=\dfrac{194}{217} \cdot\left(\displaystyle\prod_{p \equiv 1 \pmod{4} } \frac{p}{p-2+(p\mod 4)}\right) \cdot \left(\displaystyle\prod_{q \equiv 3 \pmod{4} } \frac{q}{q-2+(q\pmod 4)}\right)$, on a $\left(\frac{p}{q}\right)=\left(\frac{q}{p}\right)$, indice potentiel d'une certaine symétrie d'ordre $2$ sous-jacente.

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gerard0

Bonjour Sylvain.

"un espace vectoriel dont les nombres de Mersenne premiers constitueraient une base" ?? Un espace vectoriel sur quel corps. Car sur $\mathbb  C,\ \mathbb R$ et même $\mathbb Q$, les nombres de Mersenne premiers sont tous multiples l'un de l'autre, à commencer par 3 et 7. Si tu voulais dire autre chose, il faut prendre le temps de le dire bien. Et si tu as écrit ça sur MathOverflo, pas étonnant que tu te sois fait jeter, ce n'est pas un site de rigolos, comme notre sous-forum Shtam.

Cordialement.

gerard0

Bonjour Pedja.

D'où sort ta formule ? Pour ma part, je vois deux hypothèses : tu sais caractériser les Mersenne premiers et donc ta somme est bien déterminée. Mais alors, c'est ça qui est utile. Ou bien tu as fait des essais avec quelques premiers nombres de Mersenne premiers, et comme on en connaît très peu, ce n'est qu'une approximation (le 194/217 est quand même assez douteux si on est dans ce cas) et on n'a aucune raison de te croire.

Dans les deux cas, tu n'en dis pas assez. Donc personne ne prendra de temps à "prouver ou réfuter".

Cordialement.

Sylvain

Je pense à quelque chose du style "degré de l'extension $\mathbb{Q}(\pi)/\mathbb{Q}=card\{p\in\mathbb{P}:M_{p}\in\mathbb{P}\}$".

gerard0

Ce qui n'a rien à voir avec ce que tu disais. Comprends-tu ce que tu avais écrit ? Et ce que maintenant tu écris ? En particulier que ça suppose une preuve que personne n'a ?

Sylvain

Ça ne suppose pas une preuve au sens d'un raisonnement rigoureux et détaillé, mais l'hypothèse de la véracité de la formule conjecturée appuyée par les calculs. En bon physicien de formation, je continue de préférer les idées manquant de rigueur à l'inverse.

gerard0

Drôle de conception du "bon physicien". Alors que tu décris le "mauvais matheux". Et tu n'as même pas vu les conséquences de ce que tu as écrit, malgré mon affirmation. Je conclus que ce n'est même pas une "idée manquant de rigueur" mais la manipulation de mots et notations que tu ne comprends pas. On dirait du Pablo !!

Très décevant !

Pour Pedja :  pas de regret à avoir, il n'y avait rien de sérieux dans ce qu'avait écrit Sylvain.

Cordialement.

Sylvain

Ni rien de constructif dans tes critiques qui ne font pas avancer le schmilblick d'un iota.

gerard0

Rien de constructif dans ta démarche, qui ne fait que faire perdre son temps au questionneur. 

Pedja

@gerard0 @sullivan Merci à vous deux.

Sylvain

Vu sur Facebook : après 6 ans de calculs, il s'avère que $2^{136279841}-1$ est premier.

Math Coss

Merci pour l'information !

LEG

Bonjour
Donc si je comprends , le crible d'Ératosthène a encore de beaux jours devant lui , pour affirmer si un nombre de Mersenne Mn, est premier ou pas... Car 6 mois pour tester rigoureusement  M52 , ça commence à faire beaucoup de temps.... 
Voici un petit tableau sur la forme des exposants premiers des Nombres de Mersenne.., ce qui laisse penser , que l'on est très loin de trouver une formule indiquant que ces nombres sont premier ou pas , en fonction de leur exposant...
Bon courage .

Rescassol

Bonjour,

Porquoi $30$, et pas $210$ par exemple ?

Cordialement,
Rescassol

LEG

Bonjour @Rescassol
les exposants premiers  de Mersenne doivent être tester  consécutivement et non aléatoirement ... ou modulo 210 ...
Ceci dit mon algorithme est programmé modulo 30 ,la programmation modulo 210 n'apporte strictement rien du tout et en plus , beaucoup moins rapide que modulo 30 à cause de la programmation... beaucoup compliquée , on a , à l'époque essayé et vite abandonné.
prends l'exemple  avec l'exposant de la famille 30k+19 : 136279879 qui est le 963992 ème dans cette famille ..le suivant est 136280059  N° 963993  comme tu le vois il n'est pas modulo 210..

je n'ai pas réussi à installer Prime95 sur mon pc qui est sous linux mint ...Pourquoi ??? 
je sais que les instructions du fichier tex indique une erreur à l'ouverture ... C'est pas grave ... Mais comme je n'y connait pas grand chose pour installer sous linux... je verrai plus tard avec un collègue éventuellement ...

Je voulais tester ces deux familles d'exposants premiers ci joins 
Cordialement
Gil - Lef

Rescassol

Bonjour,

Ma question était: d'où sort le choix de $30$ ?

Cordialement,
Rescassol

LEG

Parce que les nombres premiers > 5 , se classe en 8 familles distinctes impaires de la forme $30k+i$ avec $i\in(1,7,11,13,17,19,23,29)$ qui représentent 26,66....% des entiers naturels.
Que ce soit l'algorithme d'Ératosthène modulo 30  ou celui de Goldbach modulo 30 , pour moi c'est plus facile et plus simple de ne travailler sur la répartition des nombres premiers , que par famille $30k+i$... sans les multiples de 2, 3 et 5 ... 

Au début lorsque je m'intéressai aux nombres premiers, n'étant pas du tout matheux  , j'ai utilisé le cycle des entiers impairs en partant de 1 ; $(6.4.2.4.2.4.6.2)$ dont la somme vaut 30 , ce qui me permettait d'éliminer 73,333...% " des entiers naturels >5 ,  non premiers .
Puis ensuite de construire des algorithmes ""cribles"" . Notamment celui de Goldbach en référence à sa conjecture, qui utilise les congruences ...
Et d'en déduire une deuxième  fonction asymptotique conséquence directe du TNP : 
$\frac{n}{Ln \: 2n}$ au lieu du postulat de Bertrand qui ne donne aucune idée sur une estimation de nombre premier $q\in(n;2n)$.
 Démonstration assez simple de cette fonction, qui a été faite à l'époque par Mr Poirot , car moi je l'affirmais, mais je ne savais pas le démontrer ...
D'ailleurs avec cette deuxième fonction du TNP cela permet d'en déduire d'autre, sur l'estimation du nombres de couples qui décomposent un entier pair $2n >4$ en somme de deux premier $(p + q) = 2n$ ... par famille ..
voila tu sais tout ...

Rescassol

Bonjour,

Ben non, je ne sais pas tout.
> Parce que les nombres premiers > 5 , se classe en 8 familles distinctes impaires de la forme 30k+i30k+i
Tu pars de 30 et tu essaies de le justifier a posteriori, alors que je te demande comment tu aboutis à ce 30.
Je vois bien que $30=2\times 3\times 5$, donc le produit des trois premiers nombres premiers, mais on pourrait tout aussi bien en prendre moins ou plus.

> j'ai utilisé le cycle des entiers impairs en partant de 1 ; $(6.4.2.4.2.4.6.2)$
Je n'ai pas compris où sont les impairs dans $(6.4.2.4.2.4.6.2)$ ni où il y a un cycle.

Cordialement,
Rescassol

LEG

Re ...c'est pourtant simple pour un matheux ...non ?
(Je n'ai pas compris où sont les impairs dans (6.4.2.4.2.4.6.2) réitère (6.4.2.4.2.4.6.2) ni où il y a un cycle.)

 Ce sont les différences entres les entiers impairs en partant de 1 suivant ce cycle ....
1 (+6)  7 (+4)  11 (+2) 13 (+4) 17 (+2) 19 (+4) 23 (+6) 29 (+2) tu réitères ce cycle et  donc modulo 30 en dessous ...
31       37       41        43         47        49         53        59

Je te laisse le plaisirs de construire l'algorithme d'Ératosthène modulo 30 ,,, puis de le programmer .. 
Il y a plusieurs méthodes... si cela t'amuses , et ensuite tu pourra faire celui de Goldbach  (mod 30) , ou d'essayer modulo 210 si tu penses que c'est plus rapide et plus efficace ...
 
Je te joins un extrait de celui de Goldbach pour ces 8 familles ... ça te donnera une idée du temps mis par famille pour la limite criblée inférieur à N = 3 000 000 000 030 ...

et un extrait de Goldbach pour le nombre de couples $p+q = 2n$ pour ces trois familles de nombres premiers concernées pour la décomposition de $2N$ de la forme $30k +2$ et inférieur à :

la limite criblée $N =4500000000001$  soit  le nombre de décompositions pour $2N = 90000000000002$ par famille  et en faisant progresser la limite N modulo 15 jusqu'à $N = 4500000000106$ , donc $2N$ progresse  modulo 30...

Le temps mis par famille et par limite N est de 520 secondes environ ... pour cette limite N 

La limite maximum du criblage atteinte par le programme est de N = 8 750 000 000 000 qui indique le nombre de solutions du nombre pair 2N = 17 500 000 000 000 (Tu cribles les nombres premiers de 1 à la limite N fixée) et tu obtiens le nombre de décompositions pour l'entier 2N

Rescassol

Bonjour,

LEG:
Je te laisse le plaisirs de construire l'algorithme d'Ératosthène modulo 30 ,,, puis de le programmer .. 
Il y a plusieurs méthodes... si cela t'amuses , et ensuite tu pourra faire celui de Goldbach  (mod 30) , ou d'essayer modulo 210 si tu penses que c'est plus rapide et plus efficace ...

Je ne te demande pas comment tu utilises 30.
Je demande quel est le raisonnement dont 30 est la conclusion.

Cordialement,
Rescassol

LEG

8 suites arithmétiques impaires de raison 30 et de premier terme $i \in( 1,7,11,13,17,19,23,29)$ à toi en tant que matheux, de trouver un autre raisonnement qui te conviendra ...
Ces 8 familles contiennent l'ensemble des nombres premiers > 5 

Peut être que tu préfère cela:

[« Suivant le point 2/ : et ce qui suit, tout nombres premier > 5 serra donc de la forme 30k + i.

Démontrons que tout nombre premier supérieur à 30 appartient à l’une de ces 8 familles (i).

Soit p un nombre premier supérieur à 30. Il n’existe donc pas de décomposition en nombre premier de p.

30 étant le produit de 2, 3 et 5. Tout nombre premier supérieur à 30 n’est pas divisible par 2, 3, ou 5 et s’écrit donc de la forme  $2^i . 2^j . 2^k$  $+ pr$ avec $pr$ non divisible par 2, 3 et 5 et inférieur à 30.

Donc pr =1 ou∈ [7 ; 29] étant l’un des nombres premiers > 1, inférieurs à 30 et différents de 2, 3, ou 5.»]

Rescassol

Bonsoir,

Bon, toujours pas. Je t'ai demandé un raisonnement dont $30$ est le dernier mot.
Je crois que je vais laisser tomber.

Cordialement,
Rescassol

LEG

Re Tu as raison :
 Car en tant que Matheux agrégé avec un master , tu ne comprends pas pourquoi j'utilise les nombres premiers de la forme $30k+i$ et que tu cherches un raisonnement dont tu n'es pas capable de trouver le pourquoi du comment ... je travail dans cet ensemble d'entiers naturels en progression arithmétique de raison 30 ..etc ; afin de me simplifier le travail et d'éliminer 2,3 et 5 et leurs multiples ... qui ne me servent à rien dans la répartition des nombres premiers > 5.

Alors que tu me balances le modulo 210 sans savoir pourquoi ... ou en croyant ce que tu veux , mais dont tu es incapable de me donner une bonne raison ...!
Alors que moi je t'en ai donné la  raison , au niveau de la construction et programmation des cribles modulo 30 c'est plus rapide et plus simple et par famille 30k+i,  que ton modulo 210 ... Essais donc de le construire le crible modulo 210 et on verra ton résultat ...!

 Le programme je l'avais mis en Python sur ce forum , et tu ne t'ai pas proposé à le faire même avec un repas.... si ta mémoire est bonne ...
Seul sans rien demander , ni aucune explication, Mr B Parisse de l'université de Grenoble me l'a transcrit en C++ et  24h il me l'a mis sur ce Forum......

Tout entiers non premier de cette forme 30k+i ...etc , n'est divisible que par un nombre premier > 5 donc de la forme 30k+i .
; soit 8 familles d'entiers naturels en progression arithmétique de raison 30 qui est le dernier mot !
 et de premier terme i appartenant à ( 1, 7 , 11 , 13 ,17 , 19, 23  et 29) ; c'est pourtant élémentaire !
 C'est si difficile à comprendre , de n'utiliser que les 8 nombres premier inférieur à 30 à part 1 qui est remplacé par 31, puisque 1 ne peut être  utiliser ; et 1 + le modulo 30  =  31 ...   pour extraire tous les nombres premiers > à 31 ... c'est à dire un crible modulo 30 ...?
 Bonne soirée ... 

Rescassol

Bonsoir,

Bon, tu continues sur ta lancée sans vouloir répondre à ma question qui était pourtant basique.
J'abandonne.
En passant, $2\times 3\times 5\times 7=210$.

Cordialement,
Rescassol

LEG

Re Bonjour ...
Je pense que toi tu fais de même... Tu ne comprends pas pourquoi je travaille  dans  l'ensemble de ces entiers naturels , ce qui est pourtant basique : Pour moi c'est plus simple de travailler par famille de nombres premiers de la forme $30k+i$ , que ton modulo $210k+i$  avec $i=1 \;ou \;P$ premier .... ("Combien de premiers ..? 8 ou plus ?") ce qui n'apporte strictement rien de plus, mais complique énormément le crible ... je te laisse deviner pourquoi.!

Et dont le crible modulo 210 n'aurait rien de plus, à part d'être plus compliqué et moins rapide avec une limite N, nettement inférieur au crible modulo 30 , ni pour tester les nombres de Mersenne avec les exposants modulo 210... et encore moins pour la conjecture de Goldbach...

En passant, $2\times3\times5\times7\times11=2310$ Et alors ?

Tu vas aussi demander pourquoi ce choix de 210 et non 2310 ???

Le crible circulaire de Harald Helfgott travaille modulo $2\times3\times5\times7\times11\times13\times17=510510$ pourquoi ce choix ??
C'est simple : cela permet de tester la conjecture de Goldbach beaucoup plus loin que le crible d'Ératosthène... en utilisant plusieurs billions de nombres premiers...etc...etc.
Par contre, combien de très bons Matheux comprennent son algorithme circulaire... ("d'après ce qui est dit, ils se comptent sur les doigts des deux mains, ...!")

Cordialement , LG.

Math Coss

Je ne comprends toujours pas non plus : pourquoi modulo 30 et pas modulo 6 alors ? Travailler modulo 30 « n'apporte strictement rien de plus, mais complique énormément le crible ... je te laisse deviner pourquoi.! »

LEG

Bonjour
@Math coss , tu sais très bien que modulo 6 , me ferait prendre en compte des multiples de 5 ... Pourquoi faire ?

Pourquoi modulo 30 , par ce que mon algorithme (crible) modulo 30 par famille 30k+i ,fonctionne beaucoup plus vite et plus loin , pour une limite N fixée ; qui est supérieur au crible modulo 6 ou 210 et plus efficace ... Et plus simple pour moi ...

Est ce que Vous avez seulement  essayé de les construire ces cribles par famille 30k+i ou 210k+i ? Afin de comprendre le fonctionnement et de comparer les résultats ? Ou celui de Goldbach modulo 30 ? ... NON !!! 

Heureusement que l'on est plus au Moyen âge, car sans hésiter vous m'aurait cloué bêtement au pilori ou sur un bûcher  pour hérésie ... Et comme mon nom c'est Lefeu ... vous pourriez ensuite dire paix à ses cendres...

Mais tu vas me dire , effectivement cela ne changerait pas grand chose au vu des algorithmes qui existent ... ou sur la répartition des nombres premiers de 1 à N ou de N à 2N.

En quoi ça vous pose problème de ne travailler que dans ces 8 familles 30k+i ... ? 
 
Est ce que vous demandez à un cycliste pourquoi il fait du vélo et pas du cheval pour se rendre à tataouine les bains ?

Rescassol

Bonjour,

Tu débloques complètement. Je n'ai rien critiqué, j'ai seulement demandé comment tu avais choisi $30$, par pure curiosité, et ça t'a fait partir dans des délires pas possibles.

Cordialement
Rescassol

JLT

Fermons cette discussion sans intérêt et sans rapport avec le message initial.