Pas de carré

MMu

Soit un entier $n>1$. Montrer que $\displaystyle\sum _{k=1}^n (k!)$ n’est pas un carré parfait.

depasse

1+2+6=9

marco

Si $n\geq 4$, on a $\sum_{k=1}^n k! \equiv 1+2+6+24 \equiv 3 \pmod 5$, or $x^2 \equiv 0,1$ ou $4 \pmod 5$.

Si $n=3$, $1+2+6=9$ est un carré.

dirikly

@macro
On utilise le même argument pour montrer que $S_n=\sum_{k=1}^n k! $ n'est pas un nombre premier pour $n\neq 2$
Si $n\geq 3$ , On a $\sum_{k=1}^n k!=1+2 \equiv 0 \pmod 3$ , $S_n \geq 6$ donc $S_n$ n'est pas un nombre premier.
Si $n=2$, On a $S_n=3$ est un nombre premier
Si $n=1$ , On  a $S_n=1$ n'est pas un nombres premier

MMu

marco a dit :

Si $n\geq 4$, on a $\sum_{k=1}^n k! \equiv 1+2+6+24 \equiv 3 \pmod 5$, or $x^2 \equiv 0,1$ ou $4 \pmod 5$.

Si $n=3$, $1+2+6=9$ est un carré.

N’oublie pas : il s’agit de $(k!)^2$

depasse

@MMu
C'est toi qui a oublié l'exposant $2$ dans ton énoncé!
Cela dit, les quatre premiers termes de ta suite sont $1,5,41,617$ et les suivants sont donc tous congrus à $7$ modulo $10$ car dès que $k \geq 5$, $10$ divise $k!$ et donc $k!^2$. Ces suivants ne sont donc pas carrés car congrus à $2$ modulo $5$.
$5,41$et $617$ ne sont pas carrés non plus.

MMu

depasse a dit :

@MMu
C'est toi qui a oublié l'exposant $2$ dans ton énoncé!
Cela dit, les quatre premiers termes de ta suite sont $1,5,41,617$ et les suivants sont donc tous congrus à $7$ modulo $10$ car dès que $k \geq 5$, $10$ divise $k!$ et donc $k!^2$. Ces suivants ne sont donc pas carrés car congrus à $2$ modulo $5$.
$5,41$et $617$ ne sont pas carrés non plus.

Mea culpa, mes plus plates excuses !
Il fallait donc montrer que $\sum_{ k=1}^n(k!)^2$ n’est pas un carré parfait pour $n>1$