Exercice peut-être difficile

amafhh

bonjour,
Soit l'exercice suivant

Soit $p\in \mathbb{N}^{\star}$ et $n\in \mathbb{N}$ et $E$ un ensemble de cardinal $n$. 

Déterminer le nombre d'applications croissante de $\{1,...,p\}$ dans $\mathcal{P}(E)$.

Je trouve le résultat $(p+1)^{n}$.

Est-ce que correcte ?

Merci pour la réponse.

Soc

Croissantes au sens de l'inclusion?

gebrane

Visiblement faux sans faire aucun calcul  ( Si p>n, il faut trouver quoi ?)

Soc

Si c'est strictement croissantes, c'est assez simple (tu rajoutes un élément à chaque fois parmi ceux qui restent).
Si c'est croissantes au sens large, le vide est casse pieds. Dans ce cas je pense que je ferais une somme indexée sur la taille plus grand sous-ensemble choisi.

Heuristique

En appelant $u_n$ le nombre d'applications croissantes $f$ de $[[1,p]]$ dans $\mathcal{P}([[1,n]])$, je trouve la relation de récurrence $u_{n+1} = (p+1)u_n$ car on choisit $k \in [[1,p+1]]$ tel que $n+1 \in f(k) \setminus f(k-1)$ (avec $f(0) = \varnothing$ et $f(p+1) = [[1,n]]$). Comme $u_0 = 1$, on trouve effectivement $u_n = (p+1)^n$.

gebrane

Etant aveuglé, J'ai lu strictement croissante
Je trouve que le nombre d'applications croissantes de [1,n] dans [1,p] est $n+p-1 \choose p-1$

edit  je suis encore aveuglé, la question est de trouver le nombre d'applications croissantes de [1,n]  dans l'ensemble des parties de [1,p]

Soc

Merci @Heuristique! J'ai du mal avec tes notations alors je le reformule à ma sauce en moins formel:

Pour $u_{n+1}$, on a rajouté un élément dans l'ensemble d'arrivée. Pour chaque suite de $u_n$ on choisit à partir de quel rang on rajoute l'élément $n+1$ il y a donc $p+1$ positions (la dernière revenant à ne pas l'ajouter) et l'on obtient ainsi toutes les suites de $u_n$. D'où la relation de récurrence que tu nous donnes $u_{n+1}=(p+1)u_n$

amafhh

merci pour tous