Suite décroissante

jc-marseille

Je m'interesse a` la suite:
$u_0=2$
$u_{n+1} = \frac{u_n}{2}+ \frac{1}{u_n}$

Je n'arrive pas a ` prouver que cette suite est decroissante, en calculant les valeurs de $u_1, u_2$, etc. on s'aperc,oit qu'elle decroit, j'ai essaye' par plusieurs methodes, Cauchy, calcul de la moyenne arithmetique et harmonique, le calcul de $u_{n+1} - u_n$ mais n'arrive a` rien. Il semblerait qu'il faille preciser que tous les $u_n$ sont positifs. Ne faut il pas montrer que la suite decroit et est borne'e pour dire que sa limite existe et qui est $L = \sqrt2$ par simple resolution de $L = \frac{L}{2} + \frac{1}{L}$?

zeitnot

Par récurrence, tu montres, $ \sqrt2<=u_{n+1}<=u_{n} $, en ayant étudié préalablement les variations de la fonction $f$, telle que $u_{n+1}=f(u_{n})$.

Boécien

On peut se passer de l'étude de $f$.

On montre facilement par récurrence que $u_{n}>\sqrt{2}$

Suppose ensuite que $u_{n+1}>u_{n} $ à un moment et obtient une contradiction..

jc-marseille

Boécien a dit :

On peut se passer de l'étude de $f$.

On montre facilement par récurrence que $u_{n}>\sqrt{2}$

Suppose ensuite que $u_{n+1}>u_{n} $ à un moment et obtient une contradiction..

Merci pour vos reponses, mais je ne vois pas comment on montre par recurrence que $u_{n}>\sqrt{2}$.
on a effectivement $u_1>\sqrt{2}$, on suppose $u_{n}>\sqrt{2}$, donc que $u_{n+1}=\frac{u_n}{2}+\frac{1}{u_n} >\frac{u_n}{2}>\frac{\sqrt2}{2}$
En bref, je ne vois pas comment par recurrence on arrive a` $u_{n+1} > \sqrt2$

bd2017

Bonjour

En ayant posé $f(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{x},$  on a d'après le th des AF :  

$$\dfrac{u_{n+1}-\sqrt{2}}{u_n-\sqrt{2}}=\dfrac{f(u_{n})-f(\sqrt{2})}{u_n-\sqrt{2}}= f'(s_n)=\dfrac{s_n^2-2}{2 s_n^2}$$

où  $s_n\in ]\sqrt{2}, u_n[.$

Donc ce rapport est positif, ce qui implique   $u_{n+1}-\sqrt{2}>0$ lorsque  $u_{n}-\sqrt{2}>0.$  

gebrane

Pourquoi le TAF? Il suffit de vérifier que le f de bd2017 est croissant sur $[\sqrt 2,+\infty[$

bd2017

Pourquoi  pas le TAF? Cela revient  au même,  tout au moins si tu montres que $f$ est croissante en passant par le calcul de $f'$.

De plus, il y a un intérêt  à  écrire $$\dfrac{u_{n+1}-\sqrt{2}}{u_n-\sqrt{2}}=\dfrac{s_n^2-2}{2 s_n^2}$$ car on voit que ce rapport tend vers  0. C'est à dire  que la suite des rationnels  $(u_n)$  qui converge vers $\sqrt{2}$  semble le faire très vite.

Ici, on a bien entendu la méthode de Newton appliquée à la solution positive de l'équation $x^2=2$

Par exemple  $u_5=\dfrac{886731088897}{627013566048}\approx \sqrt{2}$ avec approximativement 24 chiffres après la virgule corrects. 

Boécien

$$u_{n+1}^{2}-2=\frac{1}{4u_{n}^{2}}\left(u_{n}^{2}-2\right)^{2}$$

lourrran

Ici, dès le 1er message, tu avais les éléments pour avancer. Tu as dit : cette suite est positive, on me dit qu'elle serait décroissante, et donc elle convergerait. Et si elle converge, la limite ne peut être que $\sqrt{2}$
Bien.
Une fois que tu as vu ça, il y a différentes façons de continuer, toutes plus ou moins similaires.
Une piste est de regarder la suite (v) : $v_n = u_n - \sqrt{2}$ : on aime bien en général les suites qui tendent vers 0. 
Ce n'est pas la piste la plus rapide, loin de là, mais si on n'a pas d'autre idée, c'est une piste qui permet toujours d'avancer, et très souvent d'arriver au résultat. Quand on n'a pas de plan A ni de plan B, ni de plan C, c'est un plan.
Ici, si je ne me suis pas trompé, (les calculs ne sont pas immédiats) on arrive à : 
$v_{n+1} = v_n \times  \frac {v_n}{2(v_n + \sqrt{2})}$ 
C'est assez simple de montrer que cette suite est décroissante, et donc que la suite initiale est décroissante.

jc-marseille

Merci a` tous/tes. Plus simple encore

• Un point fixe $x_0$, c.a.d, $f(x_0) = x_0$ est dit stable si $|f'(x_0)| < 1$. Dans ce cas, les itérations de $f$ convergent vers $x_0$.
• $x_0 = \sqrt2$

bd2017

Plus simple .... heu!!!

$f(x)=x^2$   et $x_0=0$  est un point fixe (car $f(0)=0$).  On a $|f'(0)|=0<1$      

Avec $u_0=2,  u_4=65536.....$  les itérations de $f$ ne convergent pas vers $x_0.$

gebrane

Qui a le courage de trouver explicitement la suite 

bd2017

ça veut dire en fonction de $n?$

gebrane

Oui ou plus précisément :
Ca veut dire démontrer cette formule donnée par un logiciel 
$$u_n=\frac{1}{2^{\frac{3}{2} (2^{n-1} -1 ) -2^n} (4+3\sqrt{2} )^{2^{n-1}} -2^{-\frac{3}{2}}} +\sqrt{2}$$ avec $u_1=2$

On peut sauver la méthode de marseille, car 2 est dans le voisinage attractif du point fixe $\sqrt 2$ car ton f est une contraction sur $[\sqrt 2, 3]$

Boécien

Tu dois pouvoir y arriver avec la formule que j'ai donnée plus haut. Produit puis on divise.

jc-marseille

gebrane a dit :

On peut sauver la méthode de marseille, car 2 est dans le voisinage attractif du point fixe $\sqrt 2$ car ton f est une contraction sur $[\sqrt 2, 3]$

Tout a` fait!

jc-marseille

bd2017 a dit :

Plus simple .... heu!!!

$f(x)=x^2$   et $x_0=0$  est un point fixe (car $f(0)=0$).  On a $|f'(0)|=0<1$      

Avec $u_0=2,  u_4=65536.....$  les itérations de $f$ ne convergent pas vers $x_0.$

Sauf qu'on a $u_n > 0 \ \forall n \in \mathbb{N}$

bd2017

Désolé mais ta remarque ne veut rien dire.  La condition $|f'(x_0)|<1$  n'est pas suffisante. 

En gros il y a une façon de faire l'exercice; c'est à dire qu'on utilise que la suite est de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$  mais avec  des utilisations de la fonction $f$ qui  diffèrent un peu. 

Quelque soit la façon, on montre que la suite est décroissante et minorée par sa limite. 

Maintenant si tu veux dire que c'est plus simple en évoquant  le théorème du point fixe, il faut le faire correctement, ce que tu ne fais pas du tout  .

zeitnot

La méthode très basique que j'ai proposée est celle généralement qu'utilise n'importe quel élève de spécialité math après avoir échoué sur $u_{n+1} - u_n$. "Ça ne marche pas, j'envoie la récurrence", récurrence qui fonctionne très facilement ici, sans connaissance particulière. Après bien sûr, il y a plein d'autres possibilités très intéressantes qui ont été évoquées. Mais comme le dit @bd2017, attention à ne pas se prendre les pieds dans le tapis en voulant jouer les minimalistes alors que c'est une question très abordable en terminale.

Boécien

Pour la complétude je rédige mon truc sans utiliser $f $pour démonter la convergence vers $\sqrt{2}$. On a immédiatement

$$(1)\ \ \forall n\geq1,\ u_{n}>1\Rightarrow\frac{1}{u_{n}}<1$$

$$(2)\ \ \forall n\geq1,\ u_{n+1}^{2}-2=\frac{1}{4u_{n}^{2}}\left(u_{n}^{2}-2\right)^{2}$$

On déduit de $(2)$ que

$$\forall n\geq1,\ u_{n}^{2}-2>0$$

puis $(1)$ et $(2)$ donne l'inégalité

$$\forall n\geq1,\ u_{n+1}^{2}-2<\frac{1}{4}\left(u_{n}^{2}-2\right)^{2}$$

On obtient alors pour $1\leq m\leq n-1$

$$u_{n+1}^{2}-2<\frac{1}{4^{2^{m+1}-1}}\left(u_{n-m}^{2}-2\right)^{2^{m+1}}$$

en particulier pour $m=n-1$

$$u_{n+1}^{2}-2<\frac{1}{4^{2^{n}-1}}\left(u_{1}^{2}-2\right)^{2^{n}}$$

et comme $u_{1}=\frac{3}{2}\Rightarrow u_{1}^{2}-2=\frac{1}{4}$, on a finalement

$$0<u_{n+1}^{2}-2<\frac{1}{4^{2^{n+1}-1}}$$

qui permet de conclure à la convergence (très rapide) de $u_n$ vers $\sqrt 2$.

bd2017

Bonjour

(Une variante du message de @Béocien)

évidemment, on peut faire cet exercice avec les moyens les plus élémentaires puisque qu'on a:   $\forall n\in \N^*$  les  deux identités (1)  et (2)  suivantes   

  $(1) \hspace{1 cm}     u_{n+1}-u_n=\dfrac{2-u_n^2}{2 u_n}$

  $(2)  \hspace{1 cm}   u_{n+1}-\sqrt{2}= \dfrac{(u_n-\sqrt{2})^2}{2 u_n} $ 

Avec une récurrence, l'utilisation simultanée de (1)  et (2) montre que la suite $(u_n)$  est strictement décroissante et est minorée par $\sqrt{2}.$  La suite est donc convergente et l'unicité de la limite donne $L=\sqrt{2}. $   

Pour bien comprendre  la rapidité de la convergence on  regarde (2)   qui dit que  

$$e_{n+1} =  \dfrac{e_n  ^2}{2 u_n} \approx  \dfrac{e_n  ^2}{2 L}$$

où $e_n=u_n-\sqrt{2}$ est l'erreur émise lorsqu'on approxime $\sqrt{2}$  par le rationnel $u_n.$

Exemple si  $e_n\approx 10^{-4},$   (2) dit que $e_{n+1}\approx 10 ^{-8}.$   La suite $u_n$  est alors une suite de rationnels qui donne des valeurs approchées par excès de $\sqrt{2}$ où  à chaque étape  on  a doublé   le nombre de chiffres corrects après la virgule.

Cette méthode  d'approximation de $\sqrt{2}$  est la méthode de Héron dont la version moderne est la méthode de Newton.

Chaurien

Étude de la suite $u_{n+1}=f(u_n)$, avec $f(x)=\frac x2+\frac 1x$.

• D'abord, tracer le graphe de $f(x)=\frac x2+\frac 1x$ pour voir le comportement de la suite.

• La fonction $f$ est impaire. Points fixes : $\pm \sqrt 2$.

Pour $x >0$, on a : $f(x)- \sqrt2= \frac 1{2x}(x-\sqrt2)^2$. Si $x> \sqrt2$ alors $f(x)>\sqrt2$.

Pour $x >0$, on a : $f(x)- x= \frac 1{2x}$$(2-x^2)$. Si $x> \sqrt2$ alors $f(x)<x$.

• En conséquence, si $u_0> \sqrt2$ alors pour tout $n\in \mathbb N$, $u_n> \sqrt2$ et  $u_{n+1}<u_n$. 

La suite $u_n$ est décroissante, minorée, donc convergente, et sa limite est le point fixe $\sqrt2$.

• Si $0<u_0< \sqrt2$ alors $u_1=f(u_0)>\sqrt2$, et donc $u_n>\sqrt2$ pour $n \ge 1$, et la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ est décroissante et convergente, de limite $\sqrt2$.

• Si $u_0< 0$, on pose $v_n=-u_n$, et alors $v_0>0$, $v_{n+1}=f(v_n)$. La suite $u_n$ converge, et sa limite est $- \sqrt2$.

Chaurien

Expression de $u_n$, rapidité de convergence. 

• Pour $x >0$, on a : $f(x)- \sqrt2= \frac 1{2x}(x-\sqrt2)^2$ et $f(x)+ \sqrt2= \frac 1{2x}(x+\sqrt 2)^2$, d'où : $\frac {f(x)- \sqrt2}{f(x)+ \sqrt2}=(\frac {x- \sqrt2}{x+ \sqrt2})^2$.

En conséquence, si $u_0 >0$, alors : $\frac {u_n- \sqrt 2}{u_n+ \sqrt2}=(\frac {u_0- \sqrt 2}{u_0+ \sqrt 2})^{2^n}$. On en déduit immédiatement l'expression de $u_n$.

• Si  $u_0 > \sqrt 2$, alors $u_n - \sqrt 2 \sim 2\sqrt 2~ q^{2^n}$, avec $q= \frac {u_0- \sqrt 2}{u_0+ \sqrt 2}$, qui est élément de $]0,1[$. 

Convergence très rapide, conséquence du fait que la dérivée de $f$ est nulle au point fixe.

jc-marseille

N'est il pas plus simple comme l'a indique' Boecien que si on suppose (1) de Bd2017 positive, et apres avoir montre' selon (2) que $u_n \geq \sqrt2$ qu'on arrive a` une contradiction et par consequent que $u_n$ est strictement decroissante.

J'ai du mal avec "Avec une récurrence, l'utilisation simultanée de (1)  et (2) montre que la suite $u_n$  est strictement décroissante " de Bd2017.
Dans tous les cas merci a` tous pour vos remarques et reponses. La suite en question n'a plus ou presque de secret.
Question: "secret pluriel ou singulier... suis pas sur"
- jc

Chaurien

Remarques complémentaires.

1 • J'ai montré (simplement) que si $u_0>0$ on a : $\frac {u_n- \sqrt 2}{u_n+ \sqrt2}=(\frac {u_0- \sqrt 2}{u_0+ \sqrt 2})^{2^n}$. Soit $q= \frac {u_0- \sqrt 2}{u_0+ \sqrt 2}$, qui est élément de $]-1,1[$.

 Achevant le calcul, il vient : $u_n=\frac {1+q^{2^n}}{1-q^{2^n}} \sqrt 2$. Il en résulte immédiatement que la limite de $u_n$ est $\sqrt 2$, sans aucune autre étude préalable.

De plus, si $u_0>\sqrt 2$, alors $q \in ]0,1[$, et la suite $q^{2^n}$ est décroissante. En écrivant $u_n=(\frac 2{1-q^{2^n}}-1) \sqrt 2$, on voit que la suite $u_n$ est décroissante.

 2 • Cette suite a suscité en moi une impression de déjà-vu. Je me suis aperçu qu'il s'agit en fait de la méthode de Héron d'Alexandrie pour le calcul numérique d'une valeur approchée de la racine carrée d'un réel $a>0$ (dans le cas présent $a=2$). On prend $u_0>0$ et on définit la suite $u_{n+1}=\frac 12 (u_n+\frac a{u_n})$. Tout ce que j'ai écrit plus haut se transpose immédiatement, et la suite $u_n$ converge rapidement vers $\sqrt a$. On peut ainsi obtenir rapidement une bonne valeur approchée de la racine carrée d'un nombre, au moyen d'additions et de divisions.

Références :

• https://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_de_Héron

• Heath, Thomas, A History of Greek Mathematics, Vol. 2. Oxford: Clarendon Press 1921, pp. 323–324.

https://archive.org/details/ahistorygreekma00heatgoog/page/406/mode/2up

bd2017

Bonjour

@jc-marseille pour ma récurrence c'est tout simple, excepté qui il y a un problème à l'allumage. Pour cela on  pose:

 pour tout $n\in \N^*,$  $P(n)$  la proposition  "$u_n>\sqrt{2}$  et    $u_n<u_{n-1}".$

Bien entendu on choisit n'importe quelle valeur pour $u_{-1}$   pourvu que    $u_0<u_{-1}.$  (ici, par exemple $u_{-1}=3>u_0=2$)

Donc $P(0)$ est vraie.  

Ensuite il est clair que si on suppose $P(n)$ vraie alors $P(n+1)$ est vraie grâce à $(1)$ et $(2)$ 

 

lourrran

Un arbre sans feuilles, on écrit feuilles au pluriel, parce que s'il en avait, il en aurait plusieurs.
Un homme sans chapeau, chapeau est au singulier, parce que s'il en avait, il en aurait un seul.
Une suite sans secret, ou sans secrets ? A toi de choisir, selon le sens que tu veux donner, mais allons-y pour le pluriel.

gebrane

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