surface implicite et plan tangent

rebellin

Bonjour,

Je considère la surface $\mathcal{S}$ d'équation $f(x,y,z)=0,$ où $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ est définie par $$f(x,y,z)=x^2-xy^3-y^2z+z^3.$$

Je m'intéresse au plan tangent à $\mathcal{S}$ au point de coordonnées $(1,1,1).$

Ce plan $\mathcal{P}$ a pour équation $(x-1)\frac{\partial f}{\partial x}(1,1,1)+(y-1)\frac{\partial f}{\partial y}(1,1,1)+(z-1)\frac{\partial f}{\partial z}(1,1,1)=0.$ Après calcul on obtient $\mathcal{P}:x-5y+2z+2=0.$

En appliquant le théorème des fonctions implicites, je sais qu'au voisinage de $(1,1,1),$ on peut écrire $z=\phi(x,y),$ où $\phi$ est de classe $C^{\infty}.$

J'aimerais utiliser la Hessienne de $\phi$ pour étudier les positions relatives de $\mathcal{P}$ et $\mathcal{S}$ au voisinage de $(1,1,1),$ mais je ne sais pas comment m'y prendre. Une première étape serait peut-être de différencier l'égalité $f(x,y,\phi(x,y))=0$ par rapport à $x$ et $y,$ mais cela ne permet pas de récupérer d'expression explicite pour $\phi.$

Quelqu'un sait-il comment résoudre ce type de problème ? Merci !

math2

Si tu différencies la relation, tu vas faire apparaître les dérivées partielles de $\phi$. Certes tu ne les connais pas, cependant par cette relation tu pourras les évaluer en $(1,1)$, où là tout est explicite. En dérivant suffisamment de fois, on peut calculer toutes les dérivées partielles souhaitées de $\phi$, explicitement uniquement au point $(1,1)$, ce qui permet de faire un développement limité de $\phi$ à l'ordre souhaité (bon j'avoue que pour une fonction de plusieurs variables, je n'irais pas plus loin que l'ordre 2 par manque de courage ..?

.)

Malickp

Il y a plus facile! Tu peux étudier la seconde forme fondamentale $II$ sans faire appel à $\phi$. Dans ce cas, si tu orientes la surface par le vecteur normal $\frac{\nabla f}{\vert \nabla f \vert}$, la forme $II$ est (positivement) proportionnelle à l'opposé de la forme hessienne $d^2 f$ restreinte au plan tangent $T_{(1,1,1)} S$. Il ne reste plus qu'à calculer les courbures principales associées pour conclure. 

Pour trouver une référence, tu peux aller voir dans n'importe quel livre de géométrie différentielle un peu classique, par exemple géométrie d'Audin (section 9) ou le livre de géométrie de do Carmo (section 3).

rebellin

Merci pour les deux méthodes, ça règle mon problème.