Uniformément continue + borné implique équicontinue?

Besma bissan

salut,

Soit $A$: une famille de fonctions continues définie sur un intervalle compact à valeur dans un espace de Banach $E$.

est ce que si $A$ est borné alors elle est équicontinue?

gerard0

Bonjour.

Je ne sais pas trop ce que veut dire ici "$A$ est bornée", mais j'ai pensé à la famille des $\sin(nx)$.

Cordialement.

Renart

@Besma bissan : non, les propriétés équicontinu et borné n'ont pas grand chose à voir. La famille suggérée par gerard0 est un contre-exemple. De façon générale et, sauf cas triviaux (ou pathologiques, selon les goûts de chacun), l'espace $C^0(K,E)$ est de dimension infinie donc sa boule unité n'est pas compacte. Puisque sa boule unité est un fermé borné elle ne peut pas en plus être équicontinue, sinon elle serait compacte en vertu du théorème d'Arzelà–Ascoli.

@gerard0 : j'imagine que Besma bissan fait référence à la norme de la convergence uniforme sur $C^0(I,E)$, ce qui donne un sens à "$A$ est bornée".