Fêtons les maths modernes ?

stfj

Je ne fais pas de différence entre $U/\sim_U$ et $P(\mathbb R^2)$ : $U/\sim_U$ est compact autrement dit $P(\mathbb R^2)$ est compact. Je ne comprends pas ce que tu écris, @raoul.S . Fais-le proprement pour montrer. Ne serait-ce pas de la sodomisation de diptère ?

raoul.S

Ce que je dis c'est que pour parler de compacité de $P(\mathbb R^2)$ il faut d'abord munir $P(\mathbb R^2)$ d'une topologie. Compact tout seul ça ne veut rien dire. On parle de compacité d'un espace topologique, pas d'un ensemble général...

Donc ce qu'il faut c'est d'abord munir $P(\mathbb R^2)$ d'une topologie $\mathcal{T}$ "naturelle" (pour se comprendre, c'est la topologie quotient que tu définis comme absconse), puis de montrer que l'espace topologique $(P(\mathbb R^2),\mathcal{T})$ est compact.

Toi tu montres juste que l'ensemble $P(\mathbb R^2)$ est en bijection avec l'ensemble $U/\sim_U$.

Vassillia

@raoul.S Exactement, ils te laissent frimer et chouiner sur un forum, ils ont mieux à faire
Spoiler : je n'ai pas prévu de parler de la compacité à mes enfants au secondaire et j'espère qu'ils ne se dirigeront pas dans les maths au supérieur.

Dom

Alors il y a un problème de notation. 

raoul.S

Vassillia a dit : 
je n'ai pas prévu de parler de la compacité à mes enfants au secondaire et j'espère qu'ils ne se dirigeront pas dans les maths au supérieur.

File leur un compas rouillé, ce sera mieux pour eux...

Vassillia

Mieux dans quel but ? Pas sûre d'avoir le même que toi mais j'ai confiance dans le fait qu'ils arriveront à utiliser un compas, un ordinateur et plein de choses utiles

gai requin

@Vassillia : C’est curieux de passer autant de temps sur ce forum alors que tu détestes les maths pour ce qu’elles sont 🤔

Vassillia

Mais je ne déteste pas les maths, c'est pour moi un très bel outil très performant pour résoudre plein de problèmes. Et j'ai d'ailleurs beaucoup appris de certains membres de ce forum. En plus, c'était scolairement ma matière la plus facile d'où mon choix de continuer dans cette voie, choix que je n'ai jamais regretté. Par contre, je déteste qu'on dise que les maths, c'est ce que vous avez décidé tout simplement car cela fait fuir la plupart des gens mais ce n'est pas bien grave. 

stfj

La mathématique n'est rien pour elle-même: ce ne sont que des outils. Un couteau n'est rien, ce n'est que l'utilisation qu'on en fait qui compte.

Ce qui m'a frappé en parcourant mathématiques 4 de Monge et Cie, c'est le peu d'application que ce livre offrait : j'ai fait tous les exercices du chapitre consacré à l'outil vectoriel et ce qui en est ressorti pour moi est qu'ils offraient aux élèves peu d'illustration de l'intérêt des outils qu'on voulait leur faire assimiler. Bref un éventuel sentiment de vacuité pour celle ou celui qui, à 14 ans, aurait l'honnêteté suprême de faire tous les exercices.

On ne peut offrir des outils (y compris les outils mathématiques) sans montrer un minimum à quoi ils servent. Et le problème de l'échaffaudage en géométrie proposé par Monge et Cie, est qu'il ne sert à rien en mathématiques. L'élève devra l'oublier aussitôt appris. Les vecteurs géométriques à l'épistémologie molle (et pour cause, tout le monde s'en moque) ne servent à rien en mathématiques. Tous les mathématiciens le savent.

Pendant la réforme des maths modernes, on a voulu apprendre du vide à des êtres humains.

Le bilan sans appel d'un Dieudonné ("une scolastique pire que la précédente") était à peine assez sévère.

En a-t-on tiré la leçon ? non. Pour preuve, la "mathématisation" délirante de la notion de grandeur, relayée dans les documents officiels. Une scolastique pire que la précédente.(p.6/49)

Pourquoi utilise-t-on des idiots utiles? Parce que quand il y a des résultats tels que 85% d'échec au DNB à un exercice de CM1, soit on en cherche les raisons pour y remédier : classes surchargées, profs sous-payés, surchargés de travail (on leur impose deux heures supplémentaires au cas où ils refuseraient l'aumône, les horaires-planchers les obligent à une classe supplémentaire, ie 20% de travail en plus payés 1h supp), absences d'enseignants non remplacés, autorité des enseignants pour les redoublements sapée (plus de redoublement),...

Soit on invente des raisons : tu savais pas mathématiser la notion de grandeur !

gai requin

@Vassillia : Qui sur le forum a décidé ce que sont les maths ? 🤔

Quelle est leur vision des maths honnie par la plupart des gens ?

Vassillia

Il n'y a qu'à avoir les réactions habituelles, ce début de discussion inclus, quand j'exprime que parmi les métiers qui se servent de maths, les mathématiques appliquées sont largement dominantes. Je pense que l'abstraction pure bloque bon nombre d'élèves et d'adultes. Quand tu dis que je déteste les maths pour ce qu'elles sont, est-ce que tu ne dis pas, au moins un peu, que ma vision des maths n'est pas la bonne ?

plsryef

C'est dommage d'opposer "maths concrètes" et "maths pures".(pour simplifier)

lourrran

J'ai lu ce matin le tout premier message... il y a d'abord quelques lignes qui ne présentent pas grand intérêt : j'ai lu ceci, je connais cela, je sais tout ou presque, bla bla bla...
Puis on entre dans le sujet : 
Au dela des railleries faciles par des non collègues  bla bla bla.
Et derrière ce message un lien vers une page wikipédia, à laquelle il n'y a rien à reprocher. Sauf qu'elle aurait été écrite par des non-profs, sacrilège.

On est dans le troll, la provocation, la bêtise parfaite. 
Normalement, on arrête la lecture à cette ligne. 

Barjovrille

Vassillia a dit :

quand j'exprime que parmi les métiers qui se servent de maths, les mathématiques appliquées sont largement dominantes. Je pense que l'abstraction pure bloque bon nombre d'élèves et d'adultes.

Bonjour, j'aimerai clarifier un point, mathématiques appliquées n'est pas l'opposé de "abstraction pure". Et les compétences recherchées en mathématiques appliquées ne sont pas du tout calculatoire. L'ordi calcul à notre place. Ce qui est recherché c'est plutôt un bagage théorique (donc des choses abstraite) pour demander à l'ordi de faire les bons calculs et le plus efficacement possible. Il n'y a qu'à aller jeter un coup d'oeil à des livres d'analyse numérique des EDP (il n'y a pas plus appliqué que ça) le niveau d'abstraction monte vite. Et on est très loin d'avoir tout résolu, (par exemple : très grosses difficultés pour les systèmes issues de lois de conservations donc quasiment toute la physique). On peut citer aussi l'aérospatiale avec le lancement de fusées et autres... , des problèmes compliqués qui font intervenir : optimisation, systèmes dynamiques (un domaine qui mélange théorie de la mesure, topologie, géométrie, donc grosse abstraction tout en étant une branche des maths appliquées). On ne fait pas de l'abstraction par plaisir, on essaye toujours de faire le plus simple possible, seulement le plus simple est déjà très dur.

Vassillia

Je suis d'accord avec toi mais il y a quand même 2 types de profil : celles et ceux qui vont chercher l'abstraction si nécessaire pour résoudre des problèmes et celles et ceux qui jouent avec les concepts pour le plaisir de jouer avec (c'est ce que j'ai appelé l'abstraction pure). Oh que si il y a de l'abstraction par plaisir, même moi, j'en ai déjà fait.

Évidemment que pour pouvoir calculer quoi que ce soit, il faut en passer par des bases théoriques, y compris concernant la complexité des algorithmes ou le conditionnement des données. Mais la grande différence dans l'approche, c'est qu'on fait des maths comme un moyen, pas comme un but. Mon principal problème, c'est que si on prive des gens de but (car l'abstraction n'est pas un plaisir), et bien, ils ne sont pas très motivés et ils n'y arrivent pas alors qu'ils auraient pu y arriver si on avait motivé l'apprentissage. D'ailleurs quand on fait des calculs en géométrie à l'ordinateur sur ce forum, on se fait mal voir car il parait qu'il faut faire des démonstrations synthétiques pour faire des maths. N'est-ce pas une illustration de ce que je disais sur la vision des maths qui est imposée (ou en tout cas qui tente d'être imposée) ? Bon rappelons quand même que ce forum n'est pas très représentatif donc ce n'est pas très grave encore une fois.

Foys

Quelqu'un qui traite (en fait: dit traiter) les mathématiques "comme un moyen" et non pas "comme un but" n'est pas un mathématicien de toute façon (le vocabulaire entre guillemets dans ce message n'est pas anodin et en fait exprime des confusions et un ressentiment très lourds).

Vassillia

Je ne voulais pas être mathématicienne, je voulais être prof, il se trouve que mon choix s'est porté sur les maths mais il aurait pu se porter sur autre chose. Aucun ressentiment et aucune confusion puisque mon but est atteint.

Georges Abitbol

Mon principal problème, c'est que si on prive des gens de but (car l'abstraction n'est pas un plaisir), et bien, ils ne sont pas très motivés et ils n'y arrivent pas alors qu'ils auraient pu y arriver si on avait motivé l'apprentissage.

C'est ton avis et je ne suis pas du tout d'accord. Je dirais que la majorité des matières à l'école n'ont pas de "but"... En fait, ce point de vue me semble vraiment absurde. Y a-t-il un sport qui ait un "but", par exemple ?

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Au passage, en termes de logique, "but" et "moyen" sont complètement opposés : dire que $A$ est un but, c'est proposer des démonstrations de $A$, notamment des énoncés de la forme $B \Rightarrow A$. Dire que $A$ est un moyen, c'est proposer des applications de $A$, notamment des énoncés de la forme $A \Rightarrow B$.

En outre, d'une certaine façon, plus un énoncé $A$ a d'applications... plus il est faux (c'est le principe du raisonnement par contradiction : si on démontre que de $A$ s'ensuit un truc $B$ absurde, on conclut $\neg A$).

En termes plus familiers, "proposer des applications des maths" consiste à "amener des gens à douter des maths", alors que "démontrer des théorèmes" consiste à "amener des gens à croire en les maths".

Donc "montrer des applications des maths", c'est vraiment à l'opposé des maths. Je ne dis pas que ce n'est pas intéressant, ni qu'il ne faut jamais faire cela dans un cours de maths (enfin, si pour une contrainte de temps, on doit choisir entre prouver des trucs et montrer des applications, je dis qu'il faut prouver des trucs). Ce que je dis, c'est que ce n'est pas qu'une histoire de personnes qui aiment l'abstraction pure contre personnes sensées qui veulent des applications, ou une histoire de personnes qui veulent imposer leur avis aux autres. Cela relève de la définition des maths.

Vassillia

Georges Abitbol a dit :

 Cela relève de la définition des maths.

Alors, c'est pour ça que la place des maths diminue et je m'en réjouis !

Le sport est bon pour la santé et surtout les gens aiment regarder le sport, ils n'aiment pas écouter des conférences de maths où ils ne comprennent rien.

Par contre, on peut tout à faire aimer l'abstraction pure et être sensée, pas de jugement de valeur, c'est un gout personnel tout à fait raisonnable, comme étudier le latin où ce que vous voulez de non utile que l'on peut faire par plaisir. Mais je souhaite qu'on n'embête pas les autres avec ça ou en tout cas le moins possible puisque cela les repousse.

stfj

Je vais rappeler des banalités : étymologiquement, "mathema" veut dire sciences. Les mathématiques sont donc étymologiquement un ensemble d'outils utiles aux Sciences. 

Ce qu'il y a, c'est qu'on s'est rendu compte que tel outil construit pour telle science s'avérait utile ailleurs, indépendamment de la science pour laquelle il avait été construit. D'où l'abstraction mathématique, consistant à ne conserver dans l'outil que la partie essentielle aux applications et l'apparition des mathématiciens en tant que tel. 

Il y a différents types de mathématiciens créateurs : ceux qui continuent à s'inspirer des autres sciences pour développer de nouveaux outils. Et ceux qui créent des outils que seuls les mathématiques réclament pour elles-mêmes et en elles-mêmes(longtemps l'arithmétique en a représenté le modèle avant ses applications en cryptologie par exemple). Mais la frontière est floue puisqu'une mathématicienne s'intéressant un jour à un domaine donné s'intéressera plus tard à un tout autre domaine. 

Les mathématiques sont surtout une activité de l'animal humain, qui l'a porté à un degré de sophistication inconnue des autres animaux.

Le qualificatif "modernes" n'est pas pertinent : il n'y a pas de rupture profonde entre les mathématiques actuelles et les mathématiques de toujours. Il s'agit toujours de résoudre les problèmes légués par le passé. Et pour cela, aucune règle, tous les coups sont permis, tous les outils, toutes les armes sont à notre disposition. A la guerre comme à la guerre.

raoul.S

Vassillia a dit : 
Alors, c'est pour ça que la place des maths diminue et je m'en réjouis !
...
on peut tout à faire aimer l'abstraction pure... Mais je souhaite qu'on n'embête pas les autres avec ça ou en tout cas le moins possible puisque cela les repousse.

Mais elle vient d'où toute cette amertume ? Des expériences traumatisantes ou juste du troll peut-être... autant aller sur un forum de bons vivants pour leur dire de faire un régime.

stfj

Je donne mon avis même s' il est malvenu : le matheux est constamment tiraillé entre deux opposés. L'un consiste à résoudre un problème et l'autre consiste à parfaire le modèle qu'il a construit pour résoudre ce problème et d'autres. C'est l'essence même, le carburant de l'activité mathématique. Privilégier l'un plutôt que l'autre, c'est aller à la panne sèche. Le matheux est habitué à ces pannes et il sait ce qu'il faut faire pour y remédier. Par contre l'apprenant confronté à de telles pannes risque vite de se dégoûter.

Vassillia

@raoul.S Quand je dis que je me réjouis, tu y vois de l'amertume, bizarre, peut-être que l'amertume n'est pas du côté que tu le dis. Tu as du mal avec la réalité ? Désolée

raoul.S

La tienne me semble être de l'amertume envers des maths auxquelles on ne voit pas immédiatement l'utilité. À t'écouter on ne devrait plus faire de recherche en théorie des ensembles par exemple.

Je ne défends pas un enseignement purement abstrait au niveau collège, lycée. Bien sûr qu'il faudrait montrer des applications plus ou moins pratiques s'il est possible. Mais les maths ne devraient pas être reléguées pour autant à un outil pour les autres sciences...

stfj a dit : 
La mathématique n'est rien pour elle-même: ce ne sont que des outils.

Les mathématiques existent car les humains arrivent à "percevoir un monde où vivent des objets abstraits". Les mathématiques étudient ces objets abstraits, comme la physique étudie la réalité qui nous entoure. Alors oui, dans un système capitaliste il faudrait justifier le fait d'investir dans l'étude d'objets abstraits, mais ceci n'a rien à voir avec la nature des mathématiques.

Georges Abitbol

@Vassillia : 

Alors, c'est pour ça que la place des maths diminue et je m'en réjouis !
[...]
je souhaite qu'on n'embête pas les autres avec ça ou en tout cas le moins possible puisque cela les repousse.

J'ai du mal à comprendre ta position. Voici la mienne.

A ) Il est nécessaire à l'enseignement des sciences en général que certaines personnes du corps enseignant (souvent étiquetées comme "profs de maths") soient compétentes en abstraction pure et que ces personnes enseignent ça, parce que... une partie non négligeable des sciences s'appuie sur cette abstraction pure.

B ) L'éducation a pour but de confronter les enfants à un maximum de choses (y compris des choses qui peuvent repousser certaines et certains), afin que chaque personne puisse

1) savoir que ça existe ;
2) savoir si elle est forte en ça ;
3) savoir si cela lui plaît.

Pourquoi ? Tout simplement parce qu'il est nécessaire que dans la société, pour toute chose, il y ait une personne qui soit compétente dedans ; et pour trouver cette personne, il suffit souvent de l'avoir exposée à cette chose.

Compte-tenu de ces deux points, c'est complètement clientéliste et absurde de vouloir qu'on "n'embête pas les autres". Je te ferai également remarquer que l'abstraction pure n'existe pas dans l'enseignement secondaire...

Le sport est bon pour la santé et surtout les gens aiment regarder le sport, ils n'aiment pas écouter des conférences de maths où ils ne comprennent rien.

Allez... C'est ridicule. Si des gens vont à des conférences de maths sans rien y comprendrent, c'est surtout de la faute de l'éducation nationale qui a failli, et de la faute du conférencier qui choisit mal le niveau de sa conférence...

Vassillia

Non, à m'écouter, on ne devrait plus obliger à faire des maths auxquelles on ne voit pas l'utilité (à court ou long terme). Heureusement qu'il y a de la recherche sur des trucs inutiles, sinon on peut presque mettre un terme à la recherche académique. Mon point de vue est que les maths devraient être enseignés principalement comme un outil aux services des autres sciences et pour les quelques élèves qui se découvriraient un gout pour l'abstraction, ils attendront le supérieur et/ou une option facultative au secondaire pour confirmer ou infirmer ce gout. 

C'est quand même très différent et globalement c'est déjà le cas dans l'éducation nationale donc tout va bien de ce point de vue. Sauf qu'il faut rappeler encore et toujours que votre intérêt pour les maths ne correspond pas à celui de la majeure partie de la population.

JLT

Maths dites "modernes" ou pas, j'ai envie de dire qu'on s'en fout tant que les élèves font des maths (=des calculs justes et des démonstrations correctes). Or c'est loin d'être acquis. Voici mes propres statistiques sur un paquet de copies d'examen d'arithmétique en L1 mathématiques. L'une des questions s'énonce ainsi : soit $p$ un nombre premier et soient $a,b\in\N^*$ tels que $a^3=pb^2$. Montrer que $p$ divise $a$. Je transcris texto des extraits de copies avec toutes les fautes d'orthographe et de ponctuation.

• Non réponses : 9
  
• Réponses correctes et à peu près bien rédigées : 5
  
• $p\mid a^2a$ donc $p\mid a$.
• On peut écrire $a^3$ comme une décomposition de facteur premier car $a^3$ contient $pb^2$. donc $p$ divise $a$.
• $p \mid pb^2\iff (p\mid p \;\mathrm{ou}\; p\mid b^2)$ car $p$ et $b^2$ sont premiers entre eux. Or, $p\mid p$ donc $p\mid a^3$ donc $p\mid a$ comme $p$ est premier et $a\in\N^*$.
• $a=p(\frac{b^2}{a^2})$ or $a\in\N$ donc $\frac{b^2}{a^2}\in\N$ donc $p\mid a$.
• $p\mid a\times a\times a$. $p$ est premier donc $p\mid$ l'un des composant de $a^3$, $a^3$ n'étant composé que de "a", alors $p\mid a$
  
• comme $p$ est premier $p\mid a^3$ donc $p\mid a$
• $p=\frac{a^3}{b^2}$, $p=(\frac{a}{b})^{3-2}=\frac{a}{b}$ donc $p$ divise bien $a$.
• $b^2=\frac{a^3}{p}$ or $b\in\N^*$ donc nécessairement $p\mid a$ sinon $b\in\Q$.
• Si $a^3=pb^2$, donc $p=\frac{a^3}{b^2}$ mais surtout que $\frac{a^3}{p}=b^2$. Donc $p$ divise $a^3$. petit théorème de Fermat, $p$ divise $a$.
• $p\mid a$ car $p\mid b$ c'est-à-dire que si on prend l'exemple que $a=b=p=2$ alors on a $2^3=2\times 2^2\implies 2\mid 8$ donc $p\mid a$.
• $p\mid a(a^2)$ donc $p\mid a$ ou $p\mid a^2$ $\implies p\mid a$.
• Comme $a^3=pb^2$ cela veut dire que $p\mid b^2$ Mais veut dire aussi que $\frac{a^3}{p}$ que $p\mid a^3$ En effet comme $a$ et $b$ sont premiers entre eux c'est pour cela que ca nous donne ca
• $a^3=pb^2\iff p\mid a^3\iff p\mid a$
• Si il existe un $c$ tel que $a=cb$ alors $c\mid a$. Donc ici $\exists p$ tel que $a^3=pb^2$ alors $p\mid a^3$.
• Soit $a^3=pb^2\iff a\times a\times a=pbb$. Soient $\lambda,\beta$ tel que $\lambda=a^2$ et $\beta=b^2\in\N^*$ car $a,b\in\N^*$. On a donc $\lambda a=\beta p$ donc si $\frac{\lambda a}{p}=\beta$ avec $\beta\in\Z\iff p\mid\lambda a\implies p\mid a$ $\underline{\mathrm{Faux}}$
• $a^2\cdot a=p\cdot b^2$ ; $a^2\wedge p=1$ comme $a^2$ est une multiplication des deux chiffres $\implies$ par le lemme de Gauss, $a^2\mid b^2\implies a\mid b\implies \exists k\in\Z$ tq $b=ak$ $\iff a^2a=pa^2k^2\iff a=pk^2\implies p\mid a$.
  

pldx1

Exercice. Voici deux affirmations:

1. Il y a les mathématiques pures, et les mathématiques appliquées.
2. Il y a les mathématiques épurées et les mathématiques applicables.

Question: discuter des avantages respectifs des mathématiques inapplicables et des mathématiques qui baignent dans le cambouis.

biguine_equation

La théorie des catégories, c’était un truc assez pur au départ. Mais voilà qu’on les applique aux langages de programmation. Est-ce qu’on entache leur pureté pour autant ? J’ai lu récemment que le succès des catégories dans les sciences informatiques s’explique en partie par le fait qu’un langage de programmation, ça peut ressembler, par certains aspects, à une catégorie. 

Le monde des contingences n’est peut-être pas si impur qu’on le dit.

Vassillia

Rien que le choix du mot pur est révélateur d'une drôle de mentalité. Comme si le fait d'avoir des applications concrètes visibles par la société allait entacher la pureté. Après on s'étonne que la société finisse par chercher puis trouver des combines pour se passer des mathématiques en se disant que les autres sciences se débrouilleront bien pour enseigner les prérequis mathématiques nécessaires. C'était quand même prévisible.

raoul.S

J'aime bien celle-ci : 

$p\mid a$ car $p\mid b$ c'est-à-dire que si on prend l'exemple que $a=b=p=2$ alors on a $2^3=2\times 2^2\implies 2\mid 8$ donc $p\mid a$.

J'ai rien pigé

Edit de JLT : j'ai corrigé une faute de frappe dans mon message et dans la citation ci-dessus mais ce n'est pas vraiment plus compréhensible.

Julia Paule

Les mathématiques, c'est l'abstraction (et aussi le jeu, l'énigme). Si on n'aime pas l'abstraction, on n'aime pas les maths.

Vassillia

Je pense que la plupart des étudiants mettent le mot "divisible" et le mot "premier" puis arrivent à la conclusion en se disant que le prof va trier et sera content car il a eu ses mots clés. Une technique qui marche un peu, même s'il n'y a pas de miracle, c'est de demander est-ce que $p$ divise forcément $a^3$ ? est-ce que $p$ divise forcément $a$ ? est-ce qu'on a forcément $p=a$ ? ... et le tout avec justification. L’intérêt, c'est que l'étudiant n'a pas la réponse tout en sachant dans quelle direction il faut chercher donc il est bien obligé de réfléchir.

@Julia Paule Sauf que moi, je veux faire réussir en maths même celles et ceux qui n'aiment pas les maths car aimer les maths n'est pas un métier alors que se servir des maths est utile dans quelques métiers quand même.

Julia Paule

@Vassillia D'accord, le but est différent.
Concernant le titre du fil, quand j'étais au lycée et que je faisais des maths modernes, je me demandais constamment où ils voulaient en venir : tout cela est très joli mais bon sang, est-ce que je saurai un jour où ça mène. Aujourd'hui je sais (ils sont partis de la fin). 
Par contre j'ai adoré les maths du lycée des années 90 que je considère comme les meilleures.

biguine_equation

Je forçais volontairement le trait en fait. Cette distinction entre mathématiques pures/impures (ou appliquées) m’a toujours paru un peu douteuse.
Je dirais que les mathématiques appliquées sont des mathématiques pures qu’on applique. J’ai bien aimé à ce propos le livre de Didier Nordon: « Les mathématiques pures n’existent pas »…

biguine_equation

On l’a déjà évoqué mais cette obsession de la pureté est peut-être aussi un héritage bourbakiste. Certains de ses membres, comme André Weil, voyaient les mathématiques comme un art. 

Dom

Il semble que l’on ait ajouté « appliqué » pour dire « ça sert à cela ». 

Comment nommer les mathématiques « non appliquées » ? N’est-ce pas en les qualifiant de « pures » ? Finalement ce que l’on appelle « mathématiques pures » est ce que l’on devrait appeler « mathématiques ». Et apparemment ça gêne.  

Toute proportion gardée, dans les sujets de société sensibles on a fini par ajouter l’adjectif « modéré » alors qu’il n’y en avait pas besoin. 

Cela dit je ne sais pas si dans l’histoire on appelle « maths appliquées » les mêmes choses selon les époques.  

biguine_equation

Pure, ça rime avec structure. L’essor de Bourbaki se fait en pleine folie structuraliste.

biguine_equation

Un témoignage d’Ivar Ekeland. Le passage sur le cour de topologie algébrique de Cartan est drôle (et tellement révélateur d’un malaise français dans l’enseignement des mathématiques)

stfj

Je ne me rappelle plus quel mathématicien écrivait(ça commence à dater) :" A Polytechnique, on a enfin compris que l'arithmétique pouvait servir, et on s'est empressé de l'enseigner à nouveau."

Concernant le post original, quand je suis tombé sur mathématique 4, comme je venais de m'intéresser dans une discussion ici-même sur des difficultés pour savoir quand introduire la notion de milieu en 6è, je me suis empressé de regarder comment Monge et Cie faisaient : ils consacrent les pages 234, 235 et le haut de la page 236 au milieu d'un segment d'une droite $\Delta$ sur laquelle ils ont choisi un repère normé $(O,U)$, et (même si ce n'est pas ce qu'ils écrivent, cela revient au même)$$x=m(a,b)\iff |x-a|=|x-b|\iff \begin{cases}x-a=x-b\\x-a=-(x-b) \end{cases}$$La première équation du système n'a pas de solution si $a\neq b$; la seconde fournit le milieu attendu $x=\frac12(a+b)$

C'est la démonstration; suit un théorème d'existence et d'unicité; puis enfin la définition, avec des exercices d'application directe($a=-1,b=9,m=4$ est-il milieu de $ab$?[j'utilise mes notations])

Il leur aura même fallu très logiquement, nécessité logique à laquelle ils se plient, définir le milieu du segment $[AA]$ réduit à un point par le point $A$ lui-même.(définition du bas de la page 235.)

Suit le chapitre 19 consacré à l'axiome de Thalès cher à @pappus, avec étude de la projection d'un milieu sur une droite[la démonstration occupe toute la page 247]

Le chapitre 20 (Symétrie centrale, parallélogramme) est, comme chacun sait, très dépendant des considérations précédentes. Ainsi que le chapitre 21(vecteurs) avec ses fameux bipoints équipollents.

________________

Dans le chapitre 20, la démonstration du théorème

$$\boxed{\text{L'image d'une droite }\Delta \text{ par }s_O, \text{ avec }O\notin \Delta \text{ est une droite }\Delta', \text{ avec } \Delta'\parallel \Delta}$$

occupe toute la page 261, alors que dans un espace vectoriel, il suffit d'écrire pour  $s_O(M)\doteq 2O-M$, que $$s_O(M)-s_O(N)=-(M-N)$$Ce que je veux dire c'est que leurs constructions exigeantes, leurs démonstrations de 1974 ne servent à rien puisqu'il faudra que l'élève s'empresse de les oublier quand il fera les démonstrations dans un espace vectoriel en seconde au lycée de 1974. Non seulement elles étaient inutiles mais en outre elles étaient nuisibles et l'attitude la plus raisonnable de l'enseignant de collège devait être de ne pas les imposer à ses élèves.

Les "mathématiques modernes" en géométrie au collège, n'ont-elles paradoxalement pas consisté à cacher sous un échafaudage auxiliaire maladroit, inutile et nuisible, ce qu'elles prétendaient révéler, ie l'Algèbre linéaire si utile au mathématicien et pas au seul mathématicien d'ailleurs ? (j'entendais récemment Yann Le Cun expliquer que certains concepts d'IA sont basés sur des considérations très simples d'Algèbre linéaire)

stfj

Pour fêter dignement les "maths modernes", ne pourrions-nous pas familiariser davantage nos élèves de collège avec le repérage dans un plan quadrillé, où l'enseignant définirait les notions classiques de la géométrie affine ( euclidienne ) en s'appuyant sur la praxis des élèves ? Pour reprendre l'exemple du milieu, on ne me fera pas croire qu'il est insensé d'attendre d'un élève de 4è/3è qu'il comprenne que le milieu $M$ de $[AB]$ est donné par la formule $$M=A+\frac12(B-A)=\frac12A+\frac12B$$Je me rappelle fort bien d'ailleurs l'avoir vu ainsi en 1984 sur de nombreux exemples numériques avec les formules $$\begin{cases}x_M=\frac12(x_A+x_B)\\y_M=\frac12(y_A+y_B)\end{cases}$$En outre, le lien avec la moyenne de deux nombres serait enfin flagrant.

On pourrait aussi définir un parallélogramme $ABCD$ comme un quadrilatère tel que $$B-A=C-D$$et prouver que $$ABCD \text{ parallélogramme }\iff B-A=C-D\iff D-A=C-B\iff \frac12(B+D)=\frac12(A+C)$$Je ne vois pas l'intérêt de définir les "vecteurs géométriques" $\overrightarrow {MN}$ mais on pourrait le faire. En ce qui me concerne, $$\overrightarrow {MN}=N-M$$suffit largement. Il y a plein de choses sympa à faire comme le théorème de Varignon... Cela n'est nullement incompatible avec la géométrie sur tableau blanc et pour faire le lien entre les deux approches, il suffit d'utiliser geogebra et de faire apparaître la structure euclidienne du plan de temps en temps via les commandes $$\text{afficher les axes/ afficher la grille}$$

Nous pourrions ainsi atteindre avec une économie de moyens remarquable l'exigence intellectuelle des enseignants des années 70, tout en conservant notre volonté légitime de ne pas atrophier l'intérêt de la géométrie par une place exagérée confiée à une rigueur prématurée au collège. En outre, cette gentille initiation à l'Algèbre linéaire est dans l'air du temps puisque Jacques Moisan s'en est fait le chantre récemment. J'ai également rapidement évoqué la moyenne pour faire le lien avec les statistiques, les probabilités et les mathématiques discrètes, dont Jacques Moisan s'est également fait le chantre. On rappelle qu'une moyenne pondérée $$\bar x\doteq \frac{\sum \lambda_i x_i}{\sum \lambda_i}$$ et un barycentre de points pondérés $$4M=A+B+2C$$sont en effet une seule et même notion de barycentre dans un espace affine.

Cyrano

Pour en revenir aux mathématiques modernes, il faut souligner l'importance du témoignage de gerard : un nombre écrasant de professeurs de l'époque n'ont pas appliqué le programme. J'ai même des connaissances plus âgées qui me disent que c'est à partir de cette époque que les profs de maths ont pris l'habitude ne pas appliquer certains pans de programme. C'est en effet en mathématiques qu'on constate le plus de rébellions face aux programmes. 

Les élèves de gerard ont eu droit à une tentative de maths modernes édulcorées mais d'autres enseignants ne se sont pas embarrassés et ont stricto sensu appliqué les programmes d'avant reforme. Parfois certains élèves avaient même l'ancien programme une année puis une version maths modernes l'année suivante. Au final le taux d'échec n'a pas spécialement explosé alors que l'absurdité était énorme. Ca permet de relativiser l'importance réelle de ce qui se joue dans une salle de classe.

gerard0

Effectivement Cyrano, j'ai eu une classe de troisième dont le prof, l'année précédente, faisait l'ancien programme (programme 1950); je ne le savais pas, je ne me suis aperçu de rien; je l'ai appris plus tard. 

Cordialement. 

stfj

Les dommages sont comme d'habitude les plus importants pour les plus faibles, les enfants issus des milieux pauvres, les filles auxquelles on fait sentir depuis qu'elles sont toutes petites qu'elles sont moins douées en maths que les garçons,... Donc ce n'est pas grave. Je rappelle qu'en 2017, aucune fille n'a intégré l'ENS maths. Mme Barruel, ma professeure de CE1 adorait nous enseigner les patates et j'ai beaucoup appris avec elle. Mme Yannick en CM1 et CM2 nous faisait des dictées et des problèmes de trains et de robinets. En 6è, en 1981, mes 5 premières notes en maths étaient 20/20; j'ai pleuré quand je n'ai eu que 16/20 au 6è contrôle. C'était tellement facile après Mme Yannick. Pas si absurde que ça à mon avis. Je n'ai eu que des enseignants tous plus compétents les uns que les autres du primaire au supérieur.

stfj

Je me demande s'il y a un lien entre le Charles Pisot cité par @biguine_equation et le Charles Pisot ayant participé à Mathématiques 6è Bordas, cité dans OP. Comme une recherche internet l'associe à Jean-Louis Boursin ayant participé à cet ouvrage, pourquoi pas ?

Congru

Je ne comprends pas la logique d'enseigner les maths avec des outils dépassés qu'on a passé des siècles de recherche à révolutionner. Le but de la recherche n'est-il pas d'être plus éclairé ? Si oui, alors comment comprendre que l'outil avec lequel le chercheur a fait son éducation à l'enfance soit le même qui soit utilisé pour la génération qui arrive après les travaux du chercheur qui ont révolutionné ce même outil ?

Congru

On ne progresse pas en enseignant des choses dépassées et en espérant que les jeunes vont comme par magie rattraper toute l'évolution historique à un moment donné dans leurs études supérieures et aller significativement plus loin.

Les maths modernes avaient au moins essayé de donner des bases des maths courantes aux petits de telle sorte à les faire entrer dans le courant des mathématiques et à les faire poursuivre là où la recherche s'est arrêté.

Congru

Les mathématiques pour moi ne sont pas un outil. Les maths sont nées du besoin de résoudre des problèmes dits difficiles, les objets mathématiques sont des solutions à des problèmes. Les mathématiques c'est la résolution de problèmes et la construction de théories. Il s'avère que c'est une activité très importante de l'espèce humaine. Les "maths utiles" sont éphémères et vouées à être dépassées et leur remplaçant viendra sans surprise des "maths pures" qui s'éloigneront de ce remplaçant pour devenir encore plus abstraites.

L'avenir viendra des maths pures et non des maths appliquées. Les maths appliquées offrent des solutions à un ensemble restreint de problèmes qui sont d'actualité aujourd’hui, mais qui seront totalement et complètement désuets dans le futur.

Cyrano

Du point de vue du mathématicien, chercheur professionnel, cette distinction entre maths pures et maths appliquées est en effet un peu ridicule. Malheureusement elle est renforcée par des politiques éditoriales : il y a des revues "pures" et des revues "appliquées". 

Mais à l'école elle a tout son sens. C'est une très longue histoire en réalité, je voudrais même en faire un fil de discussion un de ces jours, qui remonte à la réforme protestante. On voit très tôt apparaitre un conflit entre d'une part mathématiques enseignées dans le seul but d'élévation de l'esprit (à l'époque il s'agissait de l'enseignement des éléments d'Euclide) et d'autre part des mathématiques pratiques destinées à la formation professionnelle. Ces dernières pouvaient emprunter quelques théorèmes basiques des éléments d'Euclide (Pythagore, etc.) mais pas forcément le mode de rédaction orienté vers la démonstration.

Faut-il motiver l'apprentissage des mathématiques par de l'intrinsèque (honneur de l'esprit humain, plaisir de l'abstraction, plaisir du "jeu", etc.) ou par de l'extrinsèque (formation professionnelle, compréhension de l'outil informatique, etc.) ? Cette question est débattue depuis des siècles et a vraiment pris une ampleur majeur durant le XXème siècle. Les deux "camps" ont des bons arguments et, au final, il n'est pas certain qu'on soit réellement obligé de trancher.

Vassillia

Si tu te décides un jour à faire un fil à conation historique, je te lirais avec plaisir. Il faudrait si possible mettre en parallèle le % d'élèves à qui on enseigne ces notions et mettre en parallèle le rang social que procure (ou pas) "l'honneur de l'esprit humain" pour essayer de voir dans quel sens les choses évoluent.

Il n'y a pas que les revues, à ma connaissance, il y a toujours, du moins en France, CNU section 25 maths pures, section 26 maths appliqués et section 27 informatique même s'il n'est pas rare d'être qualifié pour plusieurs sections.