Fêtons les maths modernes ?

stfj

Bonjour,

Je viens de découvrir le travail pour les éditions Belin en 1974 de Mme Hautcoeur-Tardieu, MM. Guinchan, Pecastaings, Pelle et Monge, à travers leur manuel de 4è, sobrement intitulé mathématiques 4. 

Je connais par ailleurs 

- les travaux de MM. Morlet, Kerambi, Dehame, Biancamaria, Queysanne et Revuz pour des manuels de collège pour Nathan, 1971;

- Mathématiques 6è, 1977, Bordas, par G. Blaquière, J.-L. Boursin, A. Dubreuil, R.Gitton, C.Pisot et J. Stouls;

- les travaux des Papy pour Didier(1968) auxquels Jean Dieudonné fait référence sans critique dans sa préface d'Algèbre linaire et géométrie élémentaire de 1964,

- quelques autres livres de formation des maîtres tels que Géométrie pour l'élève professeur de Frenkel(1973), encouragé par exemple par Berger; Vers les structures de Rémi Ziglon(1971);

- Statistique descriptive, classes de 1ère G, Classe terminale hôtelière, 1970, Dunod, par G.Richard et R.Chappellet;

- Mathématiques 1è AB, 1970, Nathan, par Gilbert Pitel et Claire Durant.

- MATH et calcul, CM1, 1975, Hachette, Robert Eiller, Roger et Simone Ravenel

Au-delà des railleries faciles par des non-collègues et des anathèmes jetés justement [par exemple par un Jean Dieudonné ("une scolastique pire que la précédente")], j'avoue volontiers mon admiration pour le travail de ces collègues il y a un demi-siècle maintenant.

Non seulement la recherche d'une rigueur sans faille mais également le respect, l'exigence, que leur travail suppose à l'égard des élèves de l'époque.

Alors pour moi, oui, une fête digne d'être fêtée, un cinquantenaire où il serait peut-être utile d'étudier ce qu'on peut retirer de bon de cette ambition partagée par au moins la vingtaine de personnes citées, à l'heure où un document eduscol rappelle que 85% des élèves de 3è échouent là(v.p.8 un banal ex de périmètre) où, dans mon souvenir, seuls les élèves les plus en difficulté de CM1 et CM2 de mon école communale de Ploneiz auraient échoué.

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Quels sont vos conseils d'enseignants de mathématiques ou de personnes informées sur ce travail objectivement de grande qualité, pour ne pas jeter le bébé avec l'eau du bain?

Cordialement, stfj.

Dom

Plus précisément voici l’extrait. 

Au moins on lit qu’il y a une « déperdition », ou bien que les élèves « désapprennent » surtout au collège. 

Soc

On dirait une interprétation de sociologue.... on pourrait aussi dire que quand on n'a qu'une seule méthode, il n'y pas source de confusion.

jelobreuil

En effet, c'est assez révélateur ... et profondément attristant !

stfj

Il y a quelques années, un jeune collègue m'avouait ne pas savoir ce qu'est une relation d'équivalence sur un ensemble $E$ et se moquer comme de l'an 40 de ce que cela peut bien être.

Pour moi, une relation d'équivalence, c'est ce que je faisais quand j'étais petit en CE1 avec Mme Barruel en entourant les poissons rouges d'un côté, les bleus de l'autre, ... Comme on avait appris à lire, on faisait la relation avec "... a la même couleur que ..." Je ne sais pas ce que le collègue entendait par "direction" d'un vecteur géométrique. Ni même ce qu'il entendait par "vecteur $\overrightarrow {AB}$". 

Sans doute la même chose que ce qu'en entendent des youtubeurs auxquels se réfèrent un nombre croissant de nos élèves : pour définir la notion de "direction", tu bouges beaucoup les bras, tu brasses du vent, du vide, en espérant combler les lacunes des élèves avec ce vide. Je sais, ça moque.

Le document eduscol qui propose une mathématisation de la notion de grandeur par le grand mathématicien Yves Chevallard devrait être fort utile à ce collègue.

Tout cela pour très sérieusement affirmer que nous avons remplacé "une scolastique pire que la précédente" par une scolatique pire que la précédente, et qu'il serait bon de revenir à un peu de raison.

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Par ailleurs, j'avais souhaité m'interroger avec vous sur le paradoxe qui me semble exister entre l'absence de réintroduction par des instructions eduscol par exemple de quelques éléments de la théorie naïve des ensembles et l'introduction il y a quelques années des probabilités au collège. Je constatais que le travail de l'équipe chapeautée par Claude Deschamps pour les éditions Belin semblait conforter cette possibilité. Mais mon avis a évolué depuis, où je me suis rendu compte que ces quelques éléments aidaient grandement mes élèves à comprendre. Je parle donc dès la 6è volontiers de l'intersection de l'ensemble CHLOE et de l'ensemble THOMAS constitués des lettres du prénom.

Voilà ce que j'appelle par exemple ne pas jeter le bébé avec l'eau du bain.

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Sauf erreur de ma part, les propositions de Jean Dieudonné dans Algèbre linéaire et géométrie élémentaire n'ont toujours pas été expérimentées au lycée, lui qui avait évidemment immédiatement vu les errances consistant à bâtir "un échaffaudage préalable", là où quelques mois de pratique dans le quadrillage ($\mathbb R^2$) suffiraient à convaincre l'élève qu'on fonde tout l'édifice algébrico-géométrique sur l'Algèbre linéaire.

Sans doute des collègues de Dieudonné tels que Yves Chevallard ou d'autres, ont leurs raisons.

Vassillia

Bonjour, étant née post maths modernes, je n’ai jamais entendu parler de relation d’équivalence avant la prépa et je l’ai bien vécu.

Tout le monde idéalise son bon vieux temps mais s’il y a eu un recul dans tous les pays de cet enseignement, il y a sûrement une raison. La principale me semble être que les utilisateurs des études mathématiques se trouvent principalement dans les sciences physiques et l’ingénierie donc il faut mettre l’accent sur les compétences calculatoires plutôt que sur les idées abstraites. Pour le dire autrement, il n’y a pas beaucoup d’intérêt à créer une armada de chercheurs en maths pures, d’autant qu’ils ne trouveront pas beaucoup d’emplois correspondants à cette capacité. L’omniprésence de l’informatique change un peu la donne et mettre l’accent sur l’algorithmique me semble pertinent donc pourquoi pas un peu de logique ? pourquoi pas reprendre une partie des maths modernes ? Mais on a tout intérêt à rester sur l’image mentale d’un vecteur avec norme, direction et sens tout en montrant comme on fait les calculs.

Si les élèves regardent youtube et n’écoutent pas leurs profs, il faut peut-être se demander pourquoi et s’inspirer de ce qui fonctionne plutôt que de se lamenter que le monde a changé et la place des maths avec lui. Est-ce nécessaire d’être bons en maths modernes pour réussir professionnellement ? Spoiler : non dans la quasi-totalité des métiers. Est-ce que les maths modernes sont répulsives pour nombres d’élèves et profs ? Spoiler : oui.

raoul.S

Vassillia a dit : 
il faut mettre l’accent sur les compétences calculatoires plutôt que sur les idées abstraites

Il y a les ingénieurs pour ça au cas où...

Congru

Vassillia a dit :

Bonjour, étant née post maths modernes, je n’ai jamais entendu parler de relation d’équivalence avant la prépa et je l’ai bien vécu.

Tout le monde idéalise son bon vieux temps mais s’il y a eu un recul dans tous les pays de cet enseignement, il y a sûrement une raison. La principale me semble être que les utilisateurs des études mathématiques se trouvent principalement dans les sciences physiques et l’ingénierie donc il faut mettre l’accent sur les compétences calculatoires plutôt que sur les idées abstraites.

Bonjour @Vassillia, pourquoi c'est au cours de mathématiques de veiller aux cours de "sciences physiques et l’ingénierie" ?

Ces domaines là ne pourrait-ils pas avoir leur propre cours de maths-calculatoires pour "sciences physiques et l’ingénierie" ? Et de préférence enseignés par des spécialistes de "sciences physiques et l’ingénierie" ? Comme ça chacun son domaine, en maths on enseigne des maths, et en "sciences physiques et l’ingénierie" on enseigne la "sciences physiques et l’ingénierie" ou la dérive des maths qui s'y attache.

Vassillia

Si tu veux mais alors rendons les maths facultatives pour ne pas obliger les élèves à apprendre des choses qu'ils n'ont pas envie d'apprendre et qui ne leur serviront à rien (dans la plupart des cas). On notera que c'est ce qui est fait post-bac où effectivement, les maths sont facultatives en fonction du choix de parcours et les profs peuvent se lâcher sur l’abstraction et le formalisme.

gerard0

Stfj, tu manque sérieusement de sens commun. Tu appelles "important" ce que tu aimes, et passes ton temps à dénigrer ceux qui ne font pas comme toi. En général, je passe rapidement, mais là tu dépasses les bornes : 

Je ne sais pas ce que le collègue entendait par "direction" d'un vecteur géométrique. Ni même ce qu'il entendait par "vecteur $\vect{AB}".

Autrement dit, sans théorisation, tu ne comprends rien !!! Tu n'aurais donc pas pu suivre les maths des années 50, ou plus probablement tu as été tellement déformé par tes enseignements mal compris de primaire et collège que tu fais des maths sans comprendre, comme une IA.

J'ai croisé, dans les années 1980, des élèves et étudiants comme toi, capables de faire un sujet de terminale C, mais pas de savoir en parler avec quiconque.

Sinon, ton sujet initial est un peu idiot, les maths modernes, ça date de plus de 50 ans, ce n'est pas une anniversaire, et on peut en conclure qu'il s'agit du troll du week-end.

NB : Je sais de quoi je parle j'ai suivi les programmes 1950, enseigné ceux des maths modernes (éducorés, car impossibles à traiter strictement sans sacrifier 95 % des élèves que j'avais) puis participé à la rectification de 83.

raoul.S

Moi ce que je ne comprends pas c'est cette attitude qui consiste à rabaisser constamment les mathématiques théoriques considérées comme inutiles... et tu viens dire ça sur un forum de math. Cherchez l'erreur.

Si tu veux je te trouve un forum d'ingénieurs comme ça tu arrêtes de soûler... 

PS : le message est évidement adressé à Vassillia.

stfj

Est-ce qu'on en est rendu après 50 ans de bricolage consistant à trouver des "solutions" contestables (enseigner de la physique qui peut-être rappelle vaguement la mathématique), à une situation où 85% des élèves ne savent pas résoudre au DNB un exercice relativement simple de CM1 ? Spoiler : oui. Et la solution institutionnelle proposée consiste-t-elle à mathématiser par le grand mathématicien Yves Chevallard la notion de grandeur pour nous, humbles enseignants? Spoiler : oui.

Plus sérieusement, @Vassillia, si les élèves n'écoutent pas leurs enseignants, c'est qu'ils sont depuis la maternelle dans des classes surchargées, qu'on les fait passer dans la classe supérieure avec 1/20 en SVT ou 2/20 en Arts Plastiques , qu'ils savent avant même de rentrer en 6è qu'ils pourront abandonner les maths au lycée, qu'on réduit les horaires aux horaires-planchers, qu'il faut aller pleurer dans le bureau de l'intendant pour avoir un marqueur, qu'il n'y a plus d'enseignant devant la classe parce que l'enseignant est malade et pas remplacé... Je peux continuer ainsi longtemps.

On peut très bien se passer des relations d'équivalence. Jean Dieudonné ne les évoque quasiment jamais dans Algèbre linéaire et géométrie élémentaire et Serge Lang pas du tout dans son premier chapitre de Linear algebra 1. Je n'idéalise pas du tout mon bon vieux temps et ma première réaction à la lecture du travail de Monge et Cie, mathématiques 4, pour Belin 1974, a été : comment se mettre à 5 agrégés de l'Université dont un ancien élève de l'ENS pour se fourvoyer autant ?

Congru

@Vassillia moi je veux qu'on supprime carrément les maths mais seulement dans les écoles privées que tu aimes tant. Dans les écoles où tu envoies tes enfants, on fait de belles maths, mais dans celles du petit peuple, tu veux imposer autre chose.

Aussi, par la même occasion, pourquoi le petit peuple est-il tenu de financier les écoles privés des riches ?

Je vote pour que les maths soient interdites dans les écoles privées et obligatoires dans les écoles publiques mais aussi pour que le gouvernement arrête de subventionner ces écoles de riches avec l'argent des pauvres.

Vassillia

@raoul.S C'est gentil mais sur les forums d'ingénieurs, il y a heureusement moins de travail pour corriger et remettre les choses à la place qui me semble juste. Je me fiche de saouler, et dans certains cas (toi par exemple), c'est même jouissif

@stfj Si tu veux virer la mathématisation de la notion de grandeur, je suis tout à fait pour mais pas pour la remplacer par la mathématisation d'autres notions intuitives. Pour le reste, c'est sans doute vrai sur les conditions d'enseignement mais cela ne dit pas ce qu'il faut enseigner. Et les maths modernes ont été un échec factuel pour une majorité donc je ne les regrette pas, désolée. En plus, les visionnaires qui ne se sont pas intéressés aux probas, comment te dire ? Ils ne pouvaient pas savoir comment le monde évoluerait donc on ne peut pas leur en vouloir mais de là à prendre en compte leurs recommandations des années après.

@Congru D'accord pour interdire les maths modernes à mes enfants, je ne veux pas qu'ils en fassent. Cela maximise encore leur avantage sur ceux de l'école publique pour avoir un bon boulot mais c'est déloyal 

Congru

J'espère que les autres sont conscient de l'hypocrisie ultime de certains qui offrent quelque chose à leurs enfants et plaident pour que cette chose soit inaccessible aux enfants des autres.

Dom

Voilà un joyau : « pour ne pas obliger les élèves à apprendre des choses qu'ils n'ont pas envie d'apprendre ». Que ce soit « utile » ou pas (ça aussi c’est un joyau), ce n’est pas l’élève qui décide de ce qu’on lui apprend. 

M’enfin ce fil est de toute manière voué à je ne sais quoi. On s’ennuie le dimanche (où est passé Drucker ?). 

Vassillia

Tu as raison Dom ce sont leurs parents (et la société via le système scolaire) qui décident. Et moi je veux que mes enfants apprennent des choses utiles n'en déplaise à Congru qui se trompe complètement, je n'en veux pas pour les miens.

stfj

@Vassillia : tu sais très bien que nous pouvons toi et moi trouver un terrain d'entente sur plus d'une notion mathématique et sur éventuellement la façon de l'enseigner. Prenons la notion de vecteurs du plan par exemple : je n'entends certainement pas la mathématiser : pour moi, c'est en effet une notion primitive. Et ce qui m'importe est comme toi de passer vite aux calculs pour :

Exercice :

- Montrer que les vecteurs $A=(2,7)$ et $B=(-14,4)$ sont perpendiculaires;

- Le vérifier sur le dessin.

- Quelles sont les coordonnées $x_O$ et $y_O$ du centre du cercle circonscrit au triangle $0AB$?

- Même question pour les coordonnées $x_I$ et $y_I$ du centre de son cercle inscrit.

- Au cas où on n'aurait pas utilisé les coordonnées barycentriques, ça donne quoi en barycentriques?

@gerard0, voici un petit exercice de mathématique que je viens de créer et tu pourras ainsi juger sur pièce. 

Je ne "trolle" pas. 

Par exemple, j'aurais préféré que plus de 15% des élèves du DNB sachent calculer une surface. 

Parmi mes camarades de CM1-CM2, il y a une biologiste, un ingénieur-automobile, un médecin urgentiste, un boulanger, ... , je ne suis pas forcément celui qui comprenait le mieux mes enseignements de primaire. Mais au moins je savais calculer une surface. Faut dire que comme on résolvait des problèmes de trains et de robinets, les surfaces c'était le chapitre pour intéresser les cancres. Creux, trivial comme à 11 ans, je jugeais mon cours de 6è de 1981.

Vassillia

Je suis convaincue qu'on trouverait effectivement un terrain d'entente mais attention à ne pas tomber dans les travers excessifs des maths modernes : le mieux est l'ennemi du bien

gerard0

Stfj, tu trolles !

Encore un exemple pour troller !

stfj

En 1974, en 4è, Monge et Cie proposent comme définition d'un plan un couple $(P, \mathcal D)$, où $P$ désigne un ensemble dont les éléments sont appelés des points et notés par des lettres majuscules, et $\mathcal D$ un ensemble dont les éléments sont appelés des droites et notés par des lettres minuscules, assujetis à respecter troix axiomes d'incidence dont par exemple l'axiome des parallèles. 

En 2024, on propose de définir à bac-4 un plan comme un couple $(P, \mathcal D)$, où $P$ désigne un ensemble dont les éléments sont appelés des points et notés par des lettres majuscules$$X\simeq x:y:z$$ et $\mathcal D$ un ensemble dont les éléments sont appelés des droites et notés par des lettres minuscules$$d\simeq u,v,w$$

$u,v,w,x,y,z$ désignant des nombres réels (en fait ce sont des nombres complexes, mais nous ne sommes pas des monstres tout de même) tels que

- l'intersection de deux droites est un point, qu'on calcule en faisant le wedge des deux droites :  $$d\wedge d'\simeq ::$$- le wedge de deux points $A$ et $B $ fournissant la droite passant par $A$ et $B$ $$A\wedge B\simeq [,,]$$ Qui doit faire attention à ne pas tomber dans les travers excessifs des maths modernes ?

Vassillia

Certes, certes mais justement je ne proposais ni les coordonnées barycentriques ni les nombres complexes au collège. Seulement un peu de coordonnées cartésiennes augmentées histoire de montrer que c'est quand même pas mal efficace les maths pour résoudre des problèmes et donc ça vaut peut-etre la peine de s'y intéresser. 

stfj

Au fait, jeu des mille francs : qui est Remi Ziglon ? Je propose Re(vuz), Zi(sman) mi(chel) gl(aeser) on(fray). Cherchez l'erreur. Par ailleurs, j'ai sans doute été excessif concernant Yves Chevallard. Peut-être ancien élève de l'ENS, filière lettres et littérature ancienne ?

zeitnot

Remi Ziglon est le nom que se donnait l'équipe de l'IREM de Lyon.

stfj

Quels étaient les principaux animateurs de l'IREM de Lyon en 1971 ?

Foys

A l'époque on ne prenait pas les élèves pour des imbéciles!

stfj

Je dirais plutôt : aujourd'hui, eduscol prend les enseignants pour des imbéciles, auxquels eduscol propose des "mathématisations de la notion de grandeur" (p. 6/49) dont nul matheux n'aurait cure. C'est ce que j'appelle remplacer "une scolastique pire que la précédente" par une scolastique pire que la précédente.

zeitnot

stfj a dit :

Quels étaient les principaux animateurs de l'IREM de Lyon en 1971 ?

Quand on comprend la relation d'équivalence en CE1 avec madame Barruel, je pense qu'à cinquante balais on doit pouvoir taper quelques mots clés sur un moteur de recherche pour avoir cette information en quelques clics. 

stfj

Ben non. Tu serais surpris de mes difficultés avec l'outil informatique. En fait, cela m'ennuie tellement que je n'ai jamais voulu faire l'effort de m'y mettre. J'ai fait quelques recherches mais je n'ai pas trouvé l'irem de lyon au début des années 70.

"L’IREM (Institut de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques) de Lyon a été créé à la fin des années 1960. Maurice Glaymann, alors président de l’APMEP (Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public), a été le premier directeur de l’IREM de Lyon2. Cependant, je n’ai pas trouvé d’informations spécifiques sur les animateurs de l’IREM de Lyon au début des années 70. Pour obtenir des informations plus précises, je vous recommande de contacter directement l’IREM de Lyon ou l’APMEP. Ils pourraient avoir des archives ou des ressources supplémentaires pour vous aider."(chat-GPT)

Par contre, en consultant les liens, j'ai appris une information qui me semble particulièrement intéressante :

"En 1977, René Haby souhaite réduire de 20% les crédits alloués aux IREM.  D’Alain Peyrefitte à Fontanet, les ministres de l’Éducation successifs ont créé et développé les IREM. La situation a changé en 1974, pour s’aggraver soudainement, d’octobre 1977 à juin 1978, tous les moyens des IREM subissant alors deux abattements successifs de 20%, cependant que se multipliaient les tracasseries, les marques d’incompréhension, celles de mépris."

gerard0

Une équipe de profs lyonnais a créé en 1968 donc il y a 56 ans le groupe Galion (pas ziglion qui est un animal fantastique) qui publia les célèbres fiches Galion, fiches à trous, très bien faites mais ayant l'inconvénient de ne pas pouvoir se revendre comme un manuel conventionnel. 
J'en ai croisé certains comme élève (Myx), collégue (Mison) ou animateur IREM (Glaymann). Ce dernier a d'ailleurs démissionné de la commission de mise en place de la réforme, opposé au programme de quatrième qui a signé la mise à mort de la réforme. 

zygomathique

salut

le pb n'est pas d'interdire les math (modernes ou pas) le pb est de savoir pourquoi on impose les math pour tous, au-delà de tous ceux qui se destinent à des études scientifiques.

certes dans une école idéologique (donc factuellement utilitariste de nos jours) on ne va plus à l'école pour apprendre mais pour se construire un plan de carrière : il n'est pas grave (de dire) que Napoléon a vécu en même temps que De Gaulle, il est plus important d'obtenir un boulot à la fin de ses études !!

comme le disait BHASCARA (algébriste hindou du XIIe siècle) : Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.

mis à part les "bases" permettant de rendre la monnaie quand on va faire ses courses et quelques "compétences" en géométrie la mathématique n'a qu'une seule fonction : apprendre à réfléchir et penser sans aucun autre objectif mais pourtant ouvrant sur une infinité de possibles ensuite.

le seul pb c'est qu'elle s'exerce avec des objets plus ou moins abstraits (comme les relations d'équivalence, les anneaux ou le corps des quaternions qui n'ont aucun intérêt dans la vis courante) mais tout autant que les fractales (très utiles dans la vis courantes puisque tous nos smartphones en sont équipés : les antennes en forme de fractale permettent une meilleure réception-émission de data)

bien sûr la mathématique n'a pas l'exclusivité de cette activité de réflexion mais il s'y trouve une rigueur et un formalisme qui impose une exigence dans le raisonnement (c'est d'ailleurs pourquoi la philosophie qui a plus ou moins le même objectif étudie autant la science mathématique pour essayer d'y copier cette rigueur du raisonnement).

comme @stfj je me désole de voir les résultat à un tel exercice où deux cheminements élémentaires permettent d'obtenir une solution efficacement :

a/ l'aire du grand carré diminuée du quadruple de l'aire du triangle rectangle PAI (ou de deux carrés de côtés PO)

b/ découpe du grand carrés en neuf carrés puis en dix-huit triangles rectangles identiques à API (et il suffit de compter ces triangles rectangles)

et même une troisième en bonus : double de l'aire du rectangle POLK (une autre danse) augmentée de l'aire du carré de côté PO (soit encore le sextuple de l'aire du carré de côté PO

et il est triste même en terminale de ne voir que très peu d'ingéniosité pour bon nombre d'élèves se destinant justement à des études d'ingénieurs !!!

Dom

En élémentaire : apprendre des règles de vie en société, apprendre à communiquer 
En primaire : lire, écrire, compter et quelques éléments de culture générale
Au collège : des connaissances générales dans toutes les matières, de la culture générale, une culture commune à tous. Et surtout pas de vision utilitariste (sinon, le CE2, ça suffit et que ceux qui ne veulent QUE des trucs qui « servent » s’en aillent de l’École, ouvrons-leur un chemin parallèle s’ils le veulent…). 
Au lycée : des connaissances approfondies mais avec un choix d’options, on choisit davantage où on veut aller ensuite, ce n’est pas le même lycée pour tous, on fait des choix. Au lycée, je comprends mieux que l’on parle de « trucs qui servent » (toute proportion gardée). 

zeitnot

gerard0 a dit :

Une équipe de profs lyonnais a créé en 1968 donc il y a 56 ans le groupe Galion (pas ziglion qui est un animal fantastique)

Cela n'empêche pas que ce soit une équipe de l'IREM de Lyon qui a pris comme nom d'auteur Remi Ziglon, ce qui était la question de stfj.

stfj

Concernant l'utilité d'enseigner les mathématiques, il y a la préface d'Algèbre , où Roger Godement invitait à s'interroger sur cette utilité. A ce propos, je suis godementiste, cela m'évite de réfléchir.

Les relations d'équivalence? pas besoin de faire des maths pour classifier les éléments d'un ensemble de m&m's avec la relation "... a même couleur que ..." A l'école communale de Ploneiz, dans la cour de récré, une des activités importantes consistait à classifier un ensemble $ E$ de billes suivant leur taille ($\mathcal R$) et à organiser des échanges de petites billes contre des grosses billes (ou "boulets"), ie à créer une application  $$prix : E/\mathcal R\to \mathbb N$$Pour les plus doués (en maths?), il y avait des variantes et des raffinements. Nous avions entre 7 et 10 ans et les relations d'équivalence nous étaient très utiles dans notre vie. [Il ne faut pas confondre la formalisation d'une notion abstraite et les notions concrètes associées.]

L'anneau $(\mathbb Z,+,\times)$ n'est-il pas utile ? Je ne sais plus quel mathématicien se rassurait sur les capacités de son petit-fils jonglant avec les niveaux négatifs de parking. (de $-3$ à $-1$ par exemple)

Quant au groupe non commutatif des isométries du plan, qui va dire à un enfant de maternelle qu'il est inutile de jouer avec des formes en plastique ?

Dom

Intéressante la question sur (Z,+,x). 

Si l’anneau est utile ou pas je ne sais pas ce que ça veut dire. 

Mais la question pourrait être : est-ce aussi utile d’enseigner que c’est un anneau ? 

En 2024, les 5e doivent savoir jongler avec des additions et soustractions de relatifs. Je pense que c’est bien et suffisant. Si on me demande si on peut le faire plus tôt, je dis oui. 

stfj

Ce que je vais écrire va faire hurler mais je suis un admirateur des programmes scolaires$^1$. Notre enseignement de l'algèbre a, semble-t-il, grandement bénéficié de la période des maths modernes. Et je partage pleinement les constats et questions de @Dom.

Sur l'utilité d'une notion en maths, je suis dieudonniste. Par exemple, on introduit la notion d'anneau non commutatif quand on la rencontre, par exemple avec l'anneau des applications linéaires d'un espace vectoriel réel de dimension deux. Toujours du particulier au général. Jamais l'inverse en pédagogie. 

Et pourquoi avoir peur des mots savants ? Les élèves adorent les mots savants, ils ont l'impression d'être traités en personnes intelligentes. Si donc je rencontre un neihc, je parle de "chien" à l'enfant et non de "chienchien", ni de "iench" pour faire jeune, ce qui me rend ridicule.

L'élève ne parvient pas à faire la différence entre  inverse et  opposé d'un nombre, entre $\frac14$ et $-4$ : c'est sa mauvaise volonté, ce n'est pas la mienne quand je lui ai répété dix fois en variant les explications: $$4+\square=0$$ $$4\times \square=1$$

_________________

$^1.-$ C'est la raison pour laquelle toute modification me choque. On ne modifie pas la perfection.

Vassillia

@stfj Moi j'échangeais des cartes pokemon sans savoir ce qu'est une classe d'équivalence, il n’empêche que c'était très sérieux (à l'époque) et on avait aussi réussi à trouver des "classes d'équivalence". Mais cela n'a pas grand chose à voir avec le formalisme des classes d'équivalence en mathématiques, il me semble que dans ce contexte, on utilise des "noms savants" juste pour la frime.

Après tant que tu trouves une utilité à la notion que tu veux enseigner, j'entends par là des problèmes à résoudre, aucune raison de m'y opposer, au contraire, c'est très bien de mon point de vue. Je pense que la culture commune n'existe plus à supposer qu'elle ait existé un jour. Je pense même que bon nombre de français et françaises ne veulent plus de cette culture commune car elle ne leur correspond pas. Bien sûr que c'est principalement pour le plan de carrière que j'ai travaillé à l'école et apprendre à réfléchir peut quand même entrer dans ce plan de carrière. Mais autant le faire dans un contexte qui a une chance d'être utile un jour. Donc cela n'a aucun sens pour moi de parler de perfection des programmes scolaires, cela va dépendre du monde qui évolue, ce qu'il faut apprendre aujourd'hui ne servira plus à rien demain et réciproquement. 

Il y a aussi la solution de faire  apprendre pour le plaisir, cela peut fonctionner si c'est vraiment bien vendu, en histoire par exemple, beaucoup de personnes aiment "les histoires". Pour les maths abstraites, c'est plus difficile, à mon avis, cela ne peut plaire qu'à une minorité de la population.

raoul.S

Vassillia a dit : 
Après tant que tu trouves une utilité à la notion que tu veux enseigner... aucune raison de m'y opposer.

Je suis curieux, si tu t'y opposais ça impliquerait quoi ? 🙄

Vassillia

Ben je dirais à mon enfant de ne pas l'apprendre tout simplement. L’expérience me laisse penser, que quand tu dis à quelqu'un qui n'a pas envie de faire quelque chose de ne pas le faire alors que tu es une figure d'autorité, tu as beaucoup de chances d'être écoutée. Évidemment, j'en profiterais pour lui demander d'apprendre autre chose qui correspond plus à mes critères, du genre, utile à son plan de carrière

stfj

@Vassillia : prenons l'espace projectif $P(E)$ associé à un $K-$espace vectoriel $E$. Dès le début, noyer le débutant dans des considérations absconses telles qu'

un élément de $P(E)$ est une classe d'équivalence sur $E\setminus \{0\}$ pour la relation d'équivalence $\sim$ $$(x,y)\in \sim \iff \exists \lambda \in K, x=\lambda y$$

au lieu de se limiter dans un premier temps à $K=\mathbb R$ et de dire que $P(E)$ est l'ensemble des droites vectorielles de $E$

cela illustre bien ce que tu viens d'écrire. N'est-ce pas? Je crois que les enfants dont tu parles et les enfants de 10-13 ans dont je parle n'ont pas le même âge. Tu sais ce que Marx disait : pas de liberté dans un monde capitaliste et Sartre de renchérir : dans un monde sans liberté, nous sommes tous des enfants.

Vassillia

C'est l'idée, je reconnais volontiers que c'est difficile de sélectionner les informations utiles à transmettre, dans quel ordre les transmettre, comment les mettre en pratique pour créer dans la tête des élèves les image mentales qui vont bien (surtout qu'on n'y a pas accès directement).

Mais c'est le plus intéressant dans le métier, je trouve, réussir de faire d'un élève moyen qui n'a pas de facilités particulières quelqu'un qui arrive quand même à se débrouiller avec des notions assez complexes. Pour celles et ceux qui ont des facilités, peu importe qu'on soit bon ou mauvais prof, tout passe globalement, ce qui n'est pas une raison pour ne pas les pousser à faire mieux lorsque c'est possible.

Pour le capitalisme, j'ai bien peur que ce soit fichu que cela nous plaise ou non donc je préfère apprendre à se servir de ce monde en utilisant ses codes.

plsryef

Est-ce que l'ensemble des droites vectorielles est compact ?

Quelle est la définition est la plus adaptée et je me demande pourquoi .

Plus généralement tu évoquais l'algèbre linéaire au collège, alors que ça y est presque avec le calcul littéral.

J'avoue je ne comprends où tu veux en venir.

un petit document joint à proposer en  début de 5ème qu'en penses-tu @stfj ?

Lorsque Scratch est arrivé, ça m'a agacé, finalement c'est un choix qui se défend (avec le temps et du recul), tout de même pas évident de créer du contenu en partant de zéro. (J'ai l'impression de parler comme un Youtuber, "créateur de contenu").

(renommer les .pdf "Séance info" et "calculatrice" en .sb3, pour utiliser cela en Scratch, je compte modifier le document en rajoutant un bloc "fractions", pour des 4ème, que j'intitulerai: "La touche "s/d" n'est pas gratuite.") Si il y a une erreur ou un bug ne pas hésiter à me le signaler, merci. (maintenant les fichiers semblent fonctionner je n'avais pas pris les bonnes versions)

Foys

@plsryef il faudrait préciser pour quelle topologie.
Cela étant, soit $K=\R$ ou $\C$, muni de a topologie usuelle. Soit $d$ un entier. L'ensemble $\mathbf P^d_K$ (appelé "espace projectif de dimension $d$ sur $K$") des droites vectorielles de $K^{d+1}$ est muni d'une topologie compacte définie de la manière suivante: pour toute partie $A$ de $\mathbf P^d_K$ on pose $\theta(A):= \left ( \bigcup_{D \in A} D \right ) \backslash \{0\} $ et on désigne par $\tau$ l'ensemble des parties $B$ de $\mathbf P^d_K$ telles que $\theta(B)$ est un ouvert de $K^{d+1} \backslash \{0\}$. Alors $\tau$ est une topologie compacte sur $\mathbf P^d_K$ (exo).

raoul.S

Généralement on muni l'espace projectif de la topologie quotient. Celle définie par la relation d'équivalence dite "absconse" ICI

Avec cette topologie il est presque immédiat que l'espace projectif est compact.

PS : la topologie de Foys est la même.

stfj

Désolé, je suis allergique à scratch. Il y a bien des boulangers allergiques à la farine. Quant à la compacité de $P(\mathbb R^2), P(\mathbb R^2)$ étant en bijection avec un demi-cercle avec ses deux extrémités, je ne vois pas en quoi cela justifie la définition absconse pour un débutant de $P(\mathbb R^2) $ avec la relation d'équivalence $\sim$ . Que ceux qui ont déjà vu un tel demi-cercle non compact me jettent la première pierre.

plsryef

ok: tu inclues les deux extrémités du demi-cercle ?

stfj

Bon on va le faire propre pour plaire à @plsryef : définissons $P(\mathbb R^2)$ comme l'ensemble des droites vectorielles de $\mathbb R^2$ euclidien. Et soit $U$ le cercle unité de $\mathbb R^2$ . Alors $$\forall d \in P(\mathbb R^2), \exists ! (u,-u)\in U\times U: \{-u,u\}= d\cap U$$On considère alors sur $U$ la relation d'équivalence $(x,y)\in \sim_U\iff x=-y$

$U$ est compact et pour la topologie quotient par $\sim_U, U/\sim_U$ est aussi compact. Donc $P(\mathbb R^2)$ tel que simplement défini pour un débutant ci-dessus, est compact. Si j'ai écrit une bêtise, il suffit de corriger la légère bêtise en question.

Dom

Le couple est-il vraiment unique ? 

Car si $(u;-u)$ convient, j’imagine que $(-u;u)$ convient aussi. 

stfj

C'est pas un couple, c'est une paire. Merci.

raoul.S

@stfj tu justifie la compacité avec une bijection, mais si tu n'a pas muni au préalable ton espace projectif d'une topologie ça n'a aucun sens. Tu va dire quoi aux élèves : oui il est en bijection avec un compact alors il est compact aussi. Donc vu que $\R$ est en bijection avec $[0,1]$ qui est compact, $\R$ est compact aussi 🥶 

Pour faire les choses proprement tu vas devoir parler de relation d'équivalence... ha on a perdu les enfants de Vassillia d'un coup. Ils sont partis dans une classe de petits capitalistes bourgeois...

jelobreuil

Vous savez, moi aussi, vous m'avez perdu, d'abord décramponné, puis bel et bien semé ...