Sans les mains
Bonjour,
ne croyez surtout pas que, pour me mortifier, je me sois résolu à me passer du compas (et de l'outil Conique) mais, puisque RHOM nous a mis cette semaine au défi d'effectuer une certaine construction sans compas, je vous en propose une autre : étant donné une droite $(D)$ et un point $A$, construire à la règle seule la parallèle à $(D)$ passant par $A$. On pourra utiliser la donnée d'un cercle $(\Gamma)$ et de son centre $O$.
La construction que j'ai trouvée m'oblige, d'ailleurs, à traiter à part un certain cas particulier.
ne croyez surtout pas que, pour me mortifier, je me sois résolu à me passer du compas (et de l'outil Conique) mais, puisque RHOM nous a mis cette semaine au défi d'effectuer une certaine construction sans compas, je vous en propose une autre : étant donné une droite $(D)$ et un point $A$, construire à la règle seule la parallèle à $(D)$ passant par $A$. On pourra utiliser la donnée d'un cercle $(\Gamma)$ et de son centre $O$.
La construction que j'ai trouvée m'oblige, d'ailleurs, à traiter à part un certain cas particulier.
Réponses
-
A-t-on droit de tracer des tangentes au cercle ?
-
Bonjour, philou,
oui et non : tracer une tangente en frôlant le cercle avec la règle est une construction approchée (il faudrait une équerre) ; en revanche, tu peux réfléchir à une construction préalable permettant cela, mais de façon exacte.
Une remarque : une fois que j'ai vérifié qu'une construction donnée peut se faire sans le compas, je m'autorise à utiliser l'outil correspondant dans GéoGébra sans refaire toute la construction : la figure deviendrait totalement illisible. En d'autres termes, je fais comme si, par exemple, la construction de philou était devenue une macro.
Voici une indication pour philou, pais aussi pour tous :On peut, à la règle seule, construire la polaire d'un point par rapport au cercle donné (exception : un point du cercle, pour lequel il faudra une construction préalable, et le centre d'icelui. Le pôle d'une droite sera alors l'intersection des polaires de deux points d'icelle ; ce principe vaut pour la construction de la tangente en un point du cercle.
À la fin, la règle doit être usée jusqu'à la corde alors que, avec le compas, cela se fait en deux coups d'écuyère à Pau
-
Bonsoir,
Sauf son respect, c'est un problème destiné à Pappus...
— supposons A différent du centre du cercle,
On choisit un point C de la droite tel que AC coupe le cercle en deux points et on désigne par E l'un de ceux-ci.
On considère le point B diamétralement opposé (tracer le diamètre...) et on trace les droites AB et BC, puis leur symétrique par rapport au centre (tracer les deux diamètres convenables...)
Soit D l'intersection de la droite avec la symétrique de AB, et soit F l'intersection de DB avec la symétrique de BC.
AF est la parallèle cherchée...
— dans le cas où A est au centre du cercle, il suffit de choisir un point M sur le cercle et de mener un parallèle MN à la droite donnée (méthode précédente)
Si M' et N' sont les symétriques de M et N, un point cherché s'obtient (par exemple) comme intersection des parallèles menées par M et N' aux diagonales de MNM'N'.
Cordialement,
Casagrande
-
Merci, Casagrande !
Ma solution est plus compliquée mais, comme je l'avais écrit, sachant que la construction d'une polaire par rapport à un cercle (voire à une conique quelconque) se fait à la règle seule, je m'autorise à utiliser l'outil Polaire de Géogébra (comme si c'était une macro, en somme). Je n'utilise pas les tangentes en un point du cercle (ça, c'était seulement pour répondre à philou) mais le principe selon lequel deux parallèles ont des pôles alignés avec le centre ; les pôles, eux, sont construits comme intersections de deux polaires. J'utilise aussi tacitement la dualité pôle-polaire.
$(D)$ est la droite de direction donnée, $A$ le point donné ; on construit $M_0$, pôle de $(D)$, puis $M$, à l'intersection de $(OM_0)$ et de la polaire $(\Delta)$ de $A$. La polaire de $M$ est alors la droite attendue.
Dans la journée, je parlerai des cas particuliers (par exemple, si $M$ est à l'infini, la droite cherchée n'est autre que $(OA)$.
-
En attendant, voici une autre question : construire à la règle seule le symétrique d'un point par rapport à un autre. Un compas, ça a tout de même du bon, non
?
-
Je ne comprends pas l'énoncé, on a un cercle tracé ou pas ?ou alors le cercle donne une piste de construction ?
-
Bonjour, plsryef,
non, la règle du jeu ne change pas : on a toujours, en plus des deux points, un cercle tracé, avec son centre. Pour alléger les figures, on pourra considérer comme des macros toutes les constructions déjà réalisées auparavant à la règle seule. -
Bonjour, (pardon)mais ça change tout, la donnée d'un cercle c'est pouvoir faire une symétrie centrale( toutes les symétries centrales ?🤔 )je vois partout cette histoire de polaire, je vais regarder ce que c'est pour un cercle et ensuite essayer de comprendre pour les autres coniques.je donne souvent l'exercice traité en classe: tracer le symétrique d'un point par rapport au centre d'un cercle tracé, ça marche assez bien, puisque l'exercice faire la même chose avec un carré semble globalement réussi en évaluation. (rectangle ou bien toute figure qui contient une courbe fermée symétrique par rapport à un point)
-
La donnée cercle-centre permet de construire immédiatement les symétriques des points du cercle par rapport au centre mais, en dehors de ce cas particulier, il faudra une petite construction. J'avais donné un exemple, dans un autre cas particulier :
https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2491060#Comment_2491060
-
Je te crois, mais j'avais pensé si je sais faire les parallèles, je sais faire les parallélogrammes , donc les translations, la procédure est lourde mais elle existe, et puisque je sais avec un cercles faire les symétriques par rapport à un point... (la technique "par conjugaison")dans Géogébra ça serait utile mais faut-il faire un script ou créer un outil ?
-
Je ne me casse pas la tête : puisque je sais tracer des parallèles à la règle seule, j'utilise l'outil correspondant de GéoGébra (qui est prédéfini) comme si je l'avais créé comme une macro. Sans paroles :
-
Pour l'outil Parallèle, comment décaler $(D)$ lorsque c'est un diamètre (sa polaire est la droite de l'infini, donc inutilisable) ? Le point $A$ est choisi sur $(D)$, extérieur au cercle (ainsi, sa polaire coupe le cercle).
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.5K Toutes les catégories
- 64 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.6K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 86 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 343 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 804 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres