$S_n^{++}(\R)$ ouvert de $S_n(\R)$ : question de méthode

wayana

J ai fait la demo mais il me reste un doute : 

 

Pour démontrer que Sn++ est un ouvert de Sn sachant que Sn est un espace vectoriel : 

1. Soit M0 dans Sn++ , montrons qu il existe H dans Sn tel que M0+H soit dans Sn++ ( ce que je pense) 

2. Ou bien on peut prendre H dans Sn++ ......( ça irait plus vite mais on ne peut pas utiliser l argument sous espace vectoriel car Sn++ n est pas un sev) 

merci 😉

JLapin

Aucune des deux.

Ici, la méthode est simple : suivre la définition.

Tu dois choisir une norme sur $S_n(\R)$ (elles sont toutes équivalentes) et montrer que pour tout $M_0$ dans $S_n^{++}(\R)$, il existe $r>0$ tel que la boule $B(M_0,r)$ soit incluse dans $S_n^{++}(\R)$.

wayana

Sur un espace vectoriel l une des conditions devrait être suffisante me semble t il .

wayana

Pour avoir une idée plus générale de mon travail : peut être qu il y a des erreurs...

JLapin

Tout ceci est assez confus.

Tu pourrais adopter le plan suivant :   

Etape 1 : Choix d'une norme que tu estimes adaptée sur $S_n(\R)$.

Etape 2 :  Tu fixe $M_0$ dans $S_n^{++}(\R)$, tu fais ce que tu as à faire avec le théorème spectral et tu présentes un réel strictement positif $\epsilon$ qui dépendra de $M_0$.

Etape 3 : Tu prend $H\in S_n(\R)$ telle que $\|H\|<\epsilon$ et tu montres que $M_0+H\in S_n^{++}(\R)$.

Math Coss

Le raisonnement de cette page est visiblement complètement faux (si $\varepsilon$ était convenablement quantifié, il serait circulaire) : ton but est de montrer qu'il existe $\newcommand{\e}{\varepsilon}\e>0$ tel qu'une certaine condition $C$ soit satisfaite. Apparaît un $\e$ dont on ne sait pas d'où il sort (est-il quelconque, indépendamment de $M_0$ ? ce serait étonnant tout de même !). Tu prends alors $M$ dans une boule, tu appliques la condition $C$ qu'il faudrait montrer (pour un choix idoine de $\e$) et tu en déduis gaillardement... que $C$ est vérifiée. Tu vois que ça ne va pas du tout ?

gebrane

Mon esprit est complètement arrosé, alors je ne comprends pas cette preuve de Gabu 

wayana

Math Coss a dit :

Le raisonnement de cette page est visiblement complètement faux (si $\varepsilon$ était convenablement quantifié, il serait circulaire) : ton but est de montrer qu'il existe $\newcommand{\e}{\varepsilon}\e>0$ tel qu'une certaine condition $C$ soit satisfaite. Apparaît un $\e$ dont on ne sait pas d'où il sort (est-il quelconque, indépendamment de $M_0$ ? ce serait étonnant tout de même !). Tu prends alors $M$ dans une boule, tu appliques la condition $C$ qu'il faudrait montrer (pour un choix idoine de $\e$) et tu en déduis gaillardement... que $C$ est vérifiée. Tu vois que ça ne va pas du tout ?

Merci de ta réponse ! J ai l impression que mes différents fichiers sèment la confusion seul le post avec les 3 fichiers tente de montrer que Sn++ est un ouvert ! Pas du tout le "fichier seul " qui tente de montrer qu avec le travail effectué ( avec les 3 fichiers ...j aurais dû les poster dans un autre ordre ! ) alors on peut effectivement inclure une boule ouverte centrée en $M_0$ ( pour répondre à jlapin) ...

JLT

Voici d'autres preuves :

1) On montre que le complémentaire de $S_n^{++}(\R)$ est fermé. Pour cela soit $(M_k)$ une suite de matrices non définies positives convergeant vers $M$. Il existe une suite $(X_k)$ de vecteurs unitaires tels que $\langle M_kX_k,X_k\rangle\leqslant 0$. Quitte à extraire une sous-suite, on peut supposer que $(X_k)$ converge vers un vecteur unitaire $X$. Alors $\langle MX,X\rangle\leqslant 0$.

2) Soit $\varphi_k(M)=\mathrm{det}(M_{ij})_{1\leqslant i,j\leqslant k}$. Alors $S_n^{++}(\R)=\bigcap_{k=1}^n \varphi_k^{-1}(\R_+^*)$ est ouvert.

3) Soit $B$ la boule ouverte de centre $I$ et de rayon $1$. Il est facile de voir que $B\subset S_n^{++}(\R)$. Alors $M_0^{1/2}BM_0^{1/2}$ est un voisinage ouvert de $M_0$ inclus dans  $S_n^{++}(\R)$.

wayana

JLapin a dit :

Tout ceci est assez confus.

Tu pourrais adopter le plan suivant :   

Etape 1 : Choix d'une norme que tu estimes adaptée sur $S_n(\R)$.

Etape 2 :  Tu fixe $M_0$ dans $S_n^{++}(\R)$, tu fais ce que tu as à faire avec le théorème spectral et tu présentes un réel strictement positif $\epsilon$ qui dépendra de $M_0$.

Etape 3 : Tu prend $H\in S_n(\R)$ telle que $\|H\|<\epsilon$ et tu montres que $M_0+H\in S_n^{++}(\R)$.

Merci de ta réponse ! Oui effectivement ta méthode me paraît être plus explicite ! Je vais la bosser et retravailler ma rédaction aussi car j aimerais savoir si vous decelez une erreur une fois que la rédaction est moins fouillis....😊

wayana

Une version mieux rédigée,  même avec des boules à la fin ! Est ce que c est plus clair et juste ainsi ? C est pour l agreg interne donc j ai passé des justifications comme S compact , q continue, etc ....J ai choisi une norme sur Rn et une norme d algèbre de matrice quelconques ( puisque dimension finie donc ouvert avec l une sera un ouvert avec une autre norme par équivalence des normes ...) : est ce que ça pose un problème de ne pas expliciter les normes choisies ? 

JLapin

Non, tu n'as pas juste choisi une norme sur $\R^n$. Tu as choisi une norme très précise : il faut l'indiquer. Sinon, ta majoration du produit scalaire ne va pas fonctionner convenablement.

De même pour ta norme sur $M_n(\R)$ qui n'est pas juste "une norme d'algèbre de matrice" au hasard.

Sinon, oui, c'est sans comparaison avec les trois premières photos, même si j'avoue qu'utiliser le théorème des bornes atteintes à la place du théorème spectral pour la construction de $X_0$ me laisse un peu perplexe.

Tu ne veux pas essayer avec mes trois étapes pour voir ?

JLT

Autre preuve similaire : soit $\epsilon$ la plus petite valeur propre de $M_0$ et $M_1=M_0-\epsilon I$. Alors $M_1$ a toutes ses valeurs propres $\geqslant 0$ donc est une matrice positive. Soit $M$ symétrique telle que $||M-M_0||<\epsilon$ et $X\in \R^n\setminus \{0\}$. Alors

$\langle X,MX\rangle =\langle X,(M-M_0)X\rangle+ \epsilon ||X||^2+\langle X,M_1X\rangle\geqslant-||M-M_0||\,||X||^2+ \epsilon ||X||^2 >0$.

gebrane

Bonjour @JLT Pour ta preuve 2) tu utilises le critère de Sylvester pour prouver que $S_n^{++}(\R)=\bigcap_{k=1}^n \varphi_k^{-1}(\R_+^*)$ n'est ce pas ?

wayana

JLapin a dit :

Non, tu n'as pas juste choisi une norme sur $\R^n$. Tu as choisi une norme très précise : il faut l'indiquer.
>>> mais oui ! Norme euclidienne sur Rn si je me trompe pas pour avoir le produit scalaire associé !!

Sinon, ta majoration du produit scalaire ne va pas fonctionner convenablement.

>>> exact !!!

De même pour ta norme sur $M_n(\R)$ qui n'est pas juste "une norme d'algèbre de matrice" au hasard.

>>> mais oui ! Norme subordonnée à la Norme euclidienne sur Rn choisie avant !!!
Merci beaucoup pour toutes ces précisions elles m ont totalement échappées

Sinon, oui, c'est sans comparaison avec les trois premières photos, même si j'avoue qu'utiliser le théorème des bornes atteintes à la place du théorème spectral pour la construction de $X_0$ me laisse un peu perplexe.
>>> merci !!! Ça motive ! Lol

Tu ne veux pas essayer avec mes trois étapes pour voir ?
>>> oui je vais tenter car ça me semble effectivement plus naturel comme demo ! Merci !

JLT

gebrane a dit :

Bonjour @JLT Pour ta preuve 2) tu utilises le critère de Sylvester

Oui c'est ça.

raoul.S

Question d'en rajouter une couche, un dernier argument pas du tout formalisé :

1) Dès que deux polynômes de $\C[X]_n$ sont assez proches (pour une norme fixée), leurs racines sont aussi proches que l'on veut.
2) Dès que deux matrices de $M_n(\C)$ sont assez proches (pour une norme fixée), leurs polynômes caractéristiques sont aussi proches que l'on veut.

Par conséquent, dès que deux matrices de $M_n(\C)$ sont assez proches, leurs valeurs propres sont aussi proches que l'on veut.

Edit : il faudrait plutôt interpréter la 1) comme : dès qu'un polynôme est assez proche d'un polynôme donné et idem pour la 2) avec les matrices, mais la flemme d'écrire un truc potable. Ça marche, ayez confiance

gebrane

Je refais proprement la preuve de l'OP pour mon propre plaisir
J'ai changé d'avis, donc j'ai effacé 

GaBuZoMeu

gebrane a dit :

Mon esprit est complètement arrosé, alors je ne comprends pas cette preuve de Gabu 

Qu'est-ce que tu ne comprends pas ? Tu as du mal à démontrer le résultat général ?

Foys

@raoul.S soit $d$ un entier et $(P_n)_{n \in \N}$ une suite de polynômes à coefficients réels, unitaires et de degré $d$ qui converge (pour n'importe quelle norme puisqu'on est de fait en dimension finie)  vers $P \in \R[X]$. Soit $(\lambda_n)_{n \in \N}$ une suite de réels négatifs. On suppose que $P_n(\lambda_n) = 0$ pour tout entier $n\in \N$. Alors $P$ possède une racine négative.

En effet, pour tout entier $n\in\N$ on pose $X^d + \sum_ {i=0}^{d-1} p_{ni} X^i := P_n(X)$. Comme cette suite de polynômes converge on peut poser (équivalence des normes à nouveau) $M_i:= \sup \{|p_{ni}|, n \in \N\}$. Alors pour tout entier $n$, $|\lambda_n | \leq \max \left \{1; \sum_{i=0}^{d-1} M_i \right \}$(*) ("régionnement des racines d'un polynôme"). On peut donc extraire une sous-suite convergente de $(\lambda_n)_{n \in \N}$ qui converge vers $\lambda$ tel que $P(\lambda) = 0$ (et bien sûr $\lambda \leq 0$).

Il n'y a plus qu'à appliquer ce résultat à des polynômes caractéristiques de matrices pour résoudre l'exo.

Preuve de (*):

sans perte de généralité on suppose que $|\lambda_n| \geq 1$.
$$|\lambda_n  ^d| = \left |\sum_{i=0}^{d-1} p_{ni} \lambda_n ^i \right | \leq \sum_{i=0}^{d-1}  M_i \left | \lambda_n^i \right |\leq |\lambda_n^{d-1}| \sum_{i=0}^{d-1} M_i \tag 1 $$ et on divise cette inégalité par $|\lambda_n^{d-1}|$

raoul.S

@Foys oui, tu es allé droit au but.

Mon idée était en fait d'utiliser le résultat général suivant : soit $P\in \C[X]_n$ et notons $z_1,...,z_n$ ses racines. Alors pour tout $\varepsilon >0$, il existe $r>$ tel que pour tout polynôme $Q$, si $\|Q-P\|\leq r$ alors pour toute racine $q$ de $Q$, $\min_k |q-z_k|\leq \varepsilon$.

Puis d'appliquer ce résultat à des polynômes caractéristiques de matrices pour résoudre l'exo.

wayana

JLT a dit :

Voici d'autres preuves :

1) On montre que le complémentaire de $S_n^{++}(\R)$ est fermé. Pour cela soit $(M_k)$ une suite de matrices non définies positives convergeant vers $M$. Il existe une suite $(X_k)$ de vecteurs unitaires tels que $\langle M_kX_k,X_k\rangle\leqslant 0$. Quitte à extraire une sous-suite, on peut supposer que $(X_k)$ converge vers un vecteur unitaire $X$. Alors $\langle MX,X\rangle\leqslant 0$.
>> efficace ! J aime l idée! 

2) Soit $\varphi_k(M)=\mathrm{det}(M_{ij})_{1\leqslant i,j\leqslant k}$. Alors $S_n^{++}(\R)=\bigcap_{k=1}^n \varphi_k^{-1}(\R_+^*)$ est ouvert.

>> avec $\varphi_k(M)$ de Sn(R) à valeurs dans R ? ? Sinon je vois pas trop... On appelle $\varphi_k(M)$ comment déjà? Mineur principal ? 

3) Soit $B$ la boule ouverte de centre $I$ et de rayon $1$. Il est facile de voir que $B\subset S_n^{++}(\R)$. Alors $M_0^{1/2}BM_0^{1/2}$ est un voisinage ouvert de $M_0$ inclus dans  $S_n^{++}(\R)$.

gebrane

Bonjour @GaBuZoMeu
En ayant l'esprit arrosé , je n'avais pas compris que tu proposais à l'Op dans l'autre forum ce raisonnement
$$S_n^{++}=f^{-1}(\R_+^*)$$ avec l'application $f$ définie par
$$\forall S\in S_n(\R)\quad, f(S)=\inf_{x\in \R^n, |x|=1} x^TSx$$ et pour conclure que  S_n^{++} est un ouvert de $S_n$ il fallait  démontrer que $f$ est continue.

JLT

wayana a dit

avec $\varphi_k(M)$ de Sn(R) à valeurs dans R ? ? Sinon je vois pas trop... On appelle $\varphi_k(M)$ comment déjà? Mineur principal ?

Oui c'est ça.

GaBuZoMeu

Il y a quelque ambiguïté dans la terminologie "mineur principal". On appelle quelquefois mineur principal le déterminant d'une matrice extraite sur un même ensemble d'indice pour les lignes et les colonnes. Exemple : le coefficient de $X^{n-k}$ dans le polynôme caractéristique d'une matrice carrée d'ordre $n$ est $(-1)^k$ fois la somme des mineurs principaux d'ordre $k$. Le mineur principal correspondant à l'ensemble d'indices $\{1,\ldots,k\}$ est alors appelé mineur principal dominant d'ordre $k$.

gebrane

Bonjour @GaBuZoMeu
En ayant l'esprit éveillé, pourquoi dans ta généralisation te limites-tu à un espace métrique ? Je te propose la généralisation suivante : 

Vois-tu comment ? 
Nota bene : c'est le genre de question qu'adore le diabolique @raoul-S