Exemple d'interversion limite/intégrale sans TCD

Noveang

Bonjour,

Je continue sur ma lancée des contre-exemples en analyse, en changeant toutefois de thématique.

Comme beaucoup de théorèmes, le théorème de convergence dominée (TCD) donne une condition suffisante pour l'interversion limite/intégrale.

Auriez-vous un exemple de suite de fonction qui converge simplement et pour laquelle l'interversion est vérifiée, mais qui ne satisfait pas aux hypothèses du TCD ?

Je n'ai pas de grandes inspirations, mais peut-être est-ce parce que les hypothèses sont finalement assez proche d'être nécessaire ?

Merci d'avance !

Math Coss

Est-ce que la suite définie pour $n\ge1$ par $f_n=\frac1n\mathbf{1}_{\left[n,n+1\right[}$ ne convient pas ? Une fonction qui domine cette suite doit être supérieure au max des $f_n$, qui se trouve être la somme des $f_n$ et qui n'est pas intégrable ; pourtant la suite tend simplement vers zéro et la suite de ses intégrales est $(1/n)_{n\ge1}$.

Noveang

En effet c'est parfait, et finalement pas si complexe. J'ai peut-être céder un peu rapidement à la facilité de venir quérir de l'aide sur le forum...

Merci beaucoup !