Les probabilités : des urnes et des billets

ck

Bonjour,

Voici un exercice :

On possède 7 urnes vertes, 2 urnes rouges et 1 urne orange. Chaque urne contient des billets de 500 euros et de 5 euros. Les urnes d'une même couleur ont la même répartition de billets.

On choisit au hasard une urne, puis on prend au hasard un billet dans l'urne choisie. On suppose que les billets sont indiscernables au toucher.

Quelle est la proba de tirer un billet de 500 euros?

Je n'arrive pas à savoir qu'elle est la bonne solution ? et où est l'erreur ? Merci

Solution 1

je fais un dénombrement de toutes les possibilités : 7 branches pour l'urne verte et chacune a 10 branches donc 70 possibilités, 2 branches pour l'urne rouge et chacune a 5 branches : donc 10 possibilités  et 1 branche pour l'urne orange avec 3 branches donc 3 possibilités. Ensuite je compte le nombre de billets de 500e parmi toutes les possibilités :

7 pour les urnes vertes, 4 pour les urnes rouges et 1 pour l'urne orange donc 12/83

Solution 2

DeGeer

Bonjour

Dans ta solution 1, les différentes possibilités ne sont pas équiprobables, donc tu ne peux pas te contenter de compter les possibilités.

ck

je n'arrive pas à comprendre pourquoi ce n'est pas équiprobable, pourtant les billets sont indiscernables au toucher ?

est-ce lié au fait qu'il n'y a pas le même nombre de billets dans chaque urne. S'il y avait 10 billets pour chaque urne, est-ce que ça serait équiprobable ?

Dom

Moi je ne comprends pas pourquoi dans un dénombrement on parle de branche. 

Posons les choses : le dénombrement, c’est le dénombrement de quoi ?
D’abord de quel univers parle-t-on, et cet univers contient combien d’issues ? (on verra ensuite si c’est équiprobable ou pas, c’est une autre question). 

Je tente une méthode peu habile… quoique…
on parle d’un univers contenant des couples qui sont :
(v, oui) (v, non)
(r, oui) (r, non)
(o, oui) (o, non)
j’ai six issues pour commencer dont trois sont dans l’évènement qui nous intéresse. 
Il faut affiner. 

zeitnot

@ck,

tu prends trois urnes uniquement, la première contient 1 000 000 000 de billets de 500 et pas de billet de 5, les deux autres on exactement un billet de 5 euros chacune et aucun de 500.

Applique ta solution 1, sur cette situation, qu'en penses-tu ?

lourrran

Dans toutes ces questions où il y a une chronologie (on choisit une urne PUIS on choisit un billet dans l'urne), l'arbre est la solution robuste, fiable.
Après, quand tu seras suffisamment habitué à ces exercices, un jour peut-être, dessiner l'arbre ne sera plus nécessaire, et tu sauras poser les calculs corrects sans avoir à faire le dessin.
Zeitnot a donné le très bon argument pour visualiser le fait que l'autre méthode n'est pas bonne.

Dom

Tout à fait d’accord. Et c’est pour ça que je pense que l’arbre est important pour la formation initiale (dans le secondaire). C’est robuste et fiable. D’autant plus que c’est juste une manière de raconter l’histoire (dont la chronologie) avec un schéma. On vire ainsi tout le texte et contexte pourri avec Josiane qui cherche la bille dans la boîte opaque et Jason, l’ainé de la fratrie du fils de l’oncle qui en rentrant de l’école a décidé que le rouge était sa couleur préféré. 

Soc

Pour compléter ce que disent les précédents, les cas (V,*) doivent représenter 70% des cas, peu importe le nombre de billets dans l'urne.

gebrane

Je préfère le théorème des probabilités totales (Je n'aime pas monter les arbres car il y a un risque de glisser sur une branche et de se casser les jambes en tombant )
On va numéroter les urnes:

les urnes vertes de u_1, à u_7, les urnes rouges de u_8 à u_9 et l'urne orange par u_{10}.

On note les événements
u_i    " le billet est tiré de l'urne $i$ "
A      " le billet tirée est de 500"
Tu cherches $P(A)$. 

$$P(A)=\sum_{k=1}^{10}P(A|U_i)P(U_i)$$ avec $P(U_i)=\frac 1{10},\forall i$ et

$P(A|U_i)=\frac 1{10}$ pour i=1 à 7
$P(A|U_i)=\frac 2{5}$ pour i=8 à 9
$P(A|U_i)=\frac 1{3}$ pour i=10

Math Coss

L'arbre dessiné dans la solution 2 n'est autre qu'une visualisation de ce calcul.

PetitLutinMalicieux

Bonjour

J'adore ceux qui proposent doctement de dessiner un arbre alors que ck a dessiné un arbre dans les 2 solutions.

DeGeer a raison et zeitnot a enfoncé le clou.

JLapin

Il y a les bons arbres et les mauvais arbres...

Dom

Non. Pas d’arbre dans la solution 1 même si tout le vocabulaire s’en inspire. 

Comme je l’ai dit, on ne sait pas ce que l’on dénombre dans la solution 1. 

Quant à la solution de gebrane, c’est en effet le calcul de la solution 2 sans le dessin… 
L’idée de l’arbre (solution 2), c’est de NE PAS retenir une formule mais de la retrouver. Une fois maîtrisé, plus besoin de dessin, etc. Ne réinventons pas la roue de la pédagogie : toute chose concrète était une chose abstraite. 

Soc

@Dom: On peut en parler sans le tracer, il y est quand même : )

@ck: Avec mes élèves, on fait toujours les arbres simples (toutes les branches sont équiprobables, pas de poids/proba indiqués sur les branches) que l'on transforme ensuite en arbres pondérés (les branches semblables sont regroupées et pondérées en fonction de leur quantité/proportion) car on ne manque pas d'y voir un énorme gain de temps. Je te conseille donc de transformer ton arbre pondéré en arbre simple, et la lumière sera.

Dom

Oui… dans l’absolu. Mais en l’espèce l’auteur du fil parle bien de « solution 1 » de « dénombrement », mais rien de bien clair. La sémantique de l’arbre a bon dos. 

lourrran

@ck a proposé 2 raisonnements, dans l'un des 2 ; il a dessiné un arbre et pas dans l'autre. Et comme par un heureux hasard, le raisonnement correct est celui où il a dessiné un arbre.
Ceci me conforte dans la démarche que je conseille toujours : on dessine un arbre.

plsryef

JLapin a dit :

Il y a les bons arbres et les mauvais arbres...

Oui, mais ils ne se pondèrent pas pareil.

gebrane

Jlapin donne nous un exemple de mauvais arbres 

PetitLutinMalicieux

Donc, là, tu demandes à JLapin de dessiner l'arbre faux ? Les sournois et les pervers se régalent.

De plus, il n'y a rien à inventer. ck a tout dit : "7 branches pour l'urne verte et chacune a 10 branches". À toi de jouer, si tu veux te coltiner le dessin.

ck

merci pour vos réponses.

@zeitnot : ton exemple est très parlant.

@soc : je vois ce que tu veux dire avec les 70%

l'arbre presque détaillé donne ça :

Soc

Oui. Tes 10 résultats de la première expérience doivent chacun peser pareil, il y a bien 10 résultats équiprobables. En revanche tu ne peux pas continuer à compter les branches comme des résultats équiprobables après la deuxième expérience. En effet les 3 résultats de la dernière urne doivent à eux tous peser autant que les 10 de la première.
Reformulé encore autrement, l'expérience que tu fais dans l'urne verte n'est pas la même que l'expérience dans l'urne orange, il n'y a donc aucune raison que leurs issues soient globalement équiprobables.

ck

ok ça marche, j'ai compris. Merci pour votre aide

PetitLutinMalicieux

Dans la solution 1, en imaginant qu'on bourre une urne verte avec n billets de 500, la probabilité (fausse) que tu calculais deviendrait $\frac{12+n}{83+n} \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 1$, soit la certitude absolue.

Dans la solution 2, tu peux bourrer les urnes autant que tu veux, tu ne changeras que le deuxième étage de ton arbre.