Exercice : fonction dont l'intégrale tend vers 0 et ne convergeant pas simplement

LoloDJ

Bonjour,

Dans le livre de Walter Rudin, Analyse réelle et complexe, il y a cet exercice

pour lequel j'ai trouvé cette solution proposée

Est-ce qu'on est d'accord que la solution proposée part complètement en eau de boudin à partir de

"We claim that..." ?

En effet, pour moi $K_m^{m+2} \cap K_m^{m+1}$ ne vaut pas du tout $\left[ \frac{2m-1}{m+2},\frac{2m+1}{m+1} \right]$ mais $\left[ \frac{4m-3}{2m+4},\frac{4m+1}{2m+4} \right] \cap \left[ \frac{4m-1}{2m+2},\frac{4m+3}{2m+2} \right]$ qui est vide dès que $m>\frac{3}{2}$ Est-ce moi qui délire ou bien est-ce cette "solution" ? Comment pourrait-on l'amender pour qu'elle fonctionne ?

D'autre part, pour répondre à l'exercice, j'ai pensé à ceci : $f_n(x)=\lvert sin(nx) \rvert$ C'est continu, c'est entre $0$ et $1$ pour $x$ fixé ça n'a pas de limite (sauf si $x=0$) et $\displaystyle \int_0^1 f_n(x)\mathrm{d}x=\lvert \frac{cos(n)-1}{n} \rvert$ qui tend vers 0. Si on veut se départir du fait que la suite de fonctions converge simplement vers $0$ en $0$ il n'y à qu'à dilater le segment $\left[0,1\right]$ sur $\left[\frac{-1}{10},1\right]$ par exemple en prenant le sinus de $nt$ pour $t=\frac{10x+11}{21}$ pour $x$ variant de $0$ à $1$. Ca fait l'affaire, non ?

noobey

Hello ! 

Peux tu démontrer l'égalité $\int_0^1 |\sin(nx)|dx = |\frac{\cos(n) - 1}{n}|$ 

gebrane

A noter que
$\lim_{n \to \infty} \int_0^1 |\sin(nx)| \, dx = \frac{2}{\pi}$
$\lim_{n \to \infty} \int_0^1 x|\sin(nx)| \, dx = \frac{1}{\pi}$
Pour $\lim_{n \to \infty} \int_0^1  x^k |\sin(nx)| \, dx =$    

gebrane

Si tu veux un truc qui tend vers 0, sauf erreur $f_n(x)=|\sin^n(n\pi x)|$ marche

Bibix

On peut aussi prendre $f_n(x) = 1_{x \in \left[\frac{n+1-m_n}{2 m_n}, \frac{n+2-m_n}{2 m_n}\right]}$ avec $m_n = 2^{\lfloor \log_2(n) \rfloor}$. C'est peut-être l'exemple de Rudin en fait ?

plsryef

gebrane a dit :

A noter que
$\lim_{n \to \infty} \int_0^1 |\sin(nx)| \, dx = \frac{2}{\pi}$
$\lim_{n \to \infty} \int_0^1 x|\sin(nx)| \, dx = \frac{1}{\pi}$
Pour $\lim_{n \to \infty} \int_0^1  x^k |\sin(nx)| \, dx =$    

pour la dernière peut-être $\frac{2}{(k+1)\pi}$ ?
(je sais que tu aimes bien te lancer des défis et vérifier des trucs, d'ailleurs je sais même pas si ce que j'ai écrit est vrai ou faux, plus généralement peut-être que l'on a $\lim_{n \to \infty} \int_0^1 f(x)|\sin(nx)| \, dx = \frac{2}{\pi}\int_0^1 f(x) \, dx $ si f est assez régulière)

gebrane

Bingo, c'est très juste . Le rôle de    est pour faire peur 
J'ai le souvenir que @bd2017 avait donné une preuve en utilisant le série de Fourier de |\sin(x)| et le lemme de Riemann-Lebesgue

plsryef

Mon intervention s'écarte du fil, je ne me souviens plus de ce qu'a écrit @bd2017 , ni même si je l'ai lu, à vu de nez je ferai ça avec les fonctions étagées, et peut-être qu'à la limite c'est vrai pour les fonctions réglées, mais je dois réviser tous ces trucs là. (un souvenir me revient: ça doit être dans Gourdon ce truc là).

Soc

Il suffit de diviser par l'intégrale et hop ça vaut 1 : )

gebrane

Bonjour SOc, peux-tu expliquer et hop ça vaut 1 ?, j'ai la tête brumeux ce samedi

Soc

Une ânerie encore, je visais une intégrale qui vaut 1 et non 0.
En moins anesque, on prend un plateau de longueur 1/n, on le décale n-1 fois, et on recommence. L'intégrale tend vers 0 et la fonction ne converge nulle part.

LoloDJ

noobey a dit :

Hello ! 

Peux tu démontrer l'égalité $\int_0^1 |\sin(nx)|dx = |\frac{\cos(n) - 1}{n}|$ 

je me suis trompé, c'est faux.