Un lieu à caractériser
Bonjour,
voici un exercice que me souffle Yannguyen : on donne deux droites $(\Delta)$ et $(\Delta')$ ainsi que deux points $A$ et $B$ dans le plan projectif réel ; à tout $M\in(\Delta)$, on associe le point $A'$ où $(AM)$ rencontre $(\Delta')$ puis le point $B'$, image de $A'$ dans l'homothétie-translation de centre $M$ et qui envoie $A$ sur $B$.
voici un exercice que me souffle Yannguyen : on donne deux droites $(\Delta)$ et $(\Delta')$ ainsi que deux points $A$ et $B$ dans le plan projectif réel ; à tout $M\in(\Delta)$, on associe le point $A'$ où $(AM)$ rencontre $(\Delta')$ puis le point $B'$, image de $A'$ dans l'homothétie-translation de centre $M$ et qui envoie $A$ sur $B$.
On demande de caractériser le lieu de $B'$.

Réponses
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Une dilatation dans le plan projectif ?
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salutjohn_john a dit :Bonjour,
voici un exercice que me souffle Yannguyen : on donne deux droites $(\Delta)$ et $(\Delta')$ ainsi que deux points $A$ et $B$ dans le plan projectif réel ; à tout $M\in(\Delta)$, on associe le point $A'$ où $(AM)$ rencontre $(\Delta')$ puis le point $B'$, image de $A'$ dans l'homothétie-translation de centre $M$ et qui envoie $A$ sur $B$.On demande de caractériser le lieu de $B'$.selon le dessin, est ce que vous voulez dire similitude au lieu de homothétie-translation ?si c'est le cas, le lieu est une droite en effet :soit $O=\Delta\cap \Delta ' $;considérons deux position qlc de $M$$M_1,A_1,B_1$ et $M_2,A_2,B_2$ on a donc $B_1A_1\parallel AB\parallel A_2B_2$ et $\dfrac{B_2A_2}{BA}=\dfrac{M_2A_2}{M_2A}$ et $ \dfrac{B_1A_1}{BA}=\dfrac{M_1A_1}{M_1A}$on déduit $\dfrac{B_2A_2}{B_1A_1}=\dfrac{M_2A_2}{M_2A }\cdot \dfrac{M_1A }{M_1A_1}$ainsi en applliqant Menelaus avec $O,M_2,M_1$ on trouve $\dfrac{B_2A_2}{B_1A_1}=\dfrac{OA_2}{OA_1}$ce qui mène à $O,A_1,A_2$ sont allignés.cordialementRH HAS
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Bonsoir,
oui, très bien vu : on a bien une droite passant par $O$ ; a-t-on un autre point remarquable dans cette droite ? (Je puis en proposer un qui nécessite une toute petite construction).
Le terme homothétie-translation (comme celui de cercle-droite dans un autre contexte) me semble consacré : lorsque $M$ est à l'infini, l'application est une translation dont le vecteur appartient à la direction de $M$.
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Désolé @john_john mais je ne comprends rien 🤦♂️1) Est-on dans le complété projectif du plan affine ?2) Sur ta figure, $B’$ semble plutôt être l’image de $B$ par l’homothétie de centre $M$ qui transforme $A$ en $A’$.
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Bonsoir, gai requin,
1) Oui ! Mais on peut oublier le cas où $M$ est à l'infini ; dans ce cas, il manquera un point au lieu (de mon temps, cela n'eût gêné personne).
2) Effectivement, j'ai mal étiqueté les points ! Milexcus... -
Une solution projective.
Soit $O=\Delta\cap\Delta'$, $\Delta_B$ l'image de $\infty_{\Delta}$ par l'application $M\mapsto B'$, $\delta=O\Delta_B$ et $C=AB\cap\Delta$.
Soit également $f:\Delta\to \Delta'$ la perspective de pôle $A$, $g:\Delta'\to\delta$ la perspective de pôle $\infty_{AB}$ et $h=g\circ f$.
Alors $h:\Delta\to\delta$ est une perspective et vérifie $h(\infty_{\Delta})=\Delta_B$ et $h(C)=AB\cap\delta$.
Donc $B$ est le pôle de $h$ qui envoie donc $M\in\Delta$ sur $B'$.
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Mon cher john_johnTu dis qu'on est dans un plan projectif.Comment définis-tu une homothétie-translation dans un tel plan?D'autre part comment définis-tu l'homothétie-translation de centre $M$ envoyant $A$ sur $B$ quand sur ta figure les points $M$, $A$, $B$ n'ont pas l'air d'être alignés.Amicalementpappus
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Bonjour @pappus,Je m’étais posé les mêmes questions et je crois qu’on s’est mis d’accord avec @john_john.J’ai alors proposé une solution ci-dessus…
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Bonjour à tous,
pappus : j'avais rectifié dans l'énoncé car j'avais mal étiqueté les points en faisant la figure ; cela dit, j'eusse mieux fait de parler d'homothétie-translation, non pas dans un plan projectif, mais dans le complété projectif d'un plan affine, ce qui n'est pas tout à fait pareil.
Après les excellentes réponses de RHOM et de gai requin, voici ma solution. Le point $B'$ (celui de la figure) est à l'intersection des droites de deux faisceaux, homologues dans une homographie. Il décrit donc a priori une conique, mais celle-ci se décompose car à la droite $(AB)$ d'un faisceau correspond par l'homographie la même droite dans l'autre.
Le lieu effectif est alors la droite rouge de la figure ; elle passe par le point $\Omega$, point d'intersection des deux droites $\Delta$ et $\Delta'$ ainsi que par le point $B'_\infty$ défini comme il suit : $A'_\infty\in\Delta'$, $(AA'_\infty)$ est parallèle à $\Delta$ et $AA'_\infty B'_\infty B$ est un parallélogramme. Ce dernier point manque dans le lieu si l'on se cantonne au plan affine.
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