Convolution de Möbius
dans Arithmétique
Bonjour,
Si on a $\lambda>-1$ , une suite $u$ qui vérifie $u_{n}=O\left(n^{\lambda}\right)$ et
$$v=u_{n}\star\mu$$
$$v=u_{n}\star\mu$$
A-t-on bien
$$\sum_{k=1}^{n}v_{k}=O\left(n^{1+\lambda+\varepsilon}\right)$$
$$\sum_{k=1}^{n}v_{k}=O\left(n^{1+\lambda+\varepsilon}\right)$$
Réponses
-
Oui si $\lambda > 0$, $\ll x \log x$ si $\lambda = 0$, $\ll x$ si $-1< \lambda < 0$.
-
Merci. Tu utilises des moyens élémentaires?
-
Oui :
\begin{align*}
\sum_{n \leqslant x} v(n) &= \sum_{d \leqslant x} u(d) \sum_{k \leqslant x/d} \mu(k) \\
& \ll x \sum_{d \leqslant x} \frac{|u(d)|}{d} \\
& = x \left( \frac{1}{x} \sum_{d \leqslant x} |u(d)| + \int_1^x \frac{1}{t^2} \left( \sum_{d \leqslant t} |u(d)| \right) \mathrm{d}t \right) \\
& \ll x^{1+\lambda} + x \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t^{1-\lambda}}
\end{align*}
ce qui donne le résultat.
La faute usuelle est d'oublier que, si $-1< \lambda < 0$, alors l'intégrale est $\ll 1$, et ne permet pas d'abaisser l'exposant de $x$. -
Merci beaucoup noix de totos.
-
Si ça t'intéresse, on peut légèrement améliorer la borne dans le cas $\lambda < 0$ : en reprenant les étapes ci-dessus, mais en utilisant le TNP sous la forme $\sum_{n \leqslant x} \mu(n) \ll x \delta(x)$, avec $\delta(x) := \exp \left( - \frac{1}{3} (\log x)^{1/2} \right)$, plutôt que la majoration triviale $\left| \sum_{n \leqslant x} \mu(n) \right| \leqslant x$, il vient
\begin{align*}
\sum_{n \leqslant x} v(n) & \ll x \sum_{d \leqslant x} \frac{|u(d)| \delta(x/d)}{d} \\
& \ll x \sum_{d \leqslant x} \frac{\delta(x/d)}{d^{1-\lambda} } \\
&= x \left( \sum_{d \leqslant \sqrt{x}} + \sum_{\sqrt{x} < d \leqslant x} \right) \frac{\delta(x/d)}{d^{1-\lambda} } \\
& \ll x \delta(\sqrt x) \underbrace{\sum_{d \leqslant \sqrt{x}} \frac{1}{d^{1-\lambda}}}_{\ll \, 1} + x \sum_{\sqrt{x} < d \leqslant x} \frac{1}{d^{1-\lambda} } \\
& \ll x \delta(\sqrt x) + x^{1 + \lambda/2} \ll x \delta(\sqrt x) = x \exp \left( - \tfrac{1}{12} (\log x)^{1/2} \right).
\end{align*}
En affinant un chouïa, on peut même prendre la meilleure fonction d'erreur actuelle dans le TNP, i.e. $\delta_c(x) := \exp \left( - c (\log x)^{3/5}(\log \log x)^{-1/5} \right)$, avec $c > 0$ absolue (de mémoire, $c < 0,21$). -
C'est très intéressant. Je n'ai pas besoin pour l'instant de ce raffinement mais ça pourrait arriver car j'additionne en fait plusieurs séries de Dirichlet. Pour l'instant la première estimation me suffit. Je voudrais pas abuser mais il y a un cas où je ne peux plus comparer de sommes et je me trouve confronté au problème suivant.Je suppose que la série de Dirichlet $\sum_{n\geq1}\frac{a_{n}}{n^{s}}$ :
• est analytique sur le demi-plan ouvert $\Re z>\sigma>0$
• a des singularités sur la droite $\Re z=\sigma$
Est-ce suffisant pour dire que
$$\sum_{n\leq x}a_{n}\ll x^{\sigma+\varepsilon}$$(formule corrigée suite la remarque de noix de totos)C'est intuitif et je pensais trouver facilement un résultat voisin mais ça a l'air plus subtil que je croyais.
-
Je pense que tu voulais dire $\ll x^{\sigma + \varepsilon}$.
On a le résultat suivant : Si $a(n) \geqslant 0$, la série de Dirichlet $L(s,a)$ converge dans le $\frac{1}{2}$-plan $\textrm{Re}(s) > \sigma \iff \forall \varepsilon > 0, \ \displaystyle \sum_{n \leqslant x} a(n) \ll x^{\sigma + \varepsilon}$. -
Merci bien, tu as une référence pour ce résultat? Dans mon cas j'ai $a(n)=O(1)$ qui peut être négatif. Je suppose qu'il faut des conditions sur le comportement de la fonction sur l'axe $x=\sigma$ dans ce cas.J'ai aussi le cas de $L(s,a)/\zeta(s)$ avec $L(s,a)$ converge si $Re(s)>-c$ avec $c>0$.Je suppose que ce n'est pas suffisant pour dire (sous HR) que $L(s,a)/\zeta(s)$ converge si $Re(s)>1/2$?
-
Pour une démonstration, voir par exemple O. Bordellès, Arithmetic Tales Advanced Edition, Springer, 2020, Corollary 4.3.
Tu peux bien sûr changer "$a(n) \geqslant 0$" par "$a(n)$ garde un signe constant".
Sous cette hypothèse, un théorème dû à Landau stipule que, si la série de Dirichlet $L(s,a)$ peut être prolongée analytiquement dans le $\frac{1}{2}$-plan $\textrm{Re}(s) > \sigma$, alors elle converge pour tout $\textrm{Re}(s) > \sigma$. -
Je vais essayer de trouver ce livre qui m'a l'air bien complet.
-
Comme à chaque fois avec Boécien, ce sujet est très intéressant et a le mérite de soulever des problèmes pas souvent abordés ici.
J'ajoute une remarque supplémentaire : le $\varepsilon$ dans la majoration $\ll x^{\sigma + \varepsilon}$ ne peut pas être omis, comme le montre le contre-exemple $a(n) = \tau(n)$ le nombre de diviseurs de $n$.
En effet, ici $L(s,\tau) = \zeta(s)^2$, de sorte que $\sigma_c = 1$, mais il n'est pas difficile de montrer que, pour tout $x \geqslant 1$, on a $\sum_{n \leqslant x} \tau(n) \geqslant \frac{1}{2} x \log x$.
Le $1/2$ peut même être omis, comme le montre un résultat dû à Bottorff : https://zbmath.org/?au=bottorff&ti=&so=&la=&py=1971&ab=&rv=&rft=&an=&en=&cc=&ut=&sw=&br=&any=&dm= -
Thanks again. C'est un domaine fascinant mais souvent les théorèmes ont des conditions drastiques.Par exemple celui que tu as donné ne marche par pour$$ \sum_{n\geq1}\frac{a_{n}}{n^{s}}=\frac{\zeta\left(2s\right)}{\zeta(s)}$$qui a un pole en $1/2$ et sous HR je pense que la série de Dirichlet converge dans $\Re s>1/2$ et on sait que$$\sum_{n\leq x}a_{n}=O\left(n^{1/2+\varepsilon}\right) $$
Mais on ne peut pas appliquer ton théorème puisque $a_{n}$ n'est pas de signe constant.
Existe-t-il un théorème/d'autres conditions qui permet de déduire la convergence dans $\Re s>1/2$ pour cette série sous HR?
Et qui marcherait donc aussi pour $\sum_{n\geq1}\frac{a_{n}}{n^{s}}=\frac{\zeta\left(ms\right)}{\zeta(s)}$ avec $m\geq2$ entier si je ne m'abuse...J'ai encore du mal avec la formule de Perron dont tu parlais dans un autre fil qui est peut être le bon outil ici. Mais je suis surpris qu'il n'existe pas un théorème tout simple.
-
Ton exemple correspond à $a_n = \lambda(n) := (-1)^{\Omega(n)}$ la fonction de Liouville.
Effectivement, notamment lorsque la fonction change de signe, on utilise Perron qui est l'outil idoine ici. -
Je continue...
Lorsque $m=3$ dans ton exemple ci-dessus, la fonction arithmétique notée $\lambda_3$ associée à la série de Dirichlet $\frac{\zeta(3s)}{\zeta(s)}$ est donnée par $\lambda_3(n) = \left( \frac{\tau(n)}{3} \right)$, où $\tau$ est la fonction de diviseurs bien connue et, si $p> 2$ premier, $\left( \frac{\dotsb}{p} \right)$ est le symbole de Legendre $\bmod p$.
Note au passage que la série de Dirichlet de $\lambda_3$ implique l'égalité de convolution $\displaystyle \sum_{n \leqslant x} (\lambda_3 \star \mathbf{1})(n) = \left \lfloor x^{1/3} \right \rfloor$.
Il faut savoir que j'ai écrit un article il y a quelques années qui étudie les fonctions arithmétiques $\lambda_q \star \mathbf{1}$, avec $q > 2$ premier et $\lambda_q(n) = \left( \frac{\tau(n)}{q} \right)$. Dans cet article :
(i) J'étudie la série de Dirichlet de $\lambda_q$ ;
(ii) J'en déduis l'ordre moyen de $\lambda_q \star \mathbf{1}$, qui dépend de la classe $\bmod 24$ de $q$ ;
(iii) J'établis un nouveau critère pour l'Hypothèse de Riemann à l'aide de cette fonction $\lambda_q \star \mathbf{1}$ ;
(iv) Je démontre une majoration d'une somme courte dans le cas $q=5$. -
Bravo pour cet article que j'ai pu trouver. Curieux ce changement de nature de la somme de convolution. On aurait pu croire que puisque $q=2$ et $q=3$ donnaient le même truc ça continuerait! Franchement le degré de technicité atteint en section $5$ me dépasse un peu et les propriétés arithmétiques des fonctions sont si différentes pour $q=5$.En essayant de chercher pour m'entrainer à Perron un exemple plus facile que $\zeta(ms)$ j'ai celui là inspiré des fonctions de Jordan qui généralisent la fonction indicatrice d'Euler.Supposons que $HR$ soit vraie. Soit $\lambda\notin\left\{ 0;1\right\}$ et la série de Dirichlet
$$\sum_{n\geq1}\frac{a_{\lambda}(n)}{n^{s}}=\frac{\zeta\left(s+\lambda\right)}{\zeta\left(s\right)}$$alors il me semble qu'en utilisant la formule de Perron on arrive à
$$1-\lambda>1/2\Rightarrow\sum_{k=1}^{n}a_{\lambda}(n)\sim\frac{1}{\left(1-\lambda\right)\zeta\left(1-\lambda\right)}n^{1-\lambda}\ \left(n\rightarrow\infty\right)$$
$$1-\lambda\leq1/2\Rightarrow\sum_{k=1}^{n}a_{\lambda}(n)\ll n^{1/2+\varepsilon}$$Le premier cas est simple car on peut isoler le pôle du numérateur .Le deuxième est plus compliqué car je dois tenir compte des zéros non triviaux de zêta. Tu confirmes ce résultat?
-
Le titre de l'article, finalement paru au journal "Journal of Integer Sequences", a quelque peu changé par rapport au preprint.
Pour ton exemple, je traite le cas où $\lambda \geqslant \frac{1}{2}$ : ici, je n'utiliserais pas Perron, mais plutôt le fait que ta série de Dirichlet implique que ta fonction se décompose en $a_\lambda = \textrm{id}_{-\lambda} \star \mu$. On en déduit sous HR :
$$\sum_{n \leqslant x} a_\lambda (n) = \sum_{d \leqslant x} d^{-\lambda} \sum_{k \leqslant x/d} \mu(k) \ll \sum_{d \leqslant x} d^{-\lambda} \left( \frac{x}{d} \right)^{1/2+\varepsilon} \ll x^{1/2+\varepsilon} \sum_{d \leqslant x} d^{-\lambda - 1/2 - \varepsilon} \ll x^{1/2+\varepsilon}$$
puisque $\lambda \geqslant \frac{1}{2}$.
Lorsque $\lambda < 0$, ta fonction est précisément la $(-\lambda)$-ème fonction de Jordan, notée $J_{-\lambda}$, qui généralise le totient d'Euler, et dont l'ordre moyen est parfaitement connu inconditionnellement (voir par exemple Theorem 4.31 du livre que j'ai cité plus haut).
Pour le cas $0 < \lambda < \frac{1}{2}$, sous HR, on utilise Perron en intégrant sur le rectangle $1-\lambda + iT$, $\frac{1}{2} + \varepsilon + iT$, $\frac{1}{2} + \varepsilon - iT$, $1-\lambda - iT$, où $1 \leqslant T \leqslant x^{1-\lambda}$ est un paramètre à choisir à la fin. Puisque $|a_{\lambda}(n)| \ll n^\varepsilon$, la formule de Perron et le théorème de Cauchy fournissent
$$\sum_{n \leqslant x} a_\lambda (n) = \frac{x^{1-\lambda}}{(1-\lambda) \zeta(1-\lambda)} - \frac{1}{2 \pi i} \left( \int_{H_1} + \int_{H_2} + \int_V \right) \frac{\zeta(s+\lambda)}{\zeta(s)} \frac{x^s}{s} \mathrm{d}s + O_{\varepsilon,\lambda} \left( x^{1-\lambda + \varepsilon} T^{-1} \right)$$
où $H_1$ et $H_2$ sont les deux segments horizontaux et $V$ est le segment vertical du rectangle. Sous HR, l'hypothèse de Lindelöf est vraie, donc on a $\frac{\zeta(s+\lambda)}{\zeta(s)} \ll |t+1|^{\varepsilon}$ avec $\frac{1}{2} + \varepsilon \leqslant \sigma \leqslant 1 - \lambda$ et $|t| \leqslant T$. Après calculs, il vient
$$\sum_{n \leqslant x} a_\lambda (n) = \frac{x^{1-\lambda}}{(1-\lambda) \zeta(1-\lambda)} + O_{\varepsilon,\lambda} \left( x^{\varepsilon} \left( x^{1-\lambda} T^{-1} + x^{1/2} \right) \right).$$
Le choix de $T = x^{1-\lambda}$ fournit alors
$$\sum_{n \leqslant x} a_\lambda (n) = \frac{x^{1-\lambda}}{(1-\lambda) \zeta(1-\lambda)} + O_{\varepsilon,\lambda} \left( x^{1/2+\varepsilon} \right)$$
si l'Hypothèse de Riemann est vraie. À noter que cette égalité est bien une formule asymptotique, puisque $1-\lambda > \frac{1}{2}$ dans ce cas. -
Je te remercie beaucoup noix de totos pour tous ces détails. Si on se limite à la fonction $a_{1/2}(n)$ dont la série génératrice est $\frac{\zeta\left(s+1/2\right)}{\zeta\left(s\right)}$ on a donc quelque chose de voisin de la fonction de Liouville $\lambda(n)$ dont la série génératrice est $\frac{\zeta\left(2s\right)}{\zeta\left(s\right)}$ (ce que confirme le graphique des sommes partielles, même genre de grandes oscillations tendant vers $-\infty$).
Même si je ne comprends pas tout aux articles référencés sur wikipedia (notamment celui d'Haselgrove) où on voit que Polya avait montré
$$HR\Leftrightarrow\forall n\geq1,\ \sum_{k=1}^{n}\lambda(k)\leq0$$
et que Turan avait montré$$HR\Leftrightarrow\forall n\geq n_{0},\ \sum_{k=1}^{n}\frac{\lambda(k)}{k}\geq0$$Mais on a trouvé des contre-exemples à ces inégalités. Une question naturelle ici est donc a-t-on des théorèmes équivalents à ceux de Polya et Turan i.e
$$HR\Leftrightarrow\forall n\geq n_{0},\ \sum_{k=1}^{n}a_{1/2}(k)\leq0$$
$$HR\Leftrightarrow\forall n\geq n_{0},\ \sum_{k=1}^{n}\frac{a_{1/2}(k)}{k}\geq0$$
et si oui existe-t-il aussi des contre-exemples à ces inégalités, ou bien pourrait-on avoir plus de chance pour que ça marche? Tu n'es pas obligé de répondre dans ce fil! C'est juste une question que je me pose et qui m'intéresse.
-
Tu supposes $\lambda = \frac{1}{2}$ et donc on joue avec la fonction arithmétique de Jordan $J_{-1/2}$. J'appelle $S_{-1/2}$ sa fonction sommatoire définie pour $x > 0$ par $S_{-1/2}(x) := \sum_{n \leqslant x} J_{-1/2} (n)$.
Je vais utiliser le théorème suivant dû à Landau, dont j'ai déjà parlé plus haut :
Th (Landau). Soit $x \longmapsto A(x)$ une fonction à valeurs réelles, bornée, Riemann-intégrable sur tout segment $[1,X]$ et on suppose qu’il existe $x_0 >1$ pour lequel $A(x)$ est de signe constant sur $[x_0,+∞[$. Si $\sigma_c$ est l’infimum des points $\sigma \in \mathbb{R}$ pour lesquels l'intégrale
$$\int_{x_0}^\infty A(x) x^{-\sigma - 1} \mathrm{d}x$$
converge, alors la fonction $\displaystyle s \longmapsto s \int_1^\infty A(x) x^{-s - 1} \mathrm{d}x$ est holomorphe dans le demi-plan $\textrm{Re}(s) > \sigma_c$, mais pas en $\sigma_c$ qui est une singularité.
On en déduit le corollaire suivant qui répond à ta question :
Corollaire. Si $S_{-1/2}(n) \leqslant 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ assez grand, alors l'hypothèse de Riemann est vraie.
Preuve. On note que $|J_{-1/2}(n)| \leqslant 1$, de sorte que, par sommation partielle
$$\frac{\zeta(s+1/2)}{\zeta(s)} = s \int_1^\infty S_{-1/2}(x) x^{-s-1} \mathrm{d}x.$$
D'après le théorème ci-dessus, la série de Dirichlet du membre de gauche converge pour $\sigma > a$ où $a$ est la $1$ère singularité réelle de $\frac{\zeta(s+1/2)}{\zeta(s)}$, et comme $\zeta$ n'a aucun zéro réel, la $1$ère singularité réelle est $s=\frac{1}{2}$ du numérateur. Ainsi, la série $\frac{\zeta(s+1/2)}{\zeta(s)}$ converge dans le $\frac{1}{2}$-plan $\sigma > \frac{1}{2}$, de sorte que $\zeta$ ne s'annule pas dans ce demi-plan, et donc l'hypothèse de Riemann est vraie.
Edit. J'ai rédigé une nouvelle démonstration plus détaillée du corollaire (21 juillet).
-
Voici un graphique donnant $S_{-1/2}(x)$ qui intuitivement semble avoir plus de chance d'être tout le temps négatif que celui des sommes partielles de la fonction de Liouville.
-
Puisque tu as mentionné Haselgrove, je vais aller un peu plus loin (attention, ça va un peu piquer !...).
Je vais tenter d'adapter la méthode d'Haselgrove, ou plutôt d'Ingham-Haselgrove, à l'exemple de cette fonction de Jordan $J_{-1/2}$. Elle fonctionne ainsi : on suppose d'abord que HR est vraie et que les zéros $\rho_n = \frac{1}{2} + i \gamma_n$ de $\zeta$ sont simples, avec $|n| \geqslant 1$ et la convention $\gamma_{-n} = - \gamma_n$ lorsque $n \geqslant 1$. On pose
$$A(x) := e^{-x/2} S_{-1/2} (e^x) \quad \textrm{et} \quad F(s) := \frac{\zeta(s+1/2)}{s \zeta(s)}.$$
Puisque HR est vraie et que les zéros non triviaux de $\zeta$ sont simples, la série de Dirichlet $F$ admet des pôles simples en $s = \frac{1}{2}$ et $s= \rho_n$. J'ai calculé les résidus de ces pôles et on trouve :
$$\alpha_0 := \underset{s=1/2}{\textrm{Res}}(F(s)) = 2 \left(\zeta(1/2)\right)^{-1} \approx -1,36953 \quad \textrm{et} \quad \alpha_n := \underset{s=\rho_n}{\textrm{Res}}(F(s)) = \frac{\zeta(\rho_n+1/2)}{\rho_n \zeta^{\, \prime}(\rho_n)} \quad \left( |n| \geqslant 1 \right).$$
Soit $T \in \mathbb{R}$ fixé et on pose pour $x \geqslant 1$
$$A^\star_T (x) := \alpha_0 + 2 \, \textrm{Re} \left\lbrace \sum_{0 < \gamma_n < T} \left( 1 - \frac{\gamma_n}{T} \right) \alpha_n \, e^{i \gamma_n x} \right\rbrace.$$
La méthode repose alors sur le résultat suivant, dû essentiellement à Ingham : pour tous réels $T, y > 0$
$$\liminf_{x \to + \infty} A(x) \leqslant \liminf_{x \to + \infty} A^\star_T(x) \leqslant A^\star_T(y) \leqslant \limsup_{x \to + \infty} A^\star_T(x) \leqslant \limsup_{x \to + \infty} A(x).$$
Donc, si tu peux trouver $T,y > 0$ pour lesquels $A^\star_T(y) > 0$, alors $S_{-1/2}(n) > 0$ pour une infinité d'entiers $n \geqslant 1$.
Le problème ici est que $\alpha_0 \approx -1.36953$ est deux fois plus petit que celui d'Haselgrove avec la fonction de Liouville, qui avait donc $\alpha_0 = \left(\zeta(1/2)\right)^{-1} \approx -0,68476$, et donc ça va être plus difficile de trouver les réels $T$ et $y$ que dans son cas à lui. -
Effectivement ça piquotte
Serait-ce possible qu'il n'existe pas de tels $T,y>0$? Voici un graphique jusqu'à $x=10^6$. C'est franchement négatif mais le petit soubresaut à la fin peut laisser penser que peut-être à un moment on ira dans le demi-plan $y>0$.
-
Personnellement, je n'en trouve pas (mais je n'ai pas cherché furieusement).
-
Quand on compare avec le graphique des sommes partielles de la fonction de Liouville ci-dessous (dans le même intervalle) on voit une nette différences dans les "soubresauts" qui laissent plus imaginer qu'un jour ça va dans $y>0$.
-
Pour info, pour la fonction sommatoire $L(x) = \sum_{n \leqslant x} \lambda(n)$ de la fonction de Liouville, et en reprenant les notations ci-dessus, Haselgrove a vérifié qu'avec $T=1000$ et $y= 831,847$, alors $A^\star_T (y) \approx 0,00495 > 0$. Il a utilisé pour ce faire la connaissance des $649$ premiers zéros non triviaux de $\zeta$.
Deux ans plus tard, en 1960, Lehman a étudié la fonction $A^\star_T$ pour $T \leqslant 1000$, et a développé un algorithme pour calculer $L(n)$ en un point $n$ particulier. Il a obtenu entre autres que $L(906 \, 180 \, 359) = 1$, et même $L(906 \, 400 \, 000) = 708$. En 1980, Tanaka a trouvé la plus petite solution à l'équation $L(n) = 1$, à savoir $n=906 \, 150 \, 257$. En 2008, Ferguson et Mossinghoff ont obtenu $L(351 \, 753 \, 358 \, 289 \, 465) = 1 \, 160 \, 327$. On sait aujourd'hui qu'il existe une infinité d'entiers $n \geqslant 1$ tels que $L(n) > 0,061867 \sqrt n$.
La formule utilisée par Lehman est la suivante :
\begin{align*}
L(x) &= \sum_{\substack{n \leqslant x/T \\ n \, \textrm{impair}}} \mu(n) \left\lbrace \left\lfloor \sqrt{\frac{x}{n}} \right\rfloor - \left\lfloor \sqrt{\frac{x}{2n}} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{T}{2n} + \frac{1}{2} \right\rfloor \sum_{k < x/T} \lambda(k) - \sum_{k < x/T} \left\lfloor \frac{T}{2k} + \frac{1}{2} \right\rfloor\lambda(k) \right\rbrace \\
& \qquad - \sum_{\substack{x/T < n \leqslant T \\ n \, \textrm{impair}}} L(x/n) \sum_{\substack{m \mid n \\ m \leqslant x/T}} \mu(m)
\end{align*}
où $\sqrt x < T \leqslant x$ est un paramètre à choisir.
Si tu trouves une formule de ce type pour la fonction sommatoire $S_{-1/2}$ du totient de Jordan $J_{-1/2}$, alors tu pourrais peut-être trouver un contre-exemple à l'affirmation $S_{-1/2}(n) \leqslant 0$ pour tout $n \geqslant 5$. -
Ton érudition dans le domaine de la TAN m'étonne! Ou plutôt ne m'étonne plus. J'ai poussé les calculs pour $S_{-1/2}(n)$ jusqu'à $n=10^7$. Je sais qu'il faut se méfier de la loi forte des petits nombres dans ce domaine, mais quand même l’œil humain a envie de dire que la courbe va rester négative.
-
En reprenant l'idée de Lehman, voici ce que je trouve pour $S_{-1/2}$ : pour tous $1 \leqslant U \leqslant T \leqslant x$, on a
$$S_{-1/2}(x) = \sum_{n \leqslant x/T} \mu(n) \left\lbrace R(x/n) - \sum_{m < U} J_{-1/2}(m) \left( \left\lfloor \frac{x}{mn} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{x}{Un} \right\rfloor \right) \right\rbrace - \sum_{\frac{x}{T} < n \leqslant \frac{x}{U}} S_{-1/2} (x/n) M(n;x/T)$$
avec $\displaystyle M(n;y) := \sum_{\substack{d \mid n \\ d \leqslant y}} \mu(d)$ et $\displaystyle R(y) := \sum_{n \leqslant y} \frac{1}{\sqrt n}$.
Avec la fonction de Liouville, Lehman a choisi $U = \frac{1}{2} (x \log x)^{1/3}$ et $T = 2 x^{2/3} (\log x)^{-1/3}$. Note que si on prend $U=T = \sqrt x$, alors la dernière somme disparaît. Avec ce choix, ma machine trouve :
$\triangleright$ $S_{-1/2} (10^8) \approx - 12981,8272 \dotsc$ en 15 minutes ;
$\triangleright$ $S_{-1/2} (10^9) \approx - 43683,0224 \dotsc$ en 2 H 46 min (!).
-
Je vais essayer de jouer avec cette formule. Mais pour de grandes valeurs de $x$ je crains avoir du mal à faire les calculs avec mes faibles moyens.
-
Attention, je l'ai modifiée avec deux paramètres au lieu d'un seul.
-
On peut généraliser la méthode de Lehman de la façon suivante.
Soient $1 \leqslant U \leqslant T \leqslant x$, et on note $M(n;y) := \displaystyle \sum_{d \mid n \\ d \leqslant y} \mu(d)$. Soient $f$ et $g$ deux fonctions arithmétiques quelconques telles que $f = g \star \mu$ (on dit que $f$ est la transformée d'Érathostène de $g$), et on note $F(x)$ et $G(x)$ leurs fonctions sommatoires respectives. Alors
$$F(x) = \sum_{n \leqslant x/T} \mu(n) \left\lbrace G(x/n) - \sum_{m < U} f(m) \left( \left\lfloor \frac{x}{mn} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{x}{nU} \right\rfloor \right) \right\rbrace - \sum_{\frac{x}{T} < n \leqslant \frac{x}{U}} F(x/n) M(n; x/T).$$ -
Je remonte ce sujet pour signaler les différentes évolutions des messages, notamment le calcul de $S_{-1/2} (10^9)$.
-
On reste autour de la moyenne prévue à $10^9$.$10^9$ me prends une semaine à la louche. Il faudrait utiliser un super calculateur. Je pourrais demander un créneau au CEA!
-
La valeur du résidu $\alpha_0$ calculée plus haut suggère que s'il existe un entier $n_0$ tel que $S_{-1/2}(n_0) > 0$, alors cet entier doit être perché bien plus loin que celui obtenu avec la fonction de Liouville.
Quant à démontrer que, pour tout entier $n$ (même assez grand), on a $S_{-1/2}(n) \leqslant 0$, je crains que cela ne soit hors de portée avec les connaissances actuelles... -
On dira que ce sera un challenge comme avec la fonction de Liouville. Peut-être qu'on pourrait montrer $S_{-1/2}(n)\leq0$ conditionnellement à HR. Un autre challenge!
-
Merci pour ta contribution en tout cas, j'ai appris plein de choses et j'ai commandé le livre "Arithmetic Tales". Cela me semble être un bon complément au livre de G. Tenenbaum.
-
Il y a bien longtemps que je n'avais pas vu passer ici un sujet aussi intéressant.
Les techniques d'Ingham-Haselgrove sont connues depuis des lustres, il m'a paru donc très pertinent de les essayer sur la fonction arithmétique $J_{-1/2}$ de Jordan, ce qui, à ma connaissance, n'a pas (encore) été fait dans la littérature.
Hier, j'ai obtenu une autre identité pour les fonctions sommatoires d'un couple $(f,g)$ de fonctions arithmétiques tel que $f = g \star \mu$ (une situation très fréquente en théorie des fonctions arithmétiques), identité alternative à celle proposée ci-dessus. Malheureusement, algorithmiquement, cette nouvelle identité peine à tenir ses promesses.
Je vais donc en chercher d'autres, je n'ai pas dit mon dernier mot !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.6K Toutes les catégories
- 65 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.7K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 86 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 344 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 805 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres