Exemples de résultats faux en dimension infinie.

Noveang

Bonjour,

Je dois assurer à la rentrée prochaine quelques vacations en analyse fonctionnelle, et un TD en particulier a attiré mon attention. Dans le premier exercice, il est question de montrer que certains résultats "classiques" tombent en dimension infinie, et cette démarche me semble tout à fait pertinente.

A cet égard, je voulais ajouter le cas d'un sous-espace vectoriel qui ne soit pas fermé, et pourquoi pas même fermé pour une norme mais pas pour une autre.

J'avais de mon côté pensé à $\mathbb{C}[X]$ et $\|\cdot\|_{\infty}$, où des suites de la forme $U_n = \sum_{k=0}^{n}a_k z^k \in \mathbb{C}[X]$ peuvent converger uniformément vers une fonction non-polynomiale.

Auriez-vous d'autres suggestions ? Ou même d'autres exemples dans cette idée ?

Noveang.

bisam

En dimension infinie, même en cas d'existence d'une base, il n'y a (en général) pas de lien entre la convergence d'une suite et la convergence des coordonnées de cette suite dans cette base.

raoul.S

Noveang a dit : 
A cet égard, je voulais ajouter le cas d'un sous-espace vectoriel qui ne soit pas fermé, et pourquoi pas même fermé pour une norme mais pas pour une autre.

On peut par exemple considérer les espaces $\ell^p$ pour $p\in [1,+\infty]$. On a $\ell^p\subset \ell^{\infty}$ pour tout $p\geq 1$. Donc $\ell^p$ est un sous-espace de $\ell^{\infty}$. De plus $\ell^p$ n'est pas fermé dans $\ell^{\infty}$ (on peut montrer que son adhérence est égale à l'espace des suites qui convergent vers $0$), donc pas complet. Mais $\ell^p$ est complet pour "sa" norme $\|.\|_{p}$.

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Sinon autres exemples :   

1) En dimension finie, les compacts sont les fermés bornés. Ce n'est plus vrai en dimension infinie.

2) En dimension finie, tous les espaces sont complets. Ce n'est plus vrai en dim infinie.

3) Plus difficile : en dimension finie, l'enveloppe convexe d'un compact est compacte. Ce n'est plus vrai en dim infinie.

PS : lorsque je dis "en dimension finie" je suppose que l'espace est muni d'une norme quelconque, donc que l'on a affaire à un espace normé.

JLapin

Noveang a dit :

Auriez-vous d'autres suggestions ? Ou même d'autres exemples dans cette idée ?

Non équivalence des normes, non continuité automatique des applications linéaires. Les contre-exemples sont très nombreux en analyse fonctionnelle.

Bibix

La boule unité fermée de $E$ est compacte si et seulement si $E$ est de dimension finie.

Noveang

Merci pour vos retours, ça fait déjà une petite liste tout à fait raisonnable.

Et merci @raoul.S pour l'exemple explicite de $\ell^p$ ce sera parfait pour illustrer, simple et efficace !