Un produit et une somme

basicq

Bonjour à tous,

Voici deux questions

1) Dans le calcul de produit ci-joint, quel est le rôle des indices à la première ligne de Pn^2 ?
Comment la divison apparaît alors qu'on multiplie par Pn ?

2) dans le calcul de somme de coefficient binomiaux ci-joint, comment expliquer la nullité de la somme double de l'avant dernière ligne? Le passage de l'avant dernière ligne à la dernière ligne n'est pas explicité.

Merci d'avance

Fin de partie

1) Est-ce que tu ne comprends pas la notation? $i,j$ sont des variables muettes, donc tu peux remplacer $i,j$ par $m,n$ ou tu peux remplacer $i,j$ par $j,i$.

2) Lis attentivement. Dans l'avant-dernière ligne le carré de la première somme porte sur les termes qu'on additionne tandis que dans la dernière ligne il porte sur la somme totale. 

Cette somme double est une somme de nombres positifs dont au moins  un est non nul donc elle ne peut pas être nulle.

PS:

Les anglo-saxons pour parler de "variable muette" disent placeholder, littéralement en français "celui qui tient la place".

Fin de partie

Pour le 2) il faut savoir ce que cela fait quand tu généralises la formule $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$ à plus de deux termes c'est-à-dire qu'on a une formule pour  $\displaystyle \left(\sum_{k=0}^n a_k\right)^2$.

Cette formule est évidente quand on teste sur des petites valeurs de $n$.

gerard0

Bonjour.

Dans la première ligne de $P_n^2$, il faut "lire à l'envers" :  on fait le produit de tous les $ij$ pour toutes les valeurs de i et j; donc le produit ij=ji apparaît 2 fois (6 apparaît comme 2*3 et aussi comme 3*2), alors que dans l'écriture de $P_n$ il n'y est qu'une seule fois (puisque i<j); de plus apparaissent des $i^2$ lorsque $i=j$, d'où la division par le produit des $ij$ pour $i=j$.

Mon conseil : lorsque tu ne comprends pas un calcul de ce genre, prends n faible (n=3 par exemple) et développe complétement les écritures. Ça deviendra tout de suite évident.

Cordialement.

basicq

Bonjour,

Merci pour vos retours.

@Fin de Partie, pas de problèmes pour les variables muettes. Ce que je ne comprenais pas c'était la notation au niveau de la première ligne du développement de Pn^2 : il n'y a plus de signe inférieur ou égal ou strict entre les indices, au dénominateur le sens de la notation n'est pas évident non plus. Si j'ai bien compris, il s'agit de la somme de tous les ij sans contrainte d'ordre, ce qui donne bien Pn^2 modulo les i^2 qui sont neutralisés au dénominateur.

Pour la somme binomiale, merci pour cette réponse, c'est très clair de mon côté.

@Gerard0, merci pour cette réponse très claire.

Bonne journée à tous