Démonstration du théorème de Lusin par Walter Rudin

LoloDJ

Ma question se place dans le contexte de la lecture du livre de Walter Rudin : Analyse réelle et complexe. Plus précisément, le théorème 2.24 appelé "théorème de Lusin", que je mets ci-dessous (désolé, c'est en anglais). Pour bien tout comprendre, il faudrait aussi relire le théorème 2.14 (théorème de représentation de Riesz, mais c'est très long : on peut le trouver sur internet en anglais en deux coups de cuiller à pot). Ma question porte sur l'affirmation suivante : il existe un compact $K_n$ et un ouvert $V_n$ tels que $K_n \subset T_n \subset V_n \subset V$ et $\mu (V_n-K_n)< 2^{-n} \epsilon$. comment sait-on que c'est vrai ? Dans le contexte du théorème 2.14, pour pouvoir affirmer cela il faut que l'on ait affaire à un ensemble mesurable et de mesure finie. Comment sait-on que $T_n$ est mesurable ? Est-ce si évident ?

Si on regarde un peu mieux ce que fait la fonction $2^{n}t_n$, on voit qu'elle renvoie le nième coefficient, après la virgule, de l'écriture en base 2 de $f(x)$ qui est dans l'intervalle $[0,1]$, bon, et alors ?

voici le texte de la preuve en anglais

LoloDJ

Je m'aperçois qu'il faudrait peut-être que je mette le théorème 1.17 aussi pour qu'on comprenne, le voici

Mais peut-être que je me prends trop la tête pour pas grand-chose finalement : les fonctions $s_n$ sont mesurables par construction, donc $t_n$ aussi évidemment, donc aussi $2^{-n}t_n$ et donc $T_n$ qui est l'image réciproque du singleton $\left\{ 1 \right\}$ par $2^{-n}t_n \circ f$...

Georges Abitbol

Ben c’est une hypothèse de régularité de la mesure, non ? C’est peut-être dit plus haut. Quand à la mesurabilité de $T_n$, ça a l’air d’être vrai par construction, comme tu le dis

LoloDJ

Georges Abitbol a dit :

Ben c’est une hypothèse de régularité de la mesure, non ? C’est peut-être dit plus haut. Quand à la mesurabilité de $T_n$, ça a l’air d’être vrai par construction, comme tu le dis

Oui, effectivement, il est dit plus haut que la mesure est régulière. Ma question était plutôt de savoir pourquoi $T_n$ était mesurable. S'il est mesurable, alors comme la mesure est régulière, on a l'existence de ce compact et de cet ouvert tels que décrits.

Mais finalement, je pense avoir répondu à ma propre question en disant que $T_n$ est l'image réciproque du singleton $\left\{ 1 \right\}$ par $2^{-n}t_n \circ f$.

C'est juste que quand on voit $T_n$ comme le sous-ensemble de $A$ des éléments qui par $f$ ont une image dont l'écriture en base $2$ possède un chiffre égal à $1$ sur la $n$ème composante après la virgule, ça ne me semblait pas aussi clair.

gebrane

Bonjour, Quel est le lien avec cette version