FoyerParabole

pappus

Bonjour à tous

Pour oublier très momentanément les points alignés et les droites concourantes, voici un exercice de géométrie différentielle.

Lieu des foyers des paraboles de direction asymptotique $D$ osculatrices en $M$ à un cercle $\Gamma$.

Amicalement

pappus

Bouzar

Bonjour pappus,

Voici un document :

Piteux_gore

Bonjour,
Je ne sais pas qui était le J-Ch Dupain (Jean-Charles ?) auteur de l'article susmentionné.
Il y a un Charles Dupin (1784-1873), qui fut un mathématicien, ingénieur et homme politique de tout premier plan ; on lui doit, entre autres, la renaissance des mathématiques en Grèce.
Ab imo pectore...

cailloux

Bonjour,
Une figure (à justifier) :

pappus

Bonjour à tous

Ma question est différente de celle de Dupain puisque le point $M$ est variable sur le cercle $\Gamma$.

C'est donc la figure de Cailloux qui est exacte.

Bravo Cailloux, tu m'épates de plus en plus.

Quelle est la tangente en $F$ au lieu de $F$?

Amicalement

pappus

cailloux

Bonjour pappus,
La droite $(FM)$, quoi d'autre ? Et le lieu est donc l'enveloppe de ces droites. Il est peut-être temps d'aller faire un tour sur le site de Robert Ferréol au chapitre "néphroïde".
Je ne me suis pas trop cassé la tête pour cette figure : j'ai tiré le bon grain de ce fil https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2333506/construction-dune-parabole où j'avais fait les calculs (misérablement cartésiens) en l'adaptant à ton exercice.
Il reste juste à déterminer par calcul le lieu de $F$ via la construction.
Amitiés.

cailloux

En partant de $M\,\begin{cases}a\,\cos\,t\\a\,\sin\,t\end{cases}$, j'obtiens :
$$F\,\begin{cases}a\,\cos^3t\\\dfrac{a}{2}\,\sin\,t\,(1+2\,\cos^2t)\end{cases}$$
qui semble coller avec la figure.
Amitiés.

pappus

Merci Cailloux de nous faire partager tes compétences.

Amitiés

pappus

cailloux

Des compétences au petit pied, pappus !
Pour se rapprocher de la néphroïde du site de Robert Ferréol, on peut vérifier (très simplement !) que $N$ a pour paramètre $3t$ :

Amitiés.
[Edit] Me voilà trisecteur patenté ...

Piteux_gore

Deux exercices inspirés par le papier du mystérieux Dupain
1) trouver l'équation générale des paraboles surosculatrices en $O$ au cercle $x^2 + y^2 - 2Ry = 0$ ;
2) trouver l'équation d'une parabole, connaissant le foyer $(\alpha, \beta)$ et la directrice $mx + ny + p = 0$ avec $m^2 + n^2 = 1$.

pappus

Merci Cailloux

On remarque sur ta figure que la néphroïde est une caustique de cercle.

Amitiés

pappus

Piteux_gore

L'exercice 2 est ultra simple.
Pour l'exercice 1, il suffit de traduire en équations les trois contraintes osculatoires : la parabole passe par $O$, elle touche $Ox$ en $O$ et son centre de courbure en $O$ est le point $(0, R)$... Emballez, c'est pesé !

Piteux_gore

Peut-on déduire la solution du problème de Pappus de la solution du problème de Dupain, et vice-vertu ?

cailloux

Bonsoir Piteux_gore,
Ce J-Ch Dupain n'a pas daigné accompagner son article d'une figure. C'est regrettable. Si on veut "comprendre", il faut la faire !
Les choses sont tout de suite plus claires :

Piteux_gore

Dupain montre analytiquement, de façon un peu lourde, que le lieu des foyers est un cercle dont le rayon est le quart du rayon du cercle donné, et dont le centre est sur la normale au cercle donné, plus précisément au quart du rayon de courbure.
Le rédacteur des NAM, sans doute Gerono (car Terquem était déjà mort en 1866), signale ensuite que l'on peut trouver le lieu par une preuve synthétique, en partant du résultat suivant signalé en 1715 par L'Hospital
la projection du centre de courbure au point $M$ d'une parabole sur la droite $FM$ n'est autre que le symétrique de $M$ par rapport à $F$.
En passant, cela fournit une construction simplissime du centre de courbure en un point d'une parabole dont on connaît le foyer.

cailloux

Dupain et le fil déjà cité : https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2333506/construction-dune-parabole c'est la même chose jusqu'au point fixe des directrices ici $I$ et dans l'autre fil $N'$ (voir l'animation).

Ma première figure est bel et bien déduite de ce fil.