Un modèle inhabituel de plan affine

pappus

Bonjour à tous

J'ai déplacé le message ci-dessous dans cette nouvelle discussion qui me semble plus appropriée car j'ai plus envie de faire de la géométrie (calculs + figures) que de philosopher interminablement sur le livre de Hilbert sur les fondements de la géométrie.

A tout $(a,b)\in \mathbb R^2$, j'associe la droite $D_{(a,b)}$ de $\mathbb R^2$ d'équation $y=ax+b$.

J'appelle $\mathcal E$ l'ensemble des droites ainsi obtenues.

On peut via la bijection précédente $D:\mathbb R^2\longmapsto \mathcal E;(a,b)\mapsto D_{(a,b)}$ transférer sur $\mathcal E$ la structure affine de $\mathbb R^2$.

Tracer des " points" et des "droites" de $\mathcal E$

Dessiner un parallélogramme de $\mathcal E$.

Tracer dans $\mathcal E$ la configuration du centre de gravité d'un triangle.

Exhiber le groupe des homothéties-translations de $\mathcal E$.

Compléter projectivement $\mathcal  E$ (de façon à pouvoir wedger à loisir!) et en particulier tracer méticuleusement la "droite" de l'infini.

Tracer l'ensemble des "points" de $\mathcal E$ vérifiant $a^2+b^2=1$

Amicalement

pappus

PS

Il n'est pas interdit de faire des figures (il y en a un paquet!) et aussi des calculs!

J'adore les calculs, yeah!

Des calculs, des calculs, des calculs.......!

pappus

Bonjour à tous

Une première question importante qu'on pourrait peut-être confier à des lycéens:

Etant donné le point $(a,b)\in \mathbb R^2$, tracer la droite $D(a,b)$ qui est un "point" de $\mathcal E$.

Pas de problème pour les amateurs de Geogebra.

On écrit un code, ce fameux code qu'on fait digérer au logiciel.

On trace le point $(a,b)$, on utilise le code, on appuie sur la touche "entrée" et la droite $D(a,b)$ surgit sur votre écran comme un petit diable sortant de sa boite.

Mais peut-on enseigner ainsi la géométrie à de jeunes lycéens, je me le demande?

Quant à moi, je préfère les faire méditer sur la figure ci-dessous dont on peut toujours faire une macro si on veut.

Maintenant il est bien entendu qu'un "point" de $\mathcal E$ apparait visuellement comme une droite de $\mathbb R^2$ sécante avec l'axe des ordonnées.

Une question angoissante: Comment tracer le milieu des "points" $D(a,b)$" et $D(a',b')$ de $\mathcal E$?

Amicalement

pappus

JLT

Il y a les "droites" de la forme $\Delta_{(x_0:y_0:1)}$ : l'ensemble des droites non verticales passant par $(x_0,y_0)$

et les "droites" de la forme $\Delta_{(1:a:0)}$ : l'ensemble des droites de pente $a\in\R$.

pappus

Merci JLT

C'est exact et les "droites" de $\mathcal E$ se visualisent comme des points de $\mathbb R^2$ ou certains points à l'infini de son complété projectif.

Mais tu vas un peu plus vite que le violon.

Quant à moi, je vais à ma vitesse  pour tenter d'expliquer à de jeunes lycéens ce modèle inhabituel de plan affine avec comme but lointain vraiment très lointain d'exhiber son complété projectif

Ceci dit puisque tu as dévoilé la mèche, tu peux continuer sur ta lancée.

Les "points" et les "droites" de $\mathcal E$ se visualisent comme certaines droites ou points de $\mathbb R^2$.

On devine qu'il y a de la polarité là-dessous.

Peux-tu nous exhiber cette polarité sur la figure?

Amitiés

pappus

gai requin

$\vec{\mathcal E}=\{\vec D(\alpha,\beta):(x,y,z)\mapsto\alpha x+\beta z\}$ avec $D(a,b)+\vec D(\alpha,\beta)=D(a+\alpha,b+\beta)$.

Cela confère à $\mathcal E$ une structure d’espace affine de dimension $2$.

pappus

Merci gai requin.

En disant qu'on fait un transport de structure de $\mathbb R^2$ sur $\mathcal E$ via la bijection $D$, on a déjà tout dit.

N'énervons pas certains avec le fléchi-flécha!

Peux-tu exhiber la polarité que je suggère?

Amitiés

pappus

GaBuZoMeu

Bonjour,

Pour faire plaisir à Pappus : https://www.geogebra.org/m/zdxedqjk

RHOM

Salut à tous 

Les points de $\mathbb { E}$ sont donc les droites réelles  non  parallèles à l'axes des ordonnées de $\mathbb{R} ^2$

alors que ses droites sont les points du plan $\mathbb{ R}^2$ complété.

deux de ses droites sont parallèles s' elles n'ont aucun point commun de $\mathbb{ E}$ ie deux  points réelles qui ne se trouve   pas  dans  une droite non parallèle à l'axe des ordonnées ou simplement se trouvant dans une droite verticale.

Soit A,B deux points de   $\mathbb{ E}$ construisant leur milieu.

pour se faire construisons  un parallélogramme $ACBD$

prenons $C$   point non aligné avec $A$ et $B$ (i.e. les droites réelles $A,B$ et $C$ ne sont pas concourante au sens projectif)

nous avons donc les droites  $AC$ et  $BD $ sont parallèles  (i.e. les points réelles $AC$ et $BD$ se trouvent sur la même verticale)  ainsi que $ BC$ et $AD$  une fois le parallélogramme  construit  on trace les droites $AB ,CD$ (i.e. les deux points réels $ A \cap B  ,C \cap D$)

la droite réelle  passant par les points réelles $AB,CD$ qui est un point de $\mathbb{ E}$      est le  milieu des point $A$ et $B$ de $\mathbb{ E}$

P.S. je n ai laissé que l'axe des ordonnées visible

cordialement

RH HAS

pappus

Bonjour RHOM.

Tu dis que les "droites" de $\mathcal E$ se visualisent comme les points de $\mathbb R^2$ complété (projectivement).

Ce n'est pas tout à fait vrai. Tu en mets trop de ces points! Il en manque à l'appel!

Donc on sait construire le milieu de deux points.

Les figures commencent à venir. Merci RHOM

Peut-on les faire tracer par des élèves de quatrième?

Je demande à voir!

Maintenant il ne devrait plus être trop difficile de tracer la configuration du centre de gravité dans $\mathcal E$.

Amicalement

pappus

pappus

Merci GaBuZoMeu

C'est exact.

La droite $D(a,b)$ est la polaire du point $(a, -b)$ par rapport à la parabole d'équation $y=\dfrac{x^2}2$ comme on peut le voir sur ma figure.

Amitiés

pappus

RHOM

On est dans un plan  alors il devrait  y avoir pour tout paire de points de $\mathbb {E}$ une droite "passant" par eux 

mais deux droites réelles qui ont la même direction (hormis la verticale)  sont des points de $\mathbb{ E}$ ce qui  nécessite  d' inclure le point à l'infini de cette direction comme droite dans $\mathbb{ E}.$..

Foys

On a envie que le complété projectif de $E$ soit l'image de la fonction $\Phi$ définie ci-dessous.

Pour tout $v := (v_0, v_1, v_2)\in \R^3 \backslash \{(0,0,0)\}$ on pose $\varphi (v) := \{(x,y)  \in \R^2 \mid 0 =  v_0 y - v_1 x - v_2\}$. Alors l'image de $\varphi$ est l'ensemble de toutes les droites affines de $\R^2$. De plus étant donnés $(t_0, t_1, t_2), (u_0,u_1,u_2) \in \R^3 \backslash \{(0,0,0)\}$, il existe $\lambda \in \R \backslash \{0\}$ tel que $\lambda t_i = u_i$ pour tout $i\in \{0,1,2\}$, si et seulement si $\varphi (t_0,t_1,t_2) = \varphi(u_0,u_1,u_2)$.

Ceci permet donc par passage au quotient de définir une application injective $\Phi$, définie sur $\mathbf P^3_{\R}$, de même image que $\varphi$ et telle que pour tout $s = (s_0: s_1: s_2) \in \mathbf P^3_{\R}$, $\Phi(s_0 : s_1: s_2) = \varphi(s_0, s_1, s_2)$. $\Phi$ est autrement dit une bijection de $\mathbf  P^3_{\R}$ dans l'ensemble des droites affines de $\R^2$, envoyant le plan $\{(1: a : b) \mid a,b \in \R^2 \}$ sur l'ensemble $\mathcal E$ des droites non verticales de $\R^2$.

$\R$ peut être remplacé par n'importe quel autre corps.

gai requin

$D(0,1)D(0,0)D(1,0)D(1,1)$ est un parallélogramme.

pappus

Bonjour à tous

On commence à être très calés!

Quelqu'un peut-il me tracer une famille de "droites" parallèles et une famille de "droites" concourantes de $\mathcal E$?

Amicalement

pappus

gai requin

1) Soit $d$ une droite verticale.

Alors $(\mathcal F(M)\cap\mathcal E)_{M\in d}$ est une famille de droites parallèles de $\mathcal E$.

2) Soit $d'$ une droite non verticale.
Alors $(\mathcal F(M)\cap\mathcal E)_{M\in d'}$ est une famille de droites concourantes de $\mathcal E$.

pappus

Merci gai requin

Je devine ce que tu veux dire mais qu'appelles-tu $\mathcal F$?

J'aurais préféré des figures.

Sont elles vraiment si difficiles à faire pour que des élèves de quatrième les comprennent?

Amitiés

pappus

gai requin

Le faisceau des droites passant par $M$.