Convergence d'une suite et série

fredaulycee2

Bonsoir à tous,

je dispose d'une suite $(a_n)$ telle que $$a_{n+1}=\frac{(-1)^n}{n^\alpha} \sum_{k=1}^n a_k$$ pour $n \geq 2$, $\alpha$ étant un paramètre réel strictement positif. On suppose de plus que $a_1+a_2>0$. Le but est de discuter de la convergence de la suite $(a_n)$ en fonction des valeurs du paramètre $\alpha$.

On voit aisément que si la suite converge, sa limite est nécessairement 0. De plus la relation définissant $a_n$ permet d'écrire $a_n$ sous la forme d'un produit. On en déduit que $(a_n)$ converge vers 0 si et seulement si la série de terme général $\log((\frac{n}{n+1})^\alpha+\frac{(-1)^n}{(n+1)^\alpha})$ diverge.

Or il me semble que cette série diverge quelle que soit la valeur de $\alpha$ et ce indépendamment du fait que $a_1+a_2>0$.

Cela vous semble-t-il plausible ?

Bonne soirée

F.

jandri

Je suis d'accord, cela ne dépend pas de $ a1+a2$.
On doit seulement traiter à part le cas $a1+a2=0$ car dans ce cas on ne peut pas utiliser le logarithme (mais la suite est nulle pour $n\geq3$).

fredaulycee2

Merci !