Qu'est-ce qu'une grandeur?

raoul.S

@Vassillia je ne faisais pas référence à ce qui te dérange ou pas, je pointais le passage où tu dis que Foys imposait sa passion.

Vassillia

Vu la manière dont communique Foys, moi je le ressens comme une tentative de l'imposer mais il échoue évidemment comme il n'en a absolument pas les moyens, j'ai bien dit "cherche à imposer". Factuellement, je t'accorde volontiers qu'il ne l'impose pas, heureusement !

Dom

Bon, le fil est « qu’est-ce qu’une grandeur ? ». 

Puis on lit (foys) « […] on me déteste » et ensuite on conjugue « détester » à tous les temps. Est-ce vraiment de la « détestation » ? 

Tout cela m’évoque les propos « machin appelle à la haine » dans le cadre politique. Tentons (moi le premier) de rester avec un dictionnaire enrichi et ainsi de ne pas tomber dans le manichéisme blanc/noir, haine/amour etc. 

Franchement, des gens se « détestent-ils » sur le forum ? Chacun a ses détracteurs, c’est plutôt sain ça favorise des échanges mais la « détestation », tout de même. 

hx1_210

@Vassillia j’ai donné une occasion @Foys de mettre en oeuvre ses principes.

Nous verrons bien s’il met à l’oeuvre ce qu’il prétend ou s’il déclare que la Logique de Hegel est « 100% une viellerie » sans l’avoir étudiée ou comprise.

J’attends.

Foys

@hx1_210 Je continue.

Donc au début du XXième siècle la prise de conscience brutale du fait que c'est la langue courante elle-même qui est contradictoire.

Par exemple (cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Deux-points pour cette expression peut-être méconnue)

On obtient une phrase fausse en reproduisant la citation entre guillemets ci-après une première fois sans guillemets, suivie d'un deux-points, suivie de la même citation entre guillemets, suivie d'un point final:
  «On obtient une phrase fausse en reproduisant la citation entre guillemets ci-après une première fois sans guillemets, suivie d'un deux-points, suivie de la même citation entre guillemets, suivie d'un point final».

 

Est-ce que la phrase précédente est fausse? Ah oui c'est mieux avec des mots compliqués que je vais emprunter à un auteur que tu sembles beaucoup apprécier. Est-ce que l'énoncé suivant est une contradiction?

On obtient une contradiction en reproduisant la citation entre guillemets ci-après une première fois sans guillemets, suivie d'un deux-points, suivie de la même citation entre guillemets, suivie d'un point final:
  «On obtient une contradiction en reproduisant la citation entre guillemets ci-après une première fois sans guillemets, suivie d'un deux-points, suivie de la même citation entre guillemets, suivie d'un point final».

Ah oui on remarque que le mot contradiction, substitué lui-même à "phrase fausse", peut être remplacé librement par n'importe quel groupe nominal, sans que le phénomène étrange disparaisse.

De nombreux paradoxes étaient déjà à la mode à cet époque, celui-ci est le plus simple je pense; il ne demande pas plus que la capacité de décrire un traitement de texte élémentaire qui fait des copies et met des guillemets (et l'arithmétique de Robinson suffit à ça; cf par exemple  Computability and Logic par G.Boolos, J.Burgess et F.Jeffrey, p.222).

Par contre cela entraîne une limitation méthodologique importante dans les maths: le langage mathématique est restreint (ou bien le cadre de travail employé est contradictoire en quelques dizaines de lignes avec une preuve qui quasiment est toujours la même, vu que par ce qui précède l'importation de n'importe quel adjectif dans les maths, en particulier celui de "faux", provoque un clash).

Aujourd'hui il y a plein de solutions, la plus simple et en même temps la plus expressive de toutes est la théorie des ensembles telle qu'exhibée dans Bourbaki (et ils formalisent tous les concepts de maths jusqu'au M2 voire plus).

Tu comprends bien que je ne vais pas en deux heures porter dans ce langage une encyclopédie complète. Cependant ces vieux textes de philo sont rempli d'expressions vagues et ampoulées au possible, avec parfois des définitions que l'auteur seul connaît, et de toute façon ne parlent pas de maths (le langage mathématique est prévu pour les maths et dans une moindre mesure, la physique).

Pour un exemple de site de maths entièrement formalisé (avec très bonne bibliographie gratuite en anglais au passage), on peut consulter https://us.metamath.org/

Mais par contre j'ai déjà donné pour des notions simples, des formalisations en langage mathématique de ces notions (et à chaque fois elles déclenchent des vagues d'hystéries de la part de toujours les mêmes pédagos qui veulent à tout prix que le public ne les voie pas (édité), tant cela massacrerait le mythe des maths non formalisables).

Vassillia

Foys a dit :

Mais par contre j'ai déjà donné pour des notions simples, des formalisations en langage mathématique de ces notions (et à chaque fois elles déclenchent des vagues d'hystéries de la part de toujours les mêmes pédagos qui veulent à tout prix que le public les voie, tant cela massacrerait le mythe des maths non formalisables).

Source ? Trouve un seul endroit où c'est ta proposition de formalisation qui a été critiquée, et pas ta prétention délirante que c'est ta formalisation qui devrait être enseignée.

Foys

@Vassillia personne n'impose rien à personne, on est des internautes plus ou moins anonymes qui s'envoient des messages par écran et forum interposé. Je n'ai aucun moyen de contraindre d'autres à faire ce qu'ils n'ont pas envie de faire ("On ne saurait faire boire un âne qui n'a pas soif").

Honnêtement je ne pense pas être celui qui veut imposer le plus de trucs. Il y a des gens qui vantent des systèmes politiques ayant provoqué 80 millions de morts et d'autres qui mendient auprès de la modération l'escamotage de messages qui ne leur plaisent pas. Je ne fais pas ce genre de chose et n'ai pas demandé pas qu'on les censure.

Vassillia

Donc, il n'y aura pas de source, on pourrait presque appeler cela de la diffamation si c'était nominatif. Tu n'es pas le pire, d'accord, si tu veux, maigre consolation.

hx1_210

@Foys tu ne réponds pas à la question (2)
ni à la une, ni à la trois d’ailleurs.

Ceci est une opinion, même pas un argument:

. Cependant ces vieux textes de philo sont rempli d'expressions vagues et ampoulées au possible, avec parfois des définitions que l'auteur seul connaît, et de toute façon ne parlent pas de maths (le langage mathématique est prévu pour les maths et dans une moindre mesure, la physique). 

Désolé. 

(J’ai bien noté ton attaque politique plus bas l’air de ne pas y toucher. Ne change pas de sujet).

. 

Pour ma part je t’ai démontré pourquoi la réduction de la logique de Hegel à celle du premier ordre n’était pas possible. Je t’ai même indiqué comment articuler le thm d’incomplétude de Gödel et en particulier l’axiome 1 de Peano avec la Dialectique. 

Réfute-moi. 

Tu prétends pouvoir tout démontrer avec la logique du premier ordre, fais-le, ou au moins indique moi une référence dans laquelle cette réfutation est faite.

Foys

indiqué comment articuler le thm d’incomplétude de Gödel et en particulier l’axiome 1 de Peano avec la Dialectique.

Tu as vaguement évoqué ledit résultat et ta formulation suggère très fortement que tu ne sais pas de quoi il s'agit (laisse tomber la vulgarisation philo sur ce sujet: beaucoup de philosophes motivés par la frustration y on vu à tort un élément à charge contre les maths elles-mêmes parce qu'ils ne comprennent pas ces dernières et que ça leur reste en travers de la gorge, c'est pour cela que j'ai bien pris le temps de citer des bouquins, il y a aussi dans ce but le très pédagogique -mot employé cette fois de manière laudative- Smullyan).

hx1_210

@Foys

Je t’ai donné mes arguments, j’ai bien compris par tes non réponses que tu ne les avais pas compris. Tu connais pourtant le théorème d’incomplétude de Godel mieux que moi ainsi que les axiomes de Peano. Mais connais-tu au moins les rudiments de la Dialectique ?

En l’état actuel de la discussion tu n’en a pas fait la preuve. 

Tu ne réponds toujours pas aux questions posées.

La question (2) est pourtant très simple. Tu peux y répondre par oui ou par non.

Pour la question (1) tu n’as pas montré que tu l’avais au moins comprise.
Pour la (3) tu ne l’as pas abordée du tout.

Pour l’instant tu t’es contenté de tenir des propos désobligeants à l’égard de l’ensemble des textes philosophiques. Comprends bien que quand un anonyme sur internet prétend que la Logique de Hegel c’est « 100% des vieilleries » constituées de « définition que seul l’auteur connait », personne n’est obligé de le croire sur parole. D’autant plus quand l’anonyme s’est fait fort de pouvoir démontrer ses dire à l’aide de la logique du premier ordre et qu’il n’en fait rien.

Je reste dans l’attente de tes réponses.

Vassillia

Foys a dit :
Beaucoup de philosophes motivés par la frustration y on vu à tort un élément à charge contre les maths elles-mêmes parce qu'ils ne comprennent pas ces dernières et que ça leur reste en travers de la gorge

Est-ce que ça vaut le coup que je demande des sources ou toutes les lecteurs et lectrices ont compris qui est frustré et a quelque chose en travers de la gorge ? Je ne vois pas de philosophes passer leur temps à décrier les mathématiques.

hx1_210

@Vassillia

En effet. Je fais le même constat et je vais donc arrêter cette discussion sur ce constat . 

De mon côté au moins j’aurais fait preuve de rigueur et j’aurais expliqué pourquoi une logique de la non contradiction ne peut pas répondre d’une logique de la contradiction.

Foys semble l’ignorer mais ce débat a déjà eu lieu en dehors de ce forum sous la plume de Russell par exemple. Il se trouve que ce dernier pourtant excellent logicien et fer de lance de la philosophie analytique a échoué à produire une réfutation logique formelle de la logique dialectique et cela justement en raison de la nature absolument différente de ces deux logiques. 

Pour le savoir, il faut savoir qu’il y a des recherches qui se font en dehors des mathématiques et parfois avec les mathématiques.

Pour ceux que cela intéresse, je donne une piste sur l’importance de l’axiomatique de Peano et notamment du premier axiome.

Zero est un nombre naturel. La contradiction dialectique constituée des deux premiers mots est évidente. Le développement philosophique est complexe aussi n’étant pas spécialiste, je m’abstiens donc de développer. 

verdurin

@hx1_210  J'ai connu des gens qui prétendaient bien connaître Hegel et sa dialectique, de ce genre https://www.youtube.com/watch?v=Anr2d_Tuakg

Je dois bien dire qu'ils ne m'ont jamais convaincus que cette « logique » a le moindre intérêt mathématique. Mais ils ne connaissaient guère les mathématiques.

Peut-être pourrais tu m'expliquer quel éclairage apporte la dialectique hegellienne au premier axiome de Peano ?

D'avance merci.

Foys

@hx1_210

(3) Dans l’affirmative peux-tu démontrer à l’aide de la Logique du premier ordre qu’elle n’apporte aucune contribution à la compréhension de ce qu’est un nombre?

Soit $T$ une théorie (un ensemble récursif d'axiomes)  Soit $F$ un énoncé écrit dans le langage de cette théorie (langage ensembliste s'il s'agit d'une théorie des ensembles, $0,1,\times, +$ s'il s'agit d'une théorie plus franchement arithmétique comme Peano).

Si $F$ est vrai dans toutes les structures qui satisfont les axiomes de $T$ alors $F$ est démontrable dans $T$.

(Théorème de complétude, voir https://www.irif.fr/~krivine/articles/completude.pdf)

Soit $X$ l'ensemble des énoncés "établis par la logique de Hegel" (peu  importe ce que ça veut dire). On est donc devant l'alternative suivante:

1°) dans $X$ se trouve un énoncé qui est faux dans au moins une structure où tous les axiomes de $T$ sont vrais

2°) tous les énoncés de $X$ sont vrais dans toutes les structures satisfaisant les axiomes de $T$. Mais alors, tous ces énoncés sont démontrables avec la logique classique du premier ordre à partir des axiomes de $T$.

Dans 1°) le système qui établit la validité des éléments de $X$ est non fiable et dans 2°) il est superflu.

Ca a été compris il y a maintenant 90 ans.

On continue longtemps comme ça?

umrk

Une grandeur est une propriété mesurable, il n'y a pas de doute. Le problème se complique quand on s'aperçoit que cette "propriété" peut être "émergente", et donc peut ne plus être définie en dessous d'un certain seuil (p ex la pression, la température (?), ou, comme le pense Rovelli, le temps ..). Mais bon, on vit avec ...

(Les concepts qui semblent les plus solides peuvent parfois s'évanouir : ça me fait penser à un ex collègue qui avait été stupéfait de découvrir que sur un écran, le pixel, qu'il pensait "insécable",  résultait d'une combinaison de trois points RGB, parfaitement discernables à la loupe ...).

jelobreuil

Bonsoir à tous,

@umrk mais toutes les propriétés physiques ne sont-elles pas "émergentes", au sens où tu l'entends ? Y a-t-il une grandeur qui puisse être "définie" en dessous d'un certain seuil, aussi proche du zéro que l'on veut ? J'avoue : je n'en sais rien ...

Et comme tu l'as écrit, on vit avec ...

Bien cordialement, JLB 

Foys

@hx1_210 a écrit:
Foys semble l’ignorer mais ce débat a déjà eu lieu en dehors de ce forum sous la plume de Russell par exemple. Il se trouve que ce dernier pourtant excellent logicien et fer de lance de la philosophie analytique a échoué à produire une réfutation logique formelle de la logique dialectique et cela justement en raison de la nature absolument différente de ces deux logiques.

Bertrand Russell a arrêté les maths des années avant la parution du théorème de complétude de Gödel (1929).

hx1_210

@Foys tu ne réponds toujours pas à (2). Chacun comprends aisément pourquoi.
Ce n’est pas à ton avantage.

Je te remercie pour ton explicitation du théorème de complétude. 

Tu aurais pu gagner du temps. Le principe de non contradiction est inclu dans  la logique du premier ordre. Il est incompatible avec la dialectique.
Cela fait trois fois que je te le dis. Peut être faudra-t-il une quatrième? Puis une cinquième. C’est peut-être une manière de reconstruire les entiers naturels?

Elle ne répond toujours pas à (1) ni à (3).

Je te trouve bien peu respectueux avec Russell qui est quand même le père de la théorie de la démonstration, mais je t’accorde que c’est une opinion toute personnelle.

umrk

Les sciences du vivant sont familiarisées avec la notion que le vivant se compose de domaines « emboités «  qui ont chacun leurs règles et concepts spécifiques. Pour la physique , c’est une notion plus novatrice (je pense, je serais intéressé par l'avis des forumeurs. )

verdurin

hx1_210 outre exiger des réponses de Foys aurais-tu la bienveillance d’accepter de bien vouloir éclairer un ignorant ?

J'aimerais vraiment savoir en quoi Hegel apporte quelque chose sur les axiomes de Peano.

D'avance merci.

Foys

hx1_210 a dit :

Tu aurais pu gagner du temps. Le principe de non contradiction est inclu dans  la logique du premier ordre. Il est incompatible avec la dialectique.

Je crois que tu n'as pas compris: les détails internes de ta tambouille ne jouent aucun rôle dans son comportement avec le phénomène de complétude. Seule la donnée de savoir si un énoncé est démontrable par elle compte ou non. Si on se retrouve à un moment donné ou non avec une validation à la fois d'un énoncé mathématique $E$ (pas d'un énoncé poético-philosophique comme "quelle est la différence entre un pigeon" qui se baladerait au milieu de la preuve) et de la négation de $E$ alors la "logique de Hegel" part à la poubelle direct, parce que la science n'aura pas la motivation ni l'énergie de détricoter 500 pages d'élucubrations aussi nébuleuses que possible afin de savoir si cette contradiction est la faute de la "logique de Hegel" ou bien si c'est la faute des vraies maths (et c'est le statut contradictoire de cette derniers qui compte exclusivement, les aventures de la "logique de Hegel" on s'en tape).

Je vais répondre à (2).

Non, j'ai lu 3 lignes et j'ai arrêté, ça ma gonflé en fait. Pour la raison évoquée plus haut: soit je peux faire sans, soit elle est fausse soit les deux. Si seulement c'était clairement et proprement rédigé.

Foys

Et pour Russell: je n'y peux rien, à nouveau je n'ai fait qu'évoquer des dates. Russell a changé ses centres d'intérêts comme il voulait et on ne diminue en rien son prestige en affirmant qu'à l'époque ou ça comptait pour lui et où il était actif dans les maths il aurait pu affronter ces problématiques autrement, si les éléments cruciaux avaient été découverts pour ça.

Les vrais inventeurs de la notion de démonstration formelle sont Hilbert et Frege puis plus tard pour la théorie  de la démonstration proprement dite, Hilbert à nouveau, Ackermann (1er et second "théorèmes epsilon"), Herbrand (le théorème de Herbrand est toujours utilisé en démonstration automatique) puis Gentzen ("ouh là le diable en personne" sauf que calcul des séquents et le théorème d'élimination des coupures sont devenus des instruments irremplaçables). Le système de Hilbert particulier introduit par Russell et Bernays et basé sur les connecteurs $\vee$ et $\neg$ reste agréable à utiliser (c'est celui qui est repris dans Bourbaki) mais il faut rendre à César ce qui est à César.

hx1_210

Je te remercie pour ta réponse. Chacun peut en prendre bonne note.

Je vais répondre à (2). Non, j'ai lu 3 lignes et j'ai arrêté, ça ma gonflé en fait. Pour la raison évoquée plus haut: soit je peux faire sans, soit elle est fausse soit les deux. Si seulement c'était clairement et proprement rédigé 

Thierry Poma

Même si cela n'a pas grand chose à voir avec le sujet initial, voici le point de vue de Jean-Yves Girard sur la métamathématique, ou théorie de la démonstration de 1950 à nos jours.

verdurin

hx1_210 Je n'ai toujours pas de réponse à ma question.

Je me demande si tu me méprises ou si tu es simplement incapable de justifier l’intérêt de la dialectique en mathématique.

J'ose espérer que l'hypothèse du mépris est la bonne mais j'ai peur que la seconde hypothèse soit la bonne.

hx1_210

@verdurin

je te prie de relire la fin de mon message de 18h29. Evidemment pour le comprendre il faut être un peu familier avec la dialectique de l’Etre et du Néant. Je ne compte pas faire un cours de philosophie ici, pour la bonne et simple raison que je n’ai pas le niveau pour le faire et que je préfère si le sujet t’intéresse que tu l’étudies par toi même en allant à la source.

Ce qu’il convient de retenir en première lecture, c’est que dans la logique de Hegel, la réalité est dialectique. Cela est sensé être à la portée d’un élève moyen de Terminale qui aurait écouté en cours de vieilleries philosophiques.

L’affirmation de l’existence de zéro est un joli exemple de processus dialectique. Il y en a beaucoup d’autres en mathématiques.
Cela ne peut que déplaire à Foys car il a théorisé que les transformations n’existaient pas en mathématiques, science qu’il ne peut envisager que comme une collection d’ensembles et de relations figées et classifiées.

 Je te conseille si cela t’intéresse la lecture du livre de Gaston Casanova Mathématiques et matérialisme dialectique. Cela donne un autre point de vue, j’y ai appris beaucoup de choses y compris et surtout en mathématiques.

Gaston Casanova n’est pas un rigolo et son livre et un livre de mathématiques autant que de philosophie . Il a eu une solide carrière de mathématicien. Cela ne préjuge pas de la validité de son bouquin. Mais je le dis pour tout ceux qui refusent d’ouvrir un bouquin qui ne serait pas écrit par un mathématicien en langage mathématique. Car visiblement il y en a.

Si tu veux creuser la partie philosophique tu peux lire Lukacs, ainsi qu’en langue française Gastaud qui est actuellement un spécialiste de la dialectique de la nature, ce dernier prend en compte dans sa réflexion les développements récents de la science et reponds aux objections portant sur le côté daté de la dialectique. (Comme si la métaphysique n’était pas datée d’ailleurs!)

https://editionsdelga.fr/produit/dialectique-de-la-nature/

Il est intéressant d’ailleurs que @umrk aborde la notion des seuils. Question qui est de première importance en physique.

Edit de 22h24: je découvre ton message de 22h08. De son ton agressif et irrespectueux et de sa teneur polémique je conjecture que je viens de perdre mon temps à répondre à un interlocuteur qui n’en avait rien à faire et ne me respecte pas. Je conjecture que ta réponse à la question (2) est la même que celle de Foys.

hx1_210

Merci @Thierry Poma pour ce document que je vais etudier.

verdurin

Merci hx1_210

Je retiens de ton message ce que j'avais déjà  compris de la dialectique et de Hegel. C'est vrai parce que c'est vrai ce que n'importe qui peut comprendre.
« L’affirmation de l’existence de zéro est un joli exemple de processus dialectique. » En quoi ?

Ça me rappelle Foys disant qu'il y a $2^n$ fonctions d'un ensemble à $n$ éléments dans un ensemble à 2 éléments. Avec un peu de dialectique c'est vrai.

hx1_210

@verdurin


Pour ce qui concerne ta question, je te renvoie à un cours de philo sur la dialectique. Cela demande un peut de travail, tout comme on n’apprend pas la la théorie de la mesure en une question sur un forum.

Le fait que les nombres entiers soit fondés sur le rien (zero) c’est une contradiction dialectique. Peut-être est-ce plus clair ainsi.
Désolé mais je ne suis pas professeur de philosophie, je ne peux t’aider davantage.

D’autant que la dialectique n’est pas une notion facile. 

Je t’ai fourni quelques références bibliographiques.

Héhéhé

Les nombres entiers ne sont pas "fondés sur le rien", ni sur le zéro (et tu as l'air de sous-entendre que c'est la meme chose, alors que pas du tout).

Faut vraiment ne jamais avoir étudié les mathématiques et la construction des entiers naturels pour affirmer un truc pareil.

hx1_210

@HéHéHé

Tu ne m’as pas compris. J’aurais fait un mauvais professeur de philosophie.

Je te propose de voir les choses autrement. 

L’axiomatique de Peano pose l’existence d’un élément qui n’est pas un successeur , (et que tout élément possède un successeur unique).

Elle est bien fondée sur une affirmation qui porte en elle une négation.

GG

Un commentaire que j'ai trouvé intéressant sur l'utilité de la logique de la part de quelqu'un dont il serait audacieux de soupçonner l'incompétance :

[FOM] Re: Kids Should be Taught to Think Logically

"The proposition of the subject line goes at least as far back as Augustus De Morgan in the 1840s.  While De Morgan was teaching geometry at London University, he developed the feeling that his students needed logic as well as geometry to fully appreciate Euclid.

[...]

De Morgan was good at many things besides mathematics, and was greatly appreciated by his students.  However on this particular point about the benefit of teaching students to think logically, I would advocate instead that they be taught rhetoric.  This benefits people in their roles of both student and teacher as follows.

As student, if you understand rhetoric you are better equipped to tell when it is being used improperly on you.  This requires a broader understanding of rhetoric than merely its properly employed form, namely its tricks.

And as teacher, you are better equipped to pass along that which you have learned, both in school and from the wider world, and also to point out where others have been misleading you with its tricks.

Obviously there are other things, such as knowing today's closest approximations to the Oracle at Delphi.  However my position is that rhetoric is as close to logic as students should need to get in this world.  I don't believe that logic helps rigor in mathematics or any other discipline." (c'est moi qui ai accentué)

 Vaughan Pratt

Vaughan Pratt (born April 12, 1944) is a Professor Emeritus at Stanford University, who was an early pioneer in the field of computer science. Since 1969, Pratt has made several contributions to foundational areas such as search algorithms, sorting algorithms, and primality testing. More recently, his research has focused on formal modeling of concurrent systems and Chu spaces.

Foys

@hx1_210 a écrit:
L’affirmation de l’existence de zéro est un joli exemple de processus dialectique. Il y en a beaucoup d’autres en mathématiques.
Cela ne peut que déplaire à Foys car il a théorisé que les transformations n’existaient pas en mathématiques, science qu’il ne peut envisager que comme une collection d’ensembles et de relations figées et classifiées.

Rien n'est plus simple que de représenter des notions dynamiques en théorie des ensembles.

On part d'un ensemble ordonné $(T,\leq)$, on introduit deux familles $(M_t)_{t \in T}$ et $(\mu_{p,q})_{\{(p,q)\in T^2 \mid p \leq q \}}$, telles que pour tous $a,b\in T$ telles que $a \leq b$, $\mu_{a,b}$ est une fonction de $M_a$ dans $M_b$ et enfin, pour tous $a,b,c$ tels que $a \leq b$ et $b \leq c$, on a $\mu_{b,c} \circ \mu_{a,b} = \mu_{a,c}$.

Intuitivement $T$ représente une notion de temps (non linéaire, on peut avoir $p,q,r\in T$ tels que $p\leq q$, $q \leq r$, et aucun $s\in T$ tel que $q\leq s$ et $r \leq s$ autrement dit $p$ peut avoir "plusieurs avenirs" différents).

Etant donné  $t\in T$, $M_t$ est un certain monde à la date $t$. Etant donnés $a,b\in T$ tel que $a \leq b$ et un certain $x$ dans un monde à la date $a$ (i.e. $x\in M_a$), $\mu_{a,b}(x)$ et juste ce qu'est devenu $x$ à la date $b$.

Voilà, ce n'est qu'une des innombrables manières de parler d'un monde qui "bouge" en maths (il est important qu'il y en ait plusieurs différentes afin de ne pas s'enfermer dans un cadre qui deviendrait à terme insuffisant).

nicolas.patrois

Thierry Poma a dit :

Même si cela n'a pas grand chose à voir avec le sujet initial, voici le point de vue de Jean-Yves Girard sur la métamathématique, ou théorie de la démonstration de 1950 à nos jours.

Mais arrêtez de poster des documents intéressants !

Déjà que je n’ai pas encore lu le livre de Martial ni celui sur les ensembles de nombres…

À propos de l’introduction aux catégories (Mazza), je peux poser des questions ici ou dans un autre fil créé exprès ?

gerard0

Bonjour Nicolas.

Le sujet de ce fil est "Qu'est-ce qu'une grandeur ?", dans le forum "Collège lycée" donc il est logique de créer un fil en "Algèbre".

Cordialement.

Foys

Le problème est que quand il ne produit pas de textes techniques, Jean-Yves Girard écrit des pamphlets où il insulte tout le monde. Mais sa production mathématique est très intéressante.

Il y a par exemple ce fantastique article pédagogique où l'auteur présente son invention, la logique linéaire: https://girard.perso.math.cnrs.fr/Synsem.pdf (dommage que ce soit en anglais).

Thierry Poma

@nicolas.patrois : bonjour.

À propos de l’introduction aux catégories (Mazza), je peux poser des questions ici ou dans un autre fil créé exprès ?

Il faut et il suffit de créer un message dans Catégories et structures. Je suis heureux de te voir examiner tous ces thèmes ; c'est enrichissant.

Mathurin

Bonjour,

pour revenir au sujet du fil :

La notion de « grandeur », pour moi, n’appartient pas au champ des mathématiques mais à celui de la représentation du monde physique. C’est donc une notion qui est rigoureusement fausse, mais peut s’avérer utile au moins dans un premier temps.
Attention à ne pas la confondre avec la notion de « dimension ». Presque tout a une dimension sauf quelquefois les multiplicateurs et les diviseurs. (Si je dis trois pommes » la dimension c’est « pommes ») La dimension s’exprime via une « unité ». Les angles ont une dimension c’est le « tour », l’unité de mesure qui est le degré ou le radian rend cela un peu caché, ce qui fait que l’usage est pris de ne pas noter l’unité radian.

Parmi les choses qui ont une dimension, la grandeur, elle, s’oppose aux « quantités ». La grandeur c’est quelque chose qui se mesure, la quantité c’est quelque chose qui se dénombre. C’est la classique opposition entre les réels (la puissance du continu) et les entiers (le dénombrable, y compris les fractions).

En ce sens l’argent est une quantité (de centimes) pas une grandeur. (Même si on peut dans des calculs la traiter comme une grandeur (avec des taux de conversion qui vont jusqu’à 5 chiffres après la virgule)).

Une grandeur peut être extensive (il y a additivité) ou intensive (il y a moyennisation). 10°C plus 5°C ne font pas 15°C.

Ce modèle nous le savons, nous, n’est pas exact physiquement et mathématiquement il y a indifférence entre calculer sur les quantités et sur les grandeurs. Mais pour l’enfant c’est un premier pas utile dans sa modélisation du monde sensible. C’est donc à enseigner au cours de « mathématiques » à l’école.

jelobreuil

@Mathurin

Merci de cette mise au point avec laquelle je suis entièrement d'accord !

Bien cordialement, JLB

Foys

Soit $(M,+)$ un monoïde commutatif dont le neutre est noté $0_M$ et soit $\leq$ une relation d'ordre totale sur $M$ telle que (1) $0_M = \min_{\leq} M$, (2) pour tous $x,y,z \in M$ tels que $x\leq y$ on a aussi $x+z \leq y + z$ (édité) et enfin (3) pour tous $x,y\in M$ tels que $x>0$, il existe $n\in \N$ tel que $nx > y$ (propriété d'Archimède).

Alors, pour tout $u\in M$ tel que $u>0$, il existe une unique application $f: M \to \R_+$ croissante telle que $f(u)=1$ et $f(x+y) = f(x)+f(y)$.

$M$ est un "ensemble de grandeurs".

$f(x)$ est donnée pour tout $x\in M$ par $ \inf \left \{ \frac a b \mid a\in \N, b \in \N^* \text{ et } bx < au \right \}$.

Dom

« L’argent » n’est pas une grandeur, mais « le prix de machin » en est une selon moi.  

Thierry Poma

@Foys : bonjour.

Soit $(M,+)$ un monoïde commutatif dont le neutre est noté $0_M$ et soit $\leq$ une relation d'ordre totale sur $M$ telle que (1) $0_M = \min_{\leq} M$, (2) pour tous $x,y,z \in M$ tels que $x\leq y$ on a aussi $x+z = y + z$ et enfin (3) pour tous $x,y\in M$ tels que $x>0$, il existe $n\in \N$ tel que $nx > y$ (propriété d'Archimède).

Ne serait-ce pas plutôt $x+z\leqslant{}y+z$ (compatibilité à droite (et à gauche par commutativité) de $+$ avec $\leqslant$) ?

lourrran

Si j'ai des pommes, si je dis que j'ai 10 pommes, ce n'est pas une grandeur, et si je dis que j'ai des pommes pour un poids de 2kg345, alors c'est une grandeur ?
Je ne suis pas fana de cette distinction entre ce qui est dénombrable et ce qui ne l'est pas.

Vassillia

Le problème quand on se confronte à la réalité, c'est la précision de la mesure. De fait, cela force toutes les variables à devenir dénombrables donc je ne suis pas fan non plus.

Argument supplémentaire : il n'y a pas unanimité (euphémisme) dans la manière dont sont définis les types de variable dans les cours de stats. Par exemple, l'âge d'un individu : discret ou continue ? Théoriquement on pourrait répondre continue, une unité de temps est toujours sécable, mais comme en pratique, on dénombre les anniversaires écoulés, finalement discrète.

Cela ne me parait pas très sensé de lui faire changer de statut entre grandeur et dimension mais comme je ne suis pas sûre que ce soit bien grave de ne pas savoir définir ni une grandeur ni une dimension, tant pis.

Foys

Bien sûr @Thierry Poma , merci pour le signalement.

Mathurin

@lourrran , bien sur c'est un modèle pour le primaire. Nous, nous savons que l'on peut facilement voir une grandeur comme une quantité et une quantité comme une grandeur. L'opposition peut donc être dépassée. Vassillia  a raison aussi . Je décrivais juste le sens historique et, à mon sens pédagogiquement utile dans les petites classes quand on n'a pas encore atteint un degré d'abstraction suffisant.

Compter et mesurer sont deux activités distinctes à l'école, même si pour mesurer (longueurs, aires, volumes, masses, durées températures et tous leurs composés), on compte en fait des graduations d'une précision donnée, la réalité sous-jacente est perçue comme différente.

De même, traditionnellement on distingue dans les petites classes le "multiplicateur" (qui peut être le "nombre de fois") du "multiplicande", alors que nous, nous savons qu'on peut les permuter et que leur distinction est inutile.

Il s'agit seulement d'une interprétation concrète des calculs. Cela n'a pas de justification mathématique réelle (cela semble inutilement compliqué vu nos modèles actuels des nombres).

Il faut accepter que les mathématiques sont introduites, au départ, comme un modèle du monde sensible. On a donc besoin d'une traduction de ce monde sensible, qui en fait ne relève pas réellement des mathématiques, mais plutôt d'une sorte de "physique théorique élémentaire". Et on peut avoir plusieurs traductions successives à mesure que l'on comprend mieux le monde et la puissance des mathématiques.

C'est du moins comme cela que je vous propose de voir les choses...

jelobreuil

@Mathurin, je souscris entièrement à ton dernier message.

pldx1

Bonjour.

The proof of the pudding is in the eating.  Je propose donc de comparer les différents puddings qui nous sont proposés en regardant ce que cela donne dans une situation particulière.

Soit thmx l'affirmation selon laquelle "les conjugués intrinsèques de trois points d'une cubique de vanRees sont alignés si et seulement si les points initiaux sont cocycliques avec le foyer singulier de la cubique". Dans une théorie raisonnable,  ce théorème est tout à fait vrai, puisque j'en ai une démonstration sous le coude. Mais il pourrait néanmoins être intéressant de voir  cd que @Foys et @hx1_210 ont à nous dire à ce sujet.

Je précise que l'article de vanRees date de 1829. Et donc Russel, Hilbert, Herbrand et même Maurice Thorez ont disposé de tout le temps nécessaire pour aborder le sujet.

Cordialement, Pierre.

hx1_210

Quel rapport avec la discussion ?