Qu'est-ce qu'une grandeur?

stfj

Bonjour,

Je ne suis ni collégien ni lycéen mais je n'ai jamais compris ce qu'est censée être une "grandeur". Et les documents eduscol ne m'aident pas. Je ne les comprends pas : on y mélange dans un espèce d'inventaire à la Prévert "masse", "contenance", "durée", "monnaie", "aire", "volume", "angle", "capacité de stockage de données en technologie", "température", "densité"...

Puis je cite :

___________

"La compréhension des énoncés de problèmes dans lesquels apparaissent des
grandeurs et l’expression des solutions requièrent en effet le plus souvent l’utilisation de la langue française et la maitrise d’un vocabulaire mathématique adapté : masse, périmètre,aire, unité, etc., Ces situations mobilisent la compréhension du sens de la grandeur en présence, mais aussi du fait qu’une même grandeur peut être désignée par des mots différents, porteurs d’un sens plus précis. "

____________

Ouh là là. Bientôt l'euro sera une notion mathématique commandée par nos "décideurs" !

C'est de la novlangue? Où en mathématique au collège et même au lycée n'utilise-t-on pas la langue française? Peut-être en probas pour définir correctement une proba $p$ sur un univers $U$ par $p:\mathcal P(U)\to [0,1]$?[je sais, ça c'est un coup bas ]

Réussir à pondre un article de 10 pages sur du vide relève de l'exploit. Ou alors je suis complètement idiot.

A l'aide !...

Cordialement, Stéphane.

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* p.5 et 6 : je vous recommande la distinction éminemment utile d'un point de vue mathématique supérieurement supérieur entre "quotition" et "partition". Moi qui ne lis jamais ces textes,  j'ai l'impression de me réveiller en plein cauchemar.

* La note en bas de p.4 est également fort utile : "Ce n’est pas le cas pour d’autres grandeurs, par exemple pour la température : si l’on met ensemble 1 L d’eau
à 20°C et 1 L d’eau à 30°C, on n’obtient pas 2 L d’eau à 50°C."

Soc

Je ne suis pas bien sûr qu'il y ait de définition propre, m'enfin à vue de nez je dirais: "Tous les trucs que tu quantifies à l'aide d'une unité".

stfj

Cela a l'air de tenir la route. $10,53 euros =10\times 1 euro +53 centimes$. Pas besoin de parler de "grandeur" en fait. On continue à faire comme toujours. La notion de grandeur sert à payer des gens à écrire des articles de 10 pages inutiles plutôt que de venir enseigner s'ils sont si forts. Il est vrai que la notion de quotition et de partition(p5,6 du document eduscol) sont essentielles.

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"Les compétences, c'est savoir tourner des boulons. Les connaissances, c'est savoir pourquoi on les tourne."

jelobreuil

Bonjour Stéphane,

D'accord avec Soc, je dirais qu'une grandeur, c'est "une certaine propriété mesurable" d'un objet (sa longueur, ses indices CIE de couleur, sa température ...) ou d'un processus (vitesse d'un mouvement, réchauffement de la banquise ...).

Bien cordialement, JLB 

nicolas.patrois

Euclide dirait que c’est tout ce que tu peux rapporter à une mesure unité.

Christophe Chalons disait que c’est un corps (où on peut ajouter des choux et des carottes) mais je n’étais pas d’accord, Foys a modélisé ça dans un autre fil mais je ne sais plus où.

Aujourd’hui, on a un peu le même point de vue qu’Euclide mais on utilise les nombres réels positifs ou nuls au lieu des entiers et parfois quelques irrationnels, sauf qu’on accepte bien plus que lui les produits et quotients d’unités qui ne sont pas de même nature.

La notion de grandeur est liée au calcul des unités du système international. On pourra utiliser le logiciel GNU units et lire cette page.

stfj

La définition que vous me proposez, @jelobreuil et @Soc me convient parfaitement.

J'ai lu le passage sur la longueur du cercle, qui invite à donner du sens à la formule $$3,14*D$$mais en se gardant bien de dire comment.

 Tu trouves ça dans plein de manuels de collègues depuis au moins les années 1970, tu fais manipuler un cylindre aux élèves, par exemple un rouleau de papier hygiénique et tu leur fais dérouler le papier autour du cylindre. Une étude statistique que les élèves adorent leur montre alors que si on prend comme unité le diamètre $D$ facile à mesurer, autrement dit si on divise la longueur obtenue  par $D$, les élèves peuvent obtenir des résultats loin de $3.14$ mais en moyenne c'est souvent proche. Une année, gros coup de bol, on avait obtenu $$3.1416$$

PetitLutinMalicieux

Bonjour

@stfj : As-tu commencé par lire Wikipedia (clic ici) ? Qu'en penses-tu ?

stfj

Je suis wikipédien depuis des années et contribue activement presque exclusivement aux articles de mathématiques. Ce ne sont donc pas des références puisque n'importe qui peut y écrire mais je vais jeter un coup d'oeil. Je n'ai jamais accordé le moindre intérêt à la "notion" de grandeur et ce qui me désole, c'est qu'en m'y attardant aujourd'hui je me rends compte que j'ai eu bien raison. Je savais cela à 10 ans. Pas besoin de documents d'accompagnements, même pour les difficultés des élèves que je connais bien comme tous mes collègues ou alors ils connaîtront vite. Peut-être que la notion de quotition et de partition les aidera

PetitLutinMalicieux

L'honnêteté intellectuelle m'oblige à dire que j'avais mis initialement dans mon message, comme contre-exemple, le nombre d'Avogadro en grandeur sans unité, jusqu'à ce que mon œil s'arrête sur "$mol^{-1}$". Mais c'est juste un nombre. Comme quoi, on peut toujours inventer des unités, et donc des grandeurs. Que nous reste-t-il comme nombre connu sans unité ? $\pi$ ?

jean-éric

Bonjour,

Un coup d'oeil dans le livre de Daniel Perrin Mathématiques d'école ellipses pages 135 à 141 me semble tout à fait pertinent. 

Il y défini pages 136-137 un système d'axiomes pour la notion de grandeur, puis fait le lien entre ensemble de grandeurs $G$ d'un type donné, et mesure page 138, en se donnant une unité $u\in G$ une grandeur non nulle.

Il renvoie d'ailleurs au tome de Topologie générale chapitre V paragraphe 2 de Bourbaki.

Jean-éric.

stfj

No comment.

stfj

Oh et puis si. Commentons. Est-ce une blague, @jean-éric ?

jelobreuil

@PetitLutinMalicieux, le nombre d'Avogadro est bien la mesure d'une grandeur, à savoir le nombre d'entités élémentaires dans une quantité arbitraire de matière, définie comme étant la mole ...

Je reconnais que c'est un peu comme un serpent qui se mord la queue, mais c'est quelque chose dont on a besoin en chimie pour conserver l'homogénéité dimensionnelle de certaines formules.

Bien cordialement, JLB

PetitLutinMalicieux

2 est la grandeur scalaire de mes jambes, que je prends à mon cou, pour conserver ma face. Elle s'exprime en $PLM^{-1}$.

Congru

Soit $A$ un ensemble, je dirais qu'une grandeur liée à $A$ est un ensemble $E$ de fonctions de domaine $A$ et de but $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ telle que $E$ est une $\mathbb R$-droite ou $\mathbb C $-droite.

Votre problème ici est celui de formalisation d'une notion intuitive.

Thierry Poma

As-tu examiné ceci ?

Thierry Poma

Voici un court extrait des Eléments d'histoire des mathématiques de Bourbaki, à la rubrique Nombres réels :

Thierry Poma

Voici le point de vue chevallardien : premier document didactique, deuxième document didactique. Ce deuxième document est intéressant (Cf. en particulier Axiomatiser la notion d’espèce de grandeurs où la notion de mesure n'y est pas étrangère).

stfj

@Thierry Poma: bonjour. Se fourvoyer dans une "théorie" des grandeurs me paraît ridicule. Et chercher une justification à ces errances en y associant des grands noms tels que Bourbaki, Hilbert et puis qui d'autres encore, encore plus ridicule. Pour un mathématicien, un espace vectoriel, c'est $\mathbb R^2$ légèrement modifié; pour un élève aussi ça devrait l'être. Pour un mathématicien, une grandeur, c'est ce que tu faisais quand t'avais 9 ans; pour un élève a fortiori aussi. Mais j'ai peut-être tort : on peut essayer avec le préordre total $\prec $; ça ne vole pas très haut, du point de vue du contenu mathématique et je suis prêt à m'y pencher si on veut me convaincre que j'ai tort. Cordialement, Stéphane.

Thierry Poma

As-tu lu ceci ? Sinon, je ne me mêle plus de tes messages. Au revoir !

stfj

J'ai parcouru rapidement le document de Chevallard. Je connais et j'admire le travail d'Anna et Elie Cartan qui est cité, et dont je peux juger de la pertinence. On peut peut-être s'entendre sur les objectifs des ressources Eduscol mais j'ai beaucoup d'a priori négatifs à mettre de côté. On peut par contre discuter d'un point de vue strictement mathématique des notions en question. Par exemple, pour les aires, il est raisonnable de considérer une application $\mu: \mathbb B\to \mathbb R^+$, d' une partie $\mathbb B$ de $P(\mathbb R^2)$ vers $\mathbb R^+$. C'est ainsi que je l'envisage même si les élèves n'ont pas à le savoir.

Dom

Une grandeur n’est pas une notion mathématique de mon point de vue. Donc pas de problème 😁

stfj

@Dom : voyons ce qu'en dit Chevallard. $X$ un ensemble, $\mu:X\to \mathbb R^+$. On définit une relation $\sim_{\mu}$ sur $ X$  par $(x,y)\in \sim_{\mu} \iff \mu(x)=\mu(y)$. C'est évidemment une relation d'équivalence : on note $\widetilde{x}\doteq \{y ∈ X / μ(y) = μ(x)\}$ et il appelle $X/\sim_{\mu}$ "une espèce de grandeur". Un élément $g ∈ G$ est une $μ-$grandeur sur $X$. Si $g ∈ G$, le nombre $μ(x)$ est indépendant de l’objet $x$ choisi dans $g$ : on
l’appelle la mesure de la μ-grandeur g et on le note μ(g). Il est clair que l’application de G

dans $\mathbb R^+$ ainsi définie est injective.

Oui en effet c'est facile. Mais je doute que cela intéresse quelque mathématicien que ce soit. On peut à la rigueur refourguer cela à l'EN en espérant qu'aucun mathématicien ne tombe là-dessus.

Rigolons un peu : soit $X:=\mathbb B$, l'ensemble des boréliens de $\mathbb R^2$ et $\mu:=aire$. La grandeur-aire "5 unités d'aires" est l'ensemble des boréliens $B\in \mathbb B$ tels que $aire(B)=5$. Soit $C$ un autre borélien de la grandeur-aire "5 unités d'aire". wow ! On a aussi $aire(C)=5$ Eblouissement mathématique auquel j'aspirai depuis tant d'années ! Du pipeau intégral. N'est-ce pas ?

L'escroquerie intellectuelle consiste alors à faire disparaître cette partie du document de Chevallard qui est creuse mais a au moins le mérite d'assumer sa creusitude du document eduscol, laissant par là-même un flou artistique donnant l'illusion de la profondeur de la pensée. C'est à vomir. N'est-ce pas?

Faut pas demander à un matheux d'analyser certains textes mathématiques, ça peut faire très mal. Ou  alors je me trompe mais faudra me montrer où. Peut-être la suite du document de Chevallard recèle-t-elle des trésors mathématiques utiles aux enseignants. Libre à d'autres de s'en assurer. Anna Cartan doit se retourner dans sa tombe.

plsryef

@stfj comment définis-tu la proportionnalité ? Avec une phrase , et dans ce cas, laquelle ? ou avec des exemples ?

stfj

@plsryef : je commence par parler des doubles, des paires , peu importe le nom, ce qu'ils ont vu en CP-CE1 1+1=2 ,2+2=4,3+3=6,... Comme beaucoup des élèves qu'on me confie ne les connaissent pas tous, ce n'est pas du luxe. (j'avais une élève en 4è qui n'avait pas le concept de la multiplication , pour laquelle $2\times 3=5$ et $3\times 3$ est un mystère insondable) Pourquoi ?

plsryef

"Le temps de cuisson est proportionnel à la masse.

si je fais cuire deux fois plus longtemps j'en ai deux fois plus".

Le raisonnement se tient complètement en termes de proportionnalité.

Lorsque j'ai commencé avec une classe de 6ème il y a avait des élèves qui savaient pas doubler un nombre entier... j'ai mal réagi (...) et j'en paie encore aujourd'hui le prix. Pour moi c'était inadmissible en entrée de 6ème, d'autant plus que la table de 2 est connue depuis un moment... bref.

stfj

Dans ce document eduscol, p8, il est question d'un exercice facile de brevet que 15% des élèves ont réussi. En collège, le niveau est faible, c'est un fait. 15%, c'est pas mal. Le document dit qu'en CM2 , c'est mieux . Traduction : c'est de la faute des enseignants qui feraient bien d'enseigner eduscolement et non du fait que les classes sont surchargées à 32 parfois comme au collège Carnot à Paris, que les horaires-plancher sont mis en place, qu'on interdit les redoublements, qu'on ne rattrappe pas les cours manqués du fait du COVID... 15%, c'est presque excellent. A la fin des années 1990, 13% de la population française avait un niveau bac+2 pas forcément avec un diplôme validant deux années après le baccalauréat, juste deux années effectuées après le bac. 15%, ça va. C'est presque une situation de proportionnalité de grandeurs .

___________________

Analysons la situation : que propose eduscol pour "aider" les profs à améliorer les choses en travaillant plus et en étant payés moins ? "Mathématiser la notion de grandeur" parce que les profs, ils sont trop bêtes, ils n'ont pas compris ce qu'est une grandeur que moi je connaissais à 9 ans. Ce qui est mathématiquement du pipeau (voir ci-dessus). Traduction : ce document eduscol est un outil pour tromper le gogo. N'est-ce pas ?

Soc

Ton médecin ne t'a pas dit qu'eduscol c'est mauvais pour la santé?

plsryef

Pour population qui se compte en million pour un pourcentage qui se compte en dizaine, la loi des grands nombres est une histoire de proportionnalité (si la population est homogène, ce qui n'est pas le cas, et au bon plaisir de ceux qui décrient l'idée de groupe de niveau, oui c'est toujours homogène sur un groupe de plus  de 30 mais c'est un autre sujet), lorsque je refais mes cours sans trop réfléchir eduscol arrive tard dans les moteurs de recherche, et je le comprends tout à fait : si il y a avait un cours de référence les enseignants recevrait de la part des parents: "vous vous êtes écarté du sujet, ou vous n'en avez pas fait assez" si l'on récupère un cours bien fait on aura droit à "vous n'avez pas assez travaillé" si on définit trop rigoureusement ou techniquement "je ne comprends pas le cours---> le cours est mauvais" les parents se permettent tout même si ils ne comprennent pas la différence entre un produit en croix ou une règle de trois, imaginons que les inspecteurs fassent un document sur eduscol qui explique la différence entre les deux, et qu'on présente cela en cours... oula la catastrophe: "vous leur embrouillez la tête" je me suis déjà fait "enguilander" sur le fait de dire que l'unité est très importante, et bon c'est comme ça, c'est la vie. Eduscol est destiné aux enseignants et parfois il faut mettre des mots sur le/les concepts, le verbiage est inutile au enfants, mais potentiellement utile à ceux qui fouillent. Tu as recherché: tu as trouvé l'habillage abstrait qui ne sert qu'une fois: car après tout ce qui compte c'est la méthode qui marche, plus pour avoir de bonnes notes que pour "comprendre" alors qu'il s'agit de s'habituer. . Tout ça est très amusant et ironique, je pense aux angles et aux segments, quand j'étais petit, dans le manuel, toute mesure d'angle était précédée par "mes" pour distinguer l'angle et sa mesure, aujourd'hui

$\hat{ABC}=54°$ une notation implicite qui ne choque personne, mais il faut faire avec et combattre les implicites, ou ce qui n'est pas explicite, pourtant je sanctionne $[AB]=4cm$, les mesures d'angles et de segment ne sont pas logées au même endroit, et la rigueur c'est mal (d'ailleurs je fais avec et donne les points quand il y a un minimum de compréhension(Pythagore te donne les points de la question...), mais je sais que j'ai tort en le faisant. j'ai eu la chance de pouvoir expliquer à certains endroits que [AB]=[CD] est équivalent à ((A=C et B=D) ou (A=D et B=C)) et qu'un triangle équilatéral est aussi un triangle isocèle, mais il y a tant de parents qui savent. La population n'est pas homogène, ce qui décridibilise la notion de taux de réussite à un examen, mais tant que ça ne gêne personne: tout va bien.

là j'ai été excessif.

Dom

« La proportionnalité », je ne sais pas bien.
« Un tableau de proportionnalité [à deux lignes] », c’est facile (il existe plusieurs définitions et certaines sont non équivalentes). 

Remarque : la proportionnalité est un sujet facile et très difficile. L’élève scolaire s’y ennuie, il sait tout faire. MAIS la difficulté tient de la culture générale, de la culture sociale pour reconnaître sans qu’on lui dise si une situation se modélise avec de la proportionnalité ou pas. 

Exercice amusant :  
Proposer une courbe chaotique (pulsations cardiaques, etc.) dans une repère. 

Tracer une droite passant par l’origine qui coupe deux ou trois la courbe. 

Proposer le tableau de valeurs qui NE correspond QU’aux points d’intersection de la droite avec la courbe. Puis écrire le blabla divertissant « on a relevé les pulsations… patati… patata… dans le repère ci-dessous (doc1). Le tableau de valeurs… patati… patata… (doc2) ».
Questions : 

1) s’agit-il d’un tableau de proportionnalité ?
2) s’agit-il d’une situation de proportionnalité ?
😏

Au sujet des grandeurs : à l’école et au collège, on en parle beaucoup (un périmètre n’a rien à voir avec une aire, voyons !). Puis dans le supérieur (le lycée étant lié aux profs… sur cette question, il n’y a pas vraiment une règle commune au lycée), une longueur, c’est un réel, et une aire, c’est un réel, et un volume, c’est un réel. Éventuellement, un gars rentre par la fenêtre et annonce « non, non, non, l’intégrale donne l’aire sous la courbe en unité d’aire », et ça rassure une partie de l’auditoire. Dans ce cas je ne dis rien, en général le gars ne reste pas bien longtemps et j’attends qu’il ressorte par la grande porte. 

Soyons simple : on ne définit pas ce qu’est une grandeur, on donne des exemples puisqu’on est au collège. 

nicolas.patrois

Soit n un entier naturel non nul.

Je modélise $\mathbb{G}_n$ (les grandeurs à n dimensions) comme les couples d’éléments de $(\mathbb{R},\mathbb{R}^n)$ (au diable la positivité, il en existe des négatives comme la charge électrique ou le courant électrique). On peut utiliser $\mathbb{Q}^n$ ou $\mathbb{Z}^n$ modulo quelques aménagements avec les puissances.

Si $g\in \mathbb{G}_n$, $v(g)$ est la valeur réelle (le premier nombre) et $u(g)$ est l’unité (le n-uplet).

Si $g,h \in \mathbb{G}_n$, $a\in\mathbb{R}$, $b\in \mathbb{Z}^+$, on définit les opérations suivantes, pas toujours possibles :

Si $u(g)=u(h)$, $g+h=(v(g)+v(h),u(g))$ (idem pour la soustraction).

Si $u(g)≠u(h)$, $g+h$ n’est pas défini.

$g×h=(v(g)×v(h),u(g)+u(h))$.

Si $v(h)≠0$, $g÷h=(v(g)÷v(h),u(g)−u-h))$.

Si $v(h)=0$, $g÷h$ n’est pas défini.

$a.g=(a×v(g),u(g)$.

$g^b=(v(g)^b,b*u(g)$.

Je pense qu’avec ça, on peut le coder tel quel dans une classe en Python.

Cyrano

@Foys avait fait un post explicatif à l'époque pour expliquer qu'une grandeur était grosso modo un nombre réel positif.

L'approche de Chevallard est essentiellement la même avec une axiomatisation un peu différente. Il pousse juste le bouchon beaucoup plus loin dans son second article pour traiter intégralement l'algèbre des grandeurs. De cette façon on peut parfaitement justifier mathématiquement des écritures comme $$\sqrt{\frac{4 m^2}{9s^2}} = \frac{2m}{3s} = \frac{2}{3}m\cdot s^{-1}.$$

Son objectif à l'époque était de comprendre pourquoi les professeurs français avaient tendance à faire disparaitre les unités des calculs (pour les remettre à la dernière étape) alors que les anglo-saxons faisaient tous les calculs en gardant les unités. Il a remarqué que de nombreux professeurs de mathématiques français considéraient que le calcul "avec unités" était peu rigoureux voire carrément non mathématique. Il a donc partagé une formalisation des grandeurs au sein des mathématiques classiques.

nicolas.patrois

Et cette fois, je suis d’accord avec les anglo-saxons.

J’ai même entendu une collègue de sciences physiques contester mon choix d’utiliser les unités dans les calculs (parce que ce n’est pas rigoureux).

Le pire que je vois dans certains manuels, c’est ce genre de choses : 3m÷2s=1,5=1,5 m/s. Les unités sont présentes dans les grandeurs au début du calcul, disparaissent dans les étapes et réapparaissent à la toute fin.

Dom

Un petit problème arrive quand on met les unités dans les calculs avec des équations. 

Cognitivement,  tout le monde ne s’y retrouve pas. 

stfj

"On désigne sous le nom de grandeur tout objet, toute quantité, toute collection d'objets susceptible d'exister sous divers état. Par exemple, un tas de pommes est une grandeur, car le tas peut contenir beaucoup, ou peu de pommes."(cours abrégé d'arithmétique, premier cycle, Carlo Bourdet , librairie Hachette, 1921, p.3/526)

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Je demande maintenant de comparer avec :

$X$ un ensemble, $\mu:X\to \mathbb R^+$. On définit une relation $\sim_{\mu}$ sur $ X$  par $(x,y)\in \sim_{\mu} \iff \mu(x)=\mu(y)$. C'est évidemment une relation d'équivalence : on note $\widetilde{x}\doteq \{y ∈ X / μ(y) = μ(x)\}$ et il appelle $X/\sim_{\mu}$ "une espèce de grandeur". Un élément $g ∈ G$ est une $μ-$grandeur sur $X$. Si $g ∈ G$, le nombre $μ(x)$ est indépendant de l’objet $x$ choisi dans $g$ : on
l’appelle la mesure de la μ-grandeur g et on le note μ(g). Il est clair que l’application de G

dans $\mathbb R^+$ ainsi définie est injective.

gerard0

Facile ! Au départ, une phrase sans signification, fausse même, un tas de pommes n'est pas une grandeur, mais un tas de pommes (sur lequel on peut analyser différentes grandeurs, sa hauteur, par exemple), un objet n'est pas une grandeur.

En deuxième partie, une mathématisation qu'on peut appliquer aux grandeurs, mais qui n'en est pas une définition.

Mais a-t-on besoin d'une définition ?

Dom

Vieille discussion. Inutile de mon point de vue d’avoir une définition. Par chance… ce ne sont pas des maths. 

hx1_210

Bof

@Thierry Poma ce que dit Chevallard c’est qu’une grandeur, c’est ce que l’on peut « mesurer » au sens égaliser pas au sens de la mesure.

C’est du niveau de l’opium fait dormir parce qu’il a des vertues dormitives la formalisation par une relation d’équivalence fait bien et montre que l’on peut être didacticien et pratiquer la mathématique moderne.

Note bien que c’est exactement ce que je dis en classe en agitant ma règle mon rapporteur ou mon horloge (et c’est tout car en mathématiques nous sommes pauvres). 

Bref la théorie des grandeurs n’a pas grand sens en mathématiques et je propose que nous l’appelions Folie (ça c’est pour la blague).

Ce qui est visée dans l’enseignement et qui a du sens, c’est la zoologies des grandeurs qui est liée à la zoologie des instruments de mesure et à la zoologies des unités.

C’est pourquoi il est dit étude DES grandeurs et non de LA grandeur.

D’ailleurs ceci est en rapport avec l’etude DES nombres et non pas de l’étude DU nombre. Cette dernière est de nature philosophique et non mathématique. (Oui je sais il faut se farcir du Hegel cela fait plus mal à la tête que du Chevallard)

De la même manière que pour la construction des nombres complète celles des entiers par opération sur l’ensemble de nombres déjà construit en conservant des propriétés des entiers et la compatibilité avec l’addition, la zoologie des grandeurs dérive de celle de longueur ou du temps (dont on sait qu’elles sont liées).

Bref je pense comme @Dom .

samok

Moi j'ai un petit faible pour les grandeurs sans dimension

le radian par exemple mais j'avoue ne pas en connaître d'autres, je ne sais même pas si la grandeur degré est sans dimension, puisque c'est l'angle plat divisé en 180 parties égale. L'angle plat est-il une dimension ?

Ah mince, je confonds unité et grandeur, c'est pas pareil (à isomorphine près) ?

Foys

Ca ne sert à rien de se taper de la philosophie d'avant le 20ième siècle pour comprendre les maths ou pour pallier un manque sur un point précis de leurs fondements ou de leur légitimité. Le contenu de la première, en ce qui concerne les maths, est largement obsolète (ce propos n'est en aucun cas un jugement ni sur les qualités morales ni sur l'intelligence des auteurs desdits textes: des mécanismes cruciaux et non évidents ont été découverts à partir du XXième siècle, dont ils ne pouvaient avoir connaissance, dans ces sujets).

Il faut lire des textes de logique qui exhibent les mécanismes dans leurs détails et qui montrent tout ce qui se passe. La première chose à faire et de se familiariser avec le théorème de complétude de la logique du premier ordre jusqu'à en maîtriser tous les mécanismes (il y a encore des arriérés en 2024 pour vous rétorquer que la logique ne parle pas des "vraies maths" mais d'autre chose).  

hx1_210

@Foys

Il va falloir se lever de bon heure pour convaincre que la philosophie de Hegel comporte une date de péremption. 

Il me semble que tu te réfères souvent aux traités Bourbaki qui à l’échelle de la Science commencent à dater. Je sais que certains les prétendent périmés, c’est qu’ils balaient d’un revers de manche un héritage qu’ils utilisent et font fructifier sans le savoir tout les jours. 

Les œuvres des grands philosophes sont de la même façon impérissables.

Il ne s’agit pas de faire des mathématiques mais de comprendre l’émergence du concept de nombre. Je ne suis pas suffisamment calé pour mener une discussion solide avec toi sur ce sujet. C’est un sujet de philosophe et de philosophe solide, pas de philosophe médiatique passant à France Culture entre la poire et le fromage.

Mais pour avoir eu le bénéfice de plusieurs explications sur le sujet par un fin connaisseur de Hegel et de la dialectique de la Nature ( et comme les logiciens, ils ne sont pas si nombreux), je pose juste que certains débats qui agitent stérilement les mathématiques ont été traités (et selon ce que j’en ai retenu, réglés) en profondeur dans le champs de la philosophie. Ce sont des développements complexes qui nécessitent des études poussées, je serais bien incapable de t’en résumer le mécanisme sur ce forum. C’est pourquoi je t’enjoins sinon d’ouvrir la Logique de Hegel du moins de t’en faire expliquer par quelqu’un qui l’a comprise son application au concept de nombre.

Je ne doute pas vues tes connaissances en logique que sur ce concept philosophique de nombre on puisse bâtir comme tu l’as déjà exposé des systèmes de nombres cohérents. Tu dois t’y régaler et si j’ai bien compris les explications que tu as déjà données à ce sujet, ils sont basés sur les entiers et donc sur le passage de l’unité à la pluralité. Passage qui apparaît fort simple dans les mathématiques des entiers mais dont le développement philosophique qui en démontre la nécessité est fort subtil.

De part notre formation, nous les matheux, nous sommes fort incultes de ces sujets. Cela conduit à un dédain à leur sujet aussi ridicule qu’il est infondé. 

J’espère qu’il n’y a pas d’arriérés qui pensent encore qu’en 2024 hors des mathématiques et de la logique formelle il n’y a ni démonstration ni connaissance.

Calembour

Bonjour, en parcourant wikipédia je suis tombé sur cela. Qu'en pensez-vous ?

Surtout le faire que toute grandeur physique est représentable par une fonction f(x,p) réelle

Foys

@hx1_210 a écrit:
Il va falloir se lever de bon heure pour convaincre que la philosophie de Hegel comporte une date de péremption.

Aucun problème de mon côté à dire qu'il s'agit à 100% de vieilleries.

Tu ne comprends pas un truc, ça fait des années que je suis en théorie de la démonstration et que je passe mon temps à reconstruire les maths brique par brique en toute conscience de chaque mécanisme. Je souhaite aider les lecteurs à économiser leur temps.

"Ce que je sais est ce que je sais faire" (je ne sais plus de qui est cette citation mais j'y adhère).
J'écris des messages sous la forme qu'ils ont afin que d'autres personnes puissent faire les mêmes choses que moi (c'est peut-être un projet très naïf; c'est aussi probablement pour ça qu'on me déteste ).

Foys

hx1_210 a dit :

J’espère qu’il n’y a pas d’arriérés qui pensent encore qu’en 2024 hors des mathématiques et de la logique formelle il n’y a ni démonstration ni connaissance.

Yes YES!! Des gens qui contestent un théorème mathématique (le théorème de complétude de Gödel, 1930, amélioré depuis par Tarski, Henkin, plus récemment Krivine. ..). La conversation va commencer à devenir intéressante.

(la contestation de n'importe quel résultat de maths est bien sûr un droit absolu. Seules les religions à fort pouvoir politique interdisent et combattent jusqu'à la torture et au meurtre le doute de certaines affirmations. Mais par contre l'exercice de ce doute dans un débat peut amener ce débat dans d'autres circonstantes tout à fait intéressantes. Alice a le droit de refuser de croire que 17+ 47 < 8000 et de le dire à Bob. Ce qui est intéressant après est la réaction d'Alice quand Bob propose d'échanger les 8000 euros d'Alice contre des sachets contenant respectivement 17 et 47 euros, au prétexte que cet échange ne pourra pas la pénaliser).

Héhéhé

hx1_210 a dit :

Les œuvres des grands philosophes sont de la même façon impérissables.

Mouais, il y a quand même des concepts philosophiques qui passent à la trappe avec le progrès scientifique !

Les propos de Kant à charge contre les géométries non-euclidienne sont maintenant caduques.

J'imagine que nombre de travaux philosophiques sur le temps ne sont plus valables depuis les travaux sur la relativité. De même les neurosciences, la mécanique quantique etc. ont dû invalider un certain nombres de théories philosophiques.

hx1_210

@Foys

Où as-tu vu que je contestais le théorème de complétude de la logique du premier ordre?

J’attends ta traduction de la dialectique de l’Etre et du Néant en logique du premier ordre.Pour le dire vite,  la logique de Hegel est une logique de la contradiction alors que la logique du premier ordre est une logique de la non contradiction.

Ainsi l’arithmétique de Peano est incomplète ainsi que tout système qui la contient.
Je te laisse réfléchir sur le lien entre la Logique de Hegel et le premier axiome de Peano.

 @Héhéhé
Impérissable ne veut pas dire indépassable.

Nous n’avons pas cessé d’utiliser la géométrie d’Euclide et nous n’avons pas jeté l’arithmétique en 1931.

Vassillia

Mais non @Foys moi je te déteste car tu me sembles d'une arrogance folle et dans un déni de réalité remarquable de croire que tout le monde a envie ou besoin de savoir faire ce que tu sais faire. Que tu essayes de partager ta passion ne me dérange pas, c'est seulement que tu cherches à l'imposer qui me dérange.

Foys

hx1_210 a dit :

@Foys

Pour le dire vite,  la logique de Hegel est une logique de la contradiction alors que la logique du premier ordre est une logique de la non contradiction.

Oh là là cette juxtaposition de mots sans aucune prise sur les concepts. Là tu te fais du mal, mais heureusement il n'est jamais trop tard pour apprendre. Je te propose de commencer ton voyage par ce livre: https://www.amazon.fr/Introduction-logique-démonstration-exercices-corrigés/dp/2100067966

@hx1_210 a dit:

Nous n’avons pas cessé d’utiliser la géométrie d’Euclide et nous n’avons pas jeté l’arithmétique en 1931.

Non mais par contre on a appris quelque chose qui a radicalement changé la compréhension de notions premières des maths comme les nombres (qui au passage, lorsque s'ils ne sont pas des notions premières, sont dérivés d'autres notions premières qui présentent les mêmes problèmes) et ce n'est pas la seule fois que cela s'est produit.

Malgré tous ses mérites, Hegel est mort en 1831 (100 ans avant la date que tu as citée).

Ca veut dire qu'il n'a jamais pu connaître:

-La correspondance de Curry-Howard (grosso modo des années 30/40 jusqu'à aujourd'hui; correspondance que la plupart des matheux d'aujourd'hui ignorent aussi, vu le manque de communication entre les spécialités mais passons), qui exhibe constructivement des liens très profonds entre les démonstrations de maths et les programmes et donc la capacité à faire agir les maths sur le monde

-De façon générale l'invention de l'informatique (qui a accompagné le développement de la logique mathématique, à nouveau ces deux champs sont intimement liés). Le développement de l'informatique a été le moment ou les mathématiciens ont été contraints de réaliser concrètement leurs idées dans la nécessité de la plus grande minutie possible (Quand on envoie des objets dans l'espace qui ne pourront être réparés ni même pilotés en temps réel depuis la terre le moindre bug peut coûter des centaines de millions d'euros et je vous épargne la situation où il y a des gens vivants dedans). 

-Le demi-siècle d'âpres débats sur les fondements des mathématiques depuis l'introduction par Cantor de la notion d'ensemble jusqu'à la miise au point de ZFC, les controverses, les antinomies découvertes entre temps, pourquoi et comment les savants de l'époque se sont efforcés de sauver la théorie des ensembles, les propositions alternatives, non comprises immédiatement (Brouwer)  qui ont eu une postérité.

-Parallèlement aux maths les deux remises en cause radicales des notions de temps, d'espace et de causalité que sont la relativité (fin du XIXième siècle jusqu'au années 20) et surtout la mécanique quantique, révolution qui ont orienté des domaines de recherche entiers.

-Les progrès de l'arithmétique et de la théorie des nombres au XIX siècle (Richard Dedekind, l'inventeur des anneaux et d'une définition célèbre des nombres réels, naît un mois avant le décès de Hegel; Galois publie ses travaux en 1832).

en 1831 les tout premiers exemples de géométrie non euclidiennes (Lobatchevsky/ Bolyai) venaient d'être découverts (j'ignore quelle était leur diffusion à l'époque), mais par exemple Bernhard Riemann était agé de 5 ans et Sophus Lie et Félix Klein n'était pas nés.

Tout ça pour dire quoi? Que Hegel a vécu, pour ce qui est des sciences et des mathématiques dans un autre univers mental que nous, un monde des idées totalement différent de ce qu'il est aujourd'hui (même si les résultats finaux des maths restent et les démonstrations qu'on en avait faites à l'époque demeurent correctes; le questionnement métamathématique à leur sujet ne pouvait pas être le même).

Il est HORS DE QUESTION de reconnaître la moindre autorité de textes de 1820 qui parlent de maths, et font figurer des répliques vagues des notions que nous connaissons, et ce peu importe le prestige de leur auteurs.

raoul.S

Vassillia a dit :

Mais non @Foys... Que tu essayes de partager ta passion ne me dérange pas, c'est seulement que tu cherches à l'imposer qui me dérange.

Encore des salades...🥬

Vassillia

@raoul.S Ah bon, tu sais mieux que moi ce qui me dérange ou pas. Explique à Foys pourquoi les gens qui le détestent le détestent alors. Il est par exemple HORS DE QUESTION que j'écoute un anonyme sur internet qui me dit qu'il est HORS DE QUESTION de faire... peu importe quoi.

hx1_210

@Foys
1/ tu n’as absolument pas cherché à comprendre la différence entre la non contradiction et la contradiction. Tu ne réponds d’ailleurs pas à ma question (1) sur le lien entre le premier axiome de Peano et la dialectique de l’Etre et du Néant. L’as-tu au moins comprise? Vu ta réaction je pense que non. Et je constate que cette question  ne t’intéresse pas voire qu’elle te dérange.

2/ Je ne suis pas Logicien mais quand tu me parles de Logique du premier ordre, je sais de quoi tu parles. De même que je sais ce qu’établissent les thm de Godel. (Complétude ET incomplétude, mais celui-là t’intéresse moins).

Je te pose donc deux questions :

(2) connais-tu le contenu de la Logique de Hegel concernant la notion dont nous discutons, soit par lecture directe , soit au moins comme c’est mon cas par étude indirecte?
(3) Dans l’affirmative peux-tu démontrer à l’aide de la Logique du premier ordre qu’elle n’apporte aucune contribution à la compréhension de ce qu’est un nombre?


3/ le fin mot de ta position semble donné à la fin: autorité. Si c’est le cas, cela n’a rien à voir avec le calcul des prédicats. Cela n’a rien à voir non plus avec notre sujet. 
Il n’est absolument pas question de discuter d’une hiérarchie des sciences. Ce genre de débat entre taupin et khâgneux prend sa source dans la méconnaissance crasse et mutuelle du champs d’activité de l’autre. 

Les mathématiques n’étudient pas la gnoséologie ni l’ontologie. Et la philosophie ne discute pas des meilleurs axiomes possibles pour la théories des ensembles.

Tu sembles penser qu’Hegel expliquerait comment faire des mathématiques. Ce n’est pas le cas. (Et cela corrobore mon intuition selon laquelle tu ne connais absolument rien de la philosophie de Hegel et que tu rejettes a-priori ce qui n’est pas l’attitude d’un logicien).

Hegel est effectivement mort en 1831. Tu peux faire la liste de toutes les inventions depuis cela ne te fera pas savoir ce qu’est la Dialectique et ce à quoi elle peut servir pour améliorer la compréhension de ce que sont l’unité et la pluralité et le lien avec le rien. 

Je ne poursuivrai cette discussion que lorsque tu auras répondu à ma question (2) et que tu auras au moins essayé de répondre à la (1) ou à la (3) sans te défausser par une formule meprisante.

J’ai fais preuve de considération pour toi. Je t’ai répondu sérieusement ce qui m’a pris du temps et de la réflexion. Je ne compte pas perdre mon temps à discuter avec quelqu’un qui ignore tout du sujet qu’il prétend réfuter. C’est normal.