Équation différentielle

Kcg

 Salut à tous. 
 S'il vous plaît, j'ai besoin d'aide sur cet exercice.
 J'arrive bien à déterminer la solution générale de l'équation, mais je n'arrive pas à faire la suite.
Voici la solution générale que j'ai trouvée : 
 $y(x)=Ae^x + Be^{-2x}+2(\frac{1}{3}+x)e^{-2x} +3.$

J'aimerais savoir, s'il vous plaît, comment décrire le comportement de cette solution quand x tend vers $+\infty$ et comment savoir s'il existe des solutions particulière pour lesquelles y admet un niveau d'équilibre. Et aussi, dire que y admet un niveau d'équilibre signifie quoi exactement ? J'ai beau faire des recherches dessus, je ne trouve rien qui correspond à une équation différentielle sous la forme que j'ai.

Merci d'avance pour votre aide.

Math Coss

La solution générale est correcte, même si le « $1/3$ » peut être supprimé (quitte à changer $B+2/3$ en $B'$).

En $+\infty$, la limite de $B\exp(-2x)+2\bigl(\frac13+x\bigr)\exp(-2x)+3$ est $3$ et celle de $A\exp(x)$ est $\pm\infty$ si $A\ne0$ et $0$ sinon. La limite de la solution générale en résulte selon que $A$ est nul ou pas.

Il me semble raisonnable de penser que « niveau d'équilibre » signifie « limite finie en $+\infty$ » mais ce n'est pas une expression que j'ai déjà entendue.

Kcg

D'accord @Math Coss, merci pour le comportement de la solution générale en $+\infty$

Pour le deuxième volet de la question, moi même je n'ai pas encore entendu cette expression et donc j'ignore comment procéder pour y répondre. Voici la seule expression voisine que j'ai trouvée dans un document : 

Quelqu'un aurait une idée, s'il vous plaît ?

math2

Je n'ai jamais vu la notion de niveau d'équilibre, et je l'interprete comme Math Coss. C'est visiblement différent de la notion d'équilibre dont tu rappelles la définition, et à l'évidence cette équation n'admet aucun équilibre en raison de son second membre.

Kcg

D'accord. Merci @math2

Chaurien

https://www.labri.fr/perso/hocquard/FilesMaster/equadiff1920.pdf

Kcg

Merci @Chaurien, c'est aussi dans ce document que j'ai extrait l'image dans mon post ci-dessus. Mais je n'étais certains que la notion d'équilibre dont Ils parlent dans ledit document était le même que celle évoquée dans l'exercice. Finalement, j'ai admis que c'est la même chose.

math2

Ce n'est visiblement pas la même notion. Si tu as admis que c'était la même chose, c'est que d'une part on n'a pas été clair et qu'en plus la seule réponse à l'exo c'est qu'il n'y a pas d'équilibre et c'est plié.

Un équilibre est une solution de l'équation qui ne bouge pas, c'est-à-dire une solution constante de l'équation. C'est expliqué dans ce document (mais en fait c'est une trivialité) que dans ton cas il ne peut pas y avoir d'équilibre car le membre de gauche ne dépend pas de $x$ et donc si tu y mets une solution constante, le membre de gauche sera constant ce qui n'est pas le cas du membre de droite.

Et la notion d'équilibre est sur l'équation et non sur la solution donc si tu remplaces dans la question "niveau d'équilibre" par "équilibre", la question n'a même pas de sens.

Bref pour moi la seule manière de comprendre la notion (que je n'ai personnellement jamais vue, et pourtant on peut dire que j'ai du lire quelques centaines d'articles de recherche sur les EDO et EDT), c'est comme le propose Math Coss.

Kcg

Je comprends ton raisonnement. Mais là je suis vraiment dans le doute. Je pense que comme tu l'as souligné, si le "niveau d'équilibre" dont on parle dans l'exercice était bien celui du cours ci-dessus, la réponse serait tellement triviale. Donc je me range de votre côté. Merci encore.