Analyse asymptotique sur des fonctions sommes de séries

SandwichFromage

Bonjour, 

Existe-t-il des méthodes purement numérique (computationnelles) pour déterminer, par exemple un équivalent en $ s \to 1^+ $ d'une fonction comme $ \displaystyle f : s \mapsto \sum_{n=1}^\infty \frac{\mathrm{ln}(n)}{n^s} $ ? Ou $ \displaystyle g : s \mapsto \sum_{p \in \mathbb P}^\infty \frac{\mathrm{ln}(p)}{p^s} $, où $\mathbb P$ est l'ensemble des nombres premiers ?

Je précise ma question : supposons qu'on ne sache rien de ces fonctions, si ce n'est qu'elles sont bien définies "au voisinnage de $1^+$", et qu'on ne veuille pas trop s'embêter avec un papier et un crayon, existe-t-il un outil algorithmique qui permette de trouver une fonction $h$ simple telle que $ f(s) \underset{s\to1^+}{=} h(s) + O(1) $? J'ai l'impression que WolframAlpha a bien du mal.

Précision supplémentaire : Oui, en utilisant un moteur de recherche, on pourrait trouver que ces fonctions font l'objet d'études en théorie analytique des nombres, et on pourrait trouver dans un livre un développement de la forme recherchée. Ce n'est pas trop l'objet de ma question, je me demandais simplement s'il existe des outils (de nature plutôt algorithmique) qui pourraient trouver une solution (afin d'établir une conjecture par exemple). 

Merci. 

JLapin

SandwichFromage a dit :

Je précise ma question : supposons qu'on ne sache rien de ces fonctions, si ce n'est qu'elles sont bien définies "au voisinnage de $1^+$", et qu'on ne veuille pas trop s'embêter avec un papier et un crayon, existe-t-il un outil algorithmique qui permette de trouver une fonction $h$ simple telle que $ f(s) \underset{s\to1^+}{=} h(s) + O(1) $?

Non, pas à ma connaissance.

Bibix

Bonjour,

Si tu cherches un algorithme permettant d'obtenir un équivalent simple d'une série de fonctions en un point dans le cas général, il me semble que c'est impossible (ne serait-ce que parce-que le terme d'équivalent simple est plutôt subjectif). Mais si l'objectif, c'est juste de contourner le problème de la convergence lente des séries (ce qui empêche d'utiliser les sommes partielles pour obtenir une approximation satisfaisante et donc de conjecturer), alors c'est possible. Il y a par exemple la transformation de van Wijngaarden ou toute autre accélération de suite.