Question sur des poses-tu là ?

samok

Bonjour,

je souhaiterais savoir quelle est la dernière définition, sans appel à des notions externes, en vigueur à ce jour, d'une droite et d'un point.

Merci.

Ah oui, au fait, c'est urgent.

raoul.S

Il n'y a pas de définition. Ce sont des objets primitifs...

stfj

Un point d'un espace vectoriel complexe $V$ est un élément de l'espace vectoriel en question. La droite $d$ passant par le point $a\in V$ et dirigée par le vecteur $u\in V$, la partie de $V$ de la forme $$d=a+\mathbb C u$$Un point d'un espace topologique est aussi un élément de l'espace topologique en question.

Dans le cadre de la géométrie projective plane complexe, un point du plan projectif $\mathcal P$ est un élément de la forme $x:y:z$ avec $x,y,z\in \mathbb C$ non tous nuls et une droite un élément de son dual, du type $$d\simeq[a,b,c]$$

Bien que la primitivité d'Hilbert soit loin de l'état primitif, je dirais que ce ne sont plus des objets aussi primitifs que cela. ll y a l'âge de Pierre comme l'a élégamment rappelé @raoul.S

_____________________

Si c'est pour des vidéos youtube, je te signale que tous les enfants le savent déjà, qui placent des points dans des quadrillages.

Soc

Oh bah on prend un ensemble et les machins dedans on les appelle des "points".
Ensuite on prend des parties de cet ensemble et si elles vérifient collectivement quelques petits trucs on appelle ces sous-ensembles des "droites". Dans les trucs on retrouve généralement que si on choisit deux machins, on va toujours les retrouver dans une seule droite. Pour les autres trucs, ça dépend un peu si tu les aimes avec des formes ou pas!

jean lismonde

Bonjour

Une droite est un objet géométrique d'un espace $R^1$ à une seule dimension
elle est définie par deux points de cet espace
ou encore par un point et un vecteur directeur à 2 composantes (qui indique la direction de la droite)

un point est un objet géométrique de l'espace $R^0$ le plus élémentaire qui soit,
il ne comporte pas de direction ni de dimension

Cordialement

pappus

ok

stfj

L'axe des ordonnées est-il une droite?

pappus

OK

samok

Bonjour raoul.S,

si j'avais demandé ce qu'est un ensemble tu m'aurais répondu pareil, n'est-ce pas ?

Comment notre petite tête fait le discernement entre ces objets primitifs ? Puisqu'elle le fait, je crois, c'est qu'il y aurait une définition, non ?

Je suis désolé pour les autres intervenants qui ont fourni des réponses et à qui je ne réponds pas pseudotivement. 

-> Cela ne va pas dans le sens de ma réflexion, mais merci pour vos réponses.

Soc

Vers où vas-tu?

raoul.S

si j'avais demandé ce qu'est un ensemble tu m'aurais répondu pareil, n'est-ce pas ?

Oui.

Comment notre petite tête fait le discernement entre ces objets primitifs ? Puisqu'elle le fait, je crois, c'est qu'il y aurait une définition, non ?

C'est la liste d'axiomes qu'ils doivent vérifier qui fait que l'on va s'imaginer ces objets de façon différente. Généralement les axiomes reflètent assez bien la façon dont on se représente mentalement ses objets.

Un "objet", droite ou ensemble, ne vient pas tout seul, il vient avec les règles du jeu. 

samok

C'est satisfaisant pour donner des fondations aux théorèmes qui en découlent.

Dans les classes primaires et secondaires : ce sont des associations de mots à des expériences de tracé qui constituent une définition.

La liaison entre les  mots et la réalité, cela me pose question, Soc. Pas toi ?

Soc

Si ta question est le lien au réel, dans ce cas pour moi un point est un lieu de l'espace que l'on tente d'imaginer infiniment petit. Un segment est le plus court chemin entre deux lieux. Une droite est le prolongement infini d'un segment.

Si je veux qu'un élève "expérimente" un segment, je lui demanderais plutôt de lâcher un objet et d'observer sa trajectoire, ce qui ne nécessite pas d'instrument qui aurait miraculeusement la bonne forme.

Si tu questionnes le choix de ces mots, je ne sais pas d'où ils viennent...

raoul.S

Juste pour info, voici l'introduction de Hilbert dans son bouquin Les Fondements de la Géométrie, suivie par un début des axiomes. On notera que les axiomes sont en français (en allemand dans la version originale) et pas du tout formalisés dans un langage de la logique mathématique (donc avec des symboles $\exists, \forall$ etc.). Notez également son "définition" au début...

remarque : d'ailleurs je lis sur Wiki que les axiomes de continuité ne sont pas des axiomes de la logique du premier ordre.