Intégrale sur un groupe

mathspe

Soit G un groupe topologique localement compact et K un sous groupe de G.
Soit $f$ une fonction continue sur G et K- bi invariant càd $f(kxk')=f(x), k,k'\in K, x\in G$.
Ma question pour quoi $f(xy)= \int_K f(xky)dk$ avec $x,y\in G$ et $dk$ la mesure de Haar sur $K$.
Merci

SkyMtn

Tu es sûr de ta définition de fonction $K$-bi invariante ? Elles sont toutes constantes tel que c'est écrit...

mathspe

J'ai rectifié. Merci 

Paul Broussous

Cette identité me paraît un peu bizarre. D'abord pour que ça ait une chance de marcher, il faut que $K$ soit compact, de mesure $1$ (prendre $x=y=1$ et $f=1$).

 

 Prenons $G={\rm GL}(2,\R )$ et $K={\rm O}(2,\R )$. Prenons $f={\rm det}$. Alors l'identité demande que pour tous $x,y\in G$, on ait :

${\rm det}(xy)={\rm det} (xy) \, \int_{K} {\rm det}(k)\, dk\ .$

Or ${\rm det}$ est un caractère non constant de $K$. Son intégrale sur $K$ est donc nulle ...

 Je pense que tu dois confondre avec une propriété similaire des fonctions dites "sphériques" (zonal spherical functions en anglais).

Edit. Ma fonction n'est pas bi-$K$-invariante, merci SkyMtn.

SkyMtn

@Paul Broussous Le déterminant n'est pas bi invariant, ce n'est pas un contre-exemple.
@mathspe Es-tu certain que cette formule est vraie ? Où l'as-tu rencontrée ? Histoire de ne pas chercher inutilement dans le vide. 

mathspe

La caractérisation des fonctions sphériques reposent sur cette intégrale. 
Une référence de ceci, harmonic analysis and generalized pair Gelfand

JLT

Si $G$ est un groupe fini et $K$ est un sous-groupe non distingué, la fonction $f=1_K$ est $K$-bi-invariante mais ne vérifie pas l'égalité car si $x\in G$ est tel que $xKx^{-1}\ne K$ alors $f(xx^{-1})=1$ tandis que $\int_K f(xkx^{-1})\,dk<1$.

Paul Broussous

Une fonction dite "sphérique" n'est pas seulement bi-$K$-invariante. Elle possède d'autres propriétés que je ne vais pas écrire ici.  Une fonction sphérique vérifie toujours $f(x)f(y) = \int_K f(xky)\, dk$, $x$, $y\in G$, ce qui n'est pas ce que tu as écrit.

mathspe

@JLT, il faut que soit un groupe compact et dk la mesure de Haar normalisé.
@Paul Broussousvoir l'image attachée.
Merci 

mathspe

Dans l'hypothèse $\phi$ est juste continue et bi invariante.

Paul Broussous

En fait il n'y a aucun problème dans la référence (Van Dijk). Il faut simplement que tu la lises beaucoup plus attentivement. Bon courage.

Paul Broussous

Le contre-exemple de JLT est pertinent : un groupe fini est un groupe de Lie (non connexe si le groupe n'est pas trivial) et la mesure de comptage est une mesure de Haar.

mathspe

Pourquoi nous avons une telle relation ?

mathspe

@Paul Broussous. Est- ce que tu peux dire pourquoi on a une telle relation. Merci