Expression du terme général d'une suite définie par récurrence

uvdose

Bonjour,

Soit $(a_n)$ la suite définie par $a_0=2$ et la relation de récurrence $a_{n+1}=(a_n+1)^2-3$.
En tâtonnant, j'ai réussi à montrer qu'on a pour tout $n\in\N$, $a_n=\alpha^{2^n}+\frac{1}{\alpha^{2^n}}-1$, où $\alpha$ est une des solutions de l'équation $x+\frac{1}{x}=3$.

Connaissez-vous une méthode générale permettant d'exprimer en fonction de $n$ le terme général de rang $n$ d'une suite $u$ définie par une relation du type $u_{n+1}=u_n^2+bu_n+c$ ?

Par exemple, peut-on trouver une expression en fonction de $n$ du terme général de rang $n$ de la suite $u$ définie par $u_0=1$ et la relation de récurrence $u_{n+1}=(u_n+1)^2-2$ ?

Merci pour votre aide.

philou22

Pour ton exemple, la suite auxiliaire $v_n=u_n + 1$ donne il me semble $v_{n+1}=v_n^2-1=(v_n+1)(v_n-1)$. Avec $v_0=2$, les termes suivants sont 3x1=3, 4x2=8, 9x7=… Je pense qu’il y a possibilité de conjecturer un terme général. Ou pas… À noter qui y a alternance de la parité et que les premiers termes sont 2^2-1, 2^3, 2^6-1, 2^7x(2^5-1).

Chaurien

@uvdose Cette suite $a_n$ est une balourdise de l'énoncé, car on voit bien que la vraie suite intéressante est $b_n=a_n+1$, qui satisfait à la relation : $b_{n+1}=b_n^2-2$. 

En posant $c_n=\frac 12 b_n$, il vient : $c_{n+1}=2c_n^2-1$, ce qui fait penser à : $\cos 2 x=2 \cos^2 x -1$ et $\cosh 2 x=2 \cosh^2 x -1$.

Si $c_0 \in [-1,1]$, alors $c_0=\cos \theta$, et alors $c_n=\cos 2^n \theta$.

Si $c_0 \in [1, + \infty[$, alors $c_0=\cosh \theta$, et alors $c_n=\cosh 2^n \theta$.

On peut avoir une formule pour les suites qui se déduisent de celle-ci par une transformation affine, mais ceci ne couvre pas toutes les suites $u_{n+1}=u_n^2+bu_n+c$.

Bonne soirée.

Fr. Ch.

bisam

Je ne crois pas que l'on sache exprimer ce genre de suites dans le cas général... sinon l'ensemble de Mandelbrot serait facile à dessiner !