Partie de $\N$

bestM

Bonjour,
Quelqu'un peut il me dire comment faire cet exercice, je n'y arrive pas.
D'avance merci,
BestM
Soit $A\subset \N$. On suppose $\lbrace 0,1\rbrace \subset A$ et $\lim_{n \to+\infty}\: \dfrac 1n card\left(A\cap [\![1,n]\!]\right)=0$. Montrer que :$$\forall k \in \N^*\:,\:\exists j \in \N\:/\:card\left([\![j,j+k]\!]\cap A\right)=2$$

Heuristique

Je commencerais par montrer que $A$ n'est pas à fossé borné, ie que $\forall k \in \N, \exists j \in \N, A \cap [[j,j+k]] = \varnothing$

Soc

Sans avoir testé, j'aurais tendance à vouloir le montrer par l'absurde. Tu devrais alors obtenir une densité minimale qui contredit l'hypothèse.

zygomathique

salut

on peut peut-être aussi le faire en distinguant deux cas : 

a/ A est borné et noter m son maximum

b/ A n'est pas borné et en notant $ E = A \cap [[1, n]] $ et considérer les sous-ensembles de E de longueur k + 1

Soc

Par l'absurde:

Si tous les intervalles de longueur k ont au moins 3 éléments alors on a une densité supérieure à 3/k qui contredit la limite nulle.

Dans le cas contraire on prend le premier intervalle de longueur k avec 0 ou 1 élément. il ne peut pas y en avoir contenant 3+ avant lui sinon on aurait un à 2 élément entre temps. On le décale ensuite vers la gauche et on tombe toujours sur un intervalle de longueur 2 à un moment ou à un autre (en utilisant le fait que l'on a 0 et 1).

La mise en forme est à peaufiner, mais ça m'a l'air de fonctionner correctement.

Soc

Entre deux coups de marteau-piqueur, la même dans l'autre sens:

On part de l'intervalle de longueur k commençant par 0.
Il en contient au moins 2.
On le décale de 1 à chaque fois.
Il ne peut pas en contenir toujours plus de 1 sinon la densité contredit la limite.
A un moment il en contient 0.
Avant il en a contenu 2 car le nombre ne peut pas varier de plus de 1.

raoul.S

Une preuve snob : on pose $f:=\sum_{j\in A} 1_{[j,j+1]}$ et $\displaystyle \phi:\R^{+}\to \R, t\mapsto \int_t^{t+k+1}f(x)dx$. On vérifie que : 

1) pour tout entier $j$, $\phi(j)=card\left([\![j,j+k]\!]\cap A\right)$
2) la fonction $\phi$ est continue et vérifie $\phi(0)\geq 2$ et $\phi(n)=0$ pour un certain entier $n$.

Il existe donc un réel $t\in [0,n]$ tel que $\phi(t)=2$ et par suite $card\left([\![j,j+k]\!]\cap A\right)=2$ avec $j:=\lfloor t \rfloor$.

samok

*/ page de publicité /*

Elle est partie de $\mathbb{R}$,

Il n'avait pas de $\mathbb{N}$,

pour des raisons inexplicables, ils meurent à la fin,

parce que l'$\mathbb{A}\text{mour}$ n'inclue pas la $\mathbb{H}\text{aine}$

*/ fin de la page de publicité /*