Suites Adjacentes

jc-marseille

Je m'interesse au livre "Toutes les Mathematiques", programe MP, license.
L'auteur ecrit la definition pour que deux suites reelles soient adjacentes et le theoreme pour lequel ces deux suites convergent vers une meme limite.

Ainsi:
$(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ est decroissante et elles sont telles que: $\lim |u_n-v_n| = 0$   Quand  $n-> +\infty$ Alors elles convergent vers une meme limite.

Demonstration de l'auteur:

Il existe $n_0$ $\in N$ tel que $|u_n-v_n| \leq1$ pour $n \geq n_0$, l'auteur poursuit... donc:
$u_n \leq v_n + 1\leq v_{n0}+1$, $(a)$
Sur sa lance'e, l'auteur conclut que puisque $u_n$ est croissante et majore'e, alors elle est majore'e.
De meme $(v_n), n \geq n_0$, et les deux suites ont necessairement meme limite.

Deja` la`, j'ai un petit probleme - Si $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ est decroissante et elles sont telles que: $\lim |u_n-v_n| = 0$, Quand  $n-> +\infty$, n'est il pas necessaire que $v_n > u_n, \forall n \in N$?
 D' ou` (a) ci dessus devrait plutot etre: $\forall n \geq n_0$, $v_n \leq u_n + 1\leq v_{n0}+1$  $=>u_n \leq v_{n0}$ et la conclusion est la meme, c.a.d $u_n$ croissante et majore'e donc admet une limite $l$
Idem pour $v_n$, on a $\forall n\geq n_0, u_n \geq u_{n0} => v_n \geq u_n \geq u_{n0} => v_n \geq u_{n0}$, puisque $v_n$ est decroissante et majore'e, $v_n$ admet une limite $l'$.
Finalement on montre que $l=l'$ car $l-l' = \lim u_n - \lim v_n = \lim (v_n - u_n) = 0\ quand\ n-> +\infty$ d'ou` $l=l'$

Est ce que mon probleme est legitime? Merci d'avance pour vos commentaires.

- jc

bredouille

Il me semble que l’on ne peut pas avoir $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante, $lim|u_n-v_n|=0$ et $u_n>v_n$ (le cas d’égalité ne semble pas poser de problème). Supposons que ce soit le cas, alors $ |u_n-v_n| \geq |u_0-v_0|>0 $par croissance de $ u$ et décroissance de $v$, on conclue en prenant la limite que  $lim|u_n-v_n| >0$ ce qui est une contradiction. 

gebrane

L'auteur complique affreusement la preuve; je ne sais pas pourquoi l'auteur ne voit  pas que la suite $\epsilon_n=v_n - u_n$ est décroissante, de limite nulle donc elle est positive 

john_john

Bonjour,
encore plus simple : $(u_n)$, croissante, a donc une limite finie ou $+\infty$ et $(v_n)$, décroissante, a une limite finie ou $-\infty$. Puisque $v_n-u_n\to0$, la seule conclusion possible est que les limites soient finies et égales.

Nota bene : j'espère que le titre du livre comporte plutôt le mot licence.

Math Coss

@gebrane : c'est parce qu'il se dispense de montrer que $u_n\le v_n$ pour tout $n$. Comme le souligne @bredouille, cela résulte des hypothèses mais c'est plus compliqué à démontrer que ce que l'auteur du livre fait.

@jc-marseille : je ne vois pas pourquoi tu as un problème. Il y a deux démonstrations un peu différente, celle du livre et celle que tu écris, elles sont valables toutes les deux mais ça ne pose pas de problème (enfin, presque : on a $u_n\le v_n$ pour tout $n$ mais on ne peut pas être sûr que $u_n<v_n$ pour tout $n$ (certes, s'il arrive que $u_{n_0}=v_{n_0}$ pour un $n_0$, alors $u_n=v_n=u_{n_0}$ pour tout $n\ge n_0$, ce n'est pas palpitant ; mais cela peut arriver)).

Tu sembles embêté parce que tu sais démontrer de façon compliquée que $u_n\le v_n$ alors que l'auteur du livre démontrer plus rapidement que $u_n\le v_{n_0}+1$, ce qui est suffisant pour son propos. Un peu comme si, en t'intéressant à la suite $(-1-2^{-n})_{n\ge0}$, tu étais mécontent de quelqu'un qui remarquerait que cette suite est croissante et (visiblement) majorée par $0$ – et tu lui reprocherais de ne pas majorer par $-1$. Tu aurais raison sur le fait qu'on peut majorer cette suite par $-1$ mais la majoration par $0$ permet aussi bien de conclure à la convergence de la suite.

gebrane

Merci Math Coss, Je me suis précipité dans mon jugement 

jc-marseille

john_john a dit :

Bonjour,
encore plus simple : $(u_n)$, croissante, a donc une limite finie ou $+\infty$ et $(v_n)$, décroissante, a une limite finie ou $-\infty$. Puisque $v_n-u_n\to0$, la seule conclusion possible est que les limites soient finies et égales.

Nota bene : j'espère que le titre du livre comporte plutôt le mot licence.

Merci John - non le titre du livre comporte MP/MP*, le mot license est utilise' en preface. J'aurais du le bouquiner plus lors de mon dernier sejour a` Marseille. Mais bon...
Merci a` tous pour vos reponses!

jc-marseille

Math Coss a dit :

@gebrane : c'est parce qu'il se dispense de montrer que $u_n\le v_n$ pour tout $n$. Comme le souligne @bredouille, cela résulte des hypothèses mais c'est plus compliqué à démontrer que ce que l'auteur du livre fait.

@jc-marseille : je ne vois pas pourquoi tu as un problème. Il y a deux démonstrations un peu différente, celle du livre et celle que tu écris, elles sont valables toutes les deux mais ça ne pose pas de problème (enfin, presque : on a $u_n\le v_n$ pour tout $n$ mais on ne peut pas être sûr que $u_n<v_n$ pour tout $n$ (certes, s'il arrive que $u_{n_0}=v_{n_0}$ pour un $n_0$, alors $u_n=v_n=u_{n_0}$ pour tout $n\ge n_0$, ce n'est pas palpitant ; mais cela peut arriver)).

Tu sembles embêté parce que tu sais démontrer de façon compliquée que $u_n\le v_n$ alors que l'auteur du livre démontrer plus rapidement que $u_n\le v_{n_0}+1$, ce qui est suffisant pour son propos. Un peu comme si, en t'intéressant à la suite $(-1-2^{-n})_{n\ge0}$, tu étais mécontent de quelqu'un qui remarquerait que cette suite est croissante et (visiblement) majorée par $0$ – et tu lui reprocherais de ne pas majorer par $-1$. Tu aurais raison sur le fait qu'on peut majorer cette suite par $-1$ mais la majoration par $0$ permet aussi bien de conclure à la convergence de la suite.

Brillant Maths Coss! Merci!