veroneseCercle

stfj
Modifié (11 Jul) dans Géométrie
Bonjour,
Je cherche à appliquer ma procédure sagemath veronseseCercle à des exemples simples que vous voudriez bien me proposer.
$$v : \mathbb R\mathrm P^2\to \mathbb R\mathrm P^3 $$ $$x:y:z\mapsto x:y:z:(a^2yz+b^2xz+c^2xy)/(x+y+z)$$
___________________

def veroneseCercle(vec):

    vecteur=vector([vec[0],vec[1],vec[2],(a^2*vec[1]*vec[2]+b^2*vec[0]*vec[2]+c^2$vec[0]*vec[1])/(vec[0]+vec[1]+vec[2])])

   return vecteur

__________________

Cordialement, Stéphane.

__________________

PS: on est en coordonnées barycentriques, dans $ABC$, avec $a\doteq BC$(etc.)



Réponses

  • Vassillia
    Modifié (10 Jul)
    Bonjour @stfj
    N'importe quel exercice de géométrie où on a besoin de cercles, par exemple, tu peux essayer le dernier en date : https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2338252/sur-un-meme-cercle#latest
    Cela devrait te plaire, les coordonnées barycentriques se simplifient bien.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Mon cher stfj
    Etant donnés deux cercles $C_1$ et $C_2$, on savait autrefois que le lieu des centres de similitudes (directes ou indirectes) envoyant $C_1$ sur $C_2$ était un cercle, appelé le cercle de similitude.
    Connaissant les véronèses des cercles $C_1$ et $C_2$, peux-tu nous écrire le véronèse de leur cercle de similitude?
    Amicalement
    pappus
  • Je te conseille de plutôt commencer par l’exercice que je te propose pour utiliser les veroneses, celui de pappus ne me semble pas très adapté en tant qu’exercice simple pour débuter. Je pourrais t’aider si besoin et nul doute que pappus pourra ensuite t’aider pour l’exercice qu’il te propose (enfin si moi j’en doute très sérieusement mais c'est un autre sujet).

    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Merci pour vos propositions. Je m'y pencherai quand j'aurai le temps. J'ai hâte. :)
  • Veronese (7 mai 1854 - 17 juillet 1917) s'écrit Veronese, même si pappus s'obstine à écorcher son nom.

    Quant à cette histoire de cercle de similitude, il suffit d'être persuadé du fait qu'une  homographie à la Cremona , agissant sur les points du plan projectif,  induit une collinéation agissant dans l'espace des cycles. On y va et tout s'organise et se simplifie agréablement.

    Encore une taupinière, pas de quoi s'en effrayer !

  • stfj
    Modifié (10 Jul)
    Avant d'attaquer des problèmes plus costauds, je m'intéresse au cercle des neufs points . Il passe par $1:1:0,\,1:0:1,\,0:1:1$. Je me propose alors d'obtenir son équation $$c^{2} x^{2} y + c^{2} x y^{2} + b^{2} x^{2} z + a^{2} x y z + b^{2} x y z + c^{2} x y z + a^{2} y^{2} z + b^{2} x z^{2} + a^{2} y z^{2} + a^{2} x - b^{2} x - c^{2} x - a^{2} y + b^{2} y - c^{2} y - a^{2} z - b^{2} z + c^{2} z=0$$i.e. $$(x+y+z)(a^2yz+b^2xz+c^2xy)-2(S_ax+S_by+S_cz)=0$$
    ______________

    var('a b c x y z')
    Ap=vector([0,1,1])
    Bp=vector([1,0,1])
    Cp=vector([1,1,0])
    def veroneseCercle(vec):
        vecteur=vector([vec[0],vec[1],vec[2],(vec[0]+vec[1]+vec[2])*(a^2*vec[1]*vec[2]+b^2*vec[0]*vec[2]+c^2*vec[0]*vec[1])])
        return vecteur
    M=vector([x,y,z])
    print(veroneseCercle(M))
    Ma=matrix([veroneseCercle(Ap),veroneseCercle(Bp),veroneseCercle(Cp),veroneseCercle(M)])
    det=1/2*det(Ma)
    print(latex(det))
  • pappus
    Modifié (10 Jul)
    Mon cher stfj
    Ton équation ne me parait pas très homogène!  
    Quant à moi, je trouve:
    $$a^2yz+b^2zx+c^2xy-(x+y+z)\big(\dfrac{b^2+c^2-a^2}4x+\dfrac{c^2+a^2-b^2}4y+\dfrac{a^2+b^2-c^2}4z\big)=0$$
    Amicalement
    pappus


  • Vassillia
    Modifié (10 Jul)
    stfj a dit :
    $$v : \mathbb R\mathrm P^2\to \mathbb R\mathrm P^3 $$ $$x:y:z\mapsto x:y:z:(a^2yz+b^2xz+c^2xy)\color{red}/\color{black}(x+y+z)$$

    Petite erreur dans le veronese en effet, je te propose une petite fonction qui fera l'affaire quelque soit le choix de coordonnées (à la condition d'avoir défini pyth et Linf évidemment)
    def veronese(P) :
        return vector([P[0],P[1],P[2], (P*pyth*P)/(Linf*P)])

    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • stfj
    Modifié (11 Jul)
    Merci pour les corrections. Avec elles,
    $$a^{2} x - b^{2} x - c^{2} x - a^{2} y + b^{2} y - c^{2} y + \frac{4 \, c^{2} x y}{x + y + z} - a^{2} z - b^{2} z + c^{2} z + \frac{4 \, b^{2} x z}{x + y + z} + \frac{4 \, a^{2} y z}{x + y + z}=0$$Ce que j'ai vérifié sur geogebra et me permet de vérifier l'équation fournie en 5.5 par Wong Lan Loi dans l'article qu'on trouve au début d'ETC.
    Je reconnais $P*pyth*P$ et $Linf*P$ et vais adopter ta fonction sagemath, @Vassillia . J'imagine que cela marchera dans d'autres situations. Par ailleurs, j'ai en tête concernant le veronese la démonstration tellement intéressante du théorème de Pascal pour les quadriques, qui m'a durablement impressionné.
  • stfj
    Modifié (11 Jul)
    Comme @pappus me l'avait écrit un jour (au passage merci), les puissances $\Gamma$ des points $A,B,C$ par rapport au cercle $\mathcal C$ qui nous intéresse, sont telles que $$P\simeq x:y:z \in \mathcal C \iff a^2yz+b^2xz+c^2xy-(x+y+z)(\Gamma(A) x+\Gamma(B) y +\Gamma(C)z)=0$$(faire par exemple $x=1,y=0,z=0)$, le membre de gauche étant la puissance d'un point $M$ par rapport à $\mathcal C$. Ce qui me donne l'équation du cercle inscrit. Sous geogebra, ces équations prennent une forme particulièrement jolie :
    $$\boxed{\sum_{a}^{}a²BC-\sum_{a}^{}a((s-a)²A)=0}$$https://www.geogebra.org/classic/zz6p2qa2


  • Vassillia
    Modifié (11 Jul)
    Parfait, pourquoi ne pas l'appliquer à l'exercice de ton choix histoire de rentabiliser la création de cette nouvelle fonction ?
    En tout cas, tu as parfaitement compris, c'est exactement le même principe que pour le veronese conique (dépendance linéaire) sauf qu'il y a moins de liberté donc moins de paramètres vu qu'un cercle passe forcément par les ombilics.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • stfj
    Modifié (11 Jul)
    Rappelle-moi, @Vassillia, ce qu'est un ombilic, stp. Un cercle , c'est $$\sum_{a}^{}a²BC-(A+B+C)\sum_{a}^{}\alpha A=0$$caractérisé par $\alpha, \beta, \gamma$. Je les attends de pied ferme tes machins hic.

  • Ce sont les 2 points à l'infini par lesquels passent tous les cercles, on en avait parlé sur le fil géométrie projective pour agrégatifs.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
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