condition suffisante pour une action doublement transitive

Bonjour,
Voici ce qui me pose problème : Pour qu'une action d'un groupe G sur un ensemble X soit doublement transitive il suffit (il faut aussi, mais ça c'est évident) que, pour tout x de X, les restrictions de l'action à Gx x X\{x} --> X\{x} soient transitives. (Gx étant le stabilisateur de x)
Bien sûr j'ai fait un début de recherche mais je ne vois pas comment conclure.
Avez-vous une piste ? 
Pour info c'est un exo du passionnant bouquin de Philippe Caldéro : "Histoires hédonistes de groupes et de géométries".

Merci !

Réponses

  • N'oublions Jérôme Germoni en tant qu'auteur du passionnant bouquin. Je n'ai pas trouvé plus simple que le raisonnement suivant.

    Soit $x, y, z, w \in X$ avec $x \neq y$ et $z \neq w$. Notons que si $G=G_x$ par exemple, on a nécessairement $X=\{x\}$ ou $X=\{x, y\}$ (si on a un élément $a \in X \setminus \{x, y\}$, l'hypothèse donne $g \in G_y$ envoyant $a$ sur $x$, mais alors $g^{-1}.x=a \neq x$, contrairement au fait que $g^{-1} \in G_x$) auquel cas la double transitivité est immédiate.

    Si $z = x$, alors $y, w \in X \setminus \{x\}$ et donc par hypothèse il existe $g \in G_x$ tel que $g.y=w$. Mais comme $g \in G_x$, cela veut dire qu'on a aussi $g.x=z$, et donc ce $g$ convient. On conclut de même si $w=y$.

    On suppose donc maintenant que $z \neq x$ et $w \neq y$. Si $x=w$, soit $g \in G \setminus G_x$. Notons alors $t = g.x \neq x$. Comme $z \neq x$, il existe $k \in G_x$ tel que $k.t=z$. Puisque $y \neq x$, soit maintenant $h \in G_x$ tel que $h.y=g^{-1}.x \neq x$. On a donc finalement $kgh.x = kg.x=k.t=z$ et $kgh.y=kg.(g^{-1}.x) = k.x=x=w$.

    On suppose donc pour finir que $x \neq w$ et $y \neq z$. L'hypothèse donne donc $g \in G_x$ tel que $g.y=w$ et $h \in G_w$ tel que $h.x=z$. On a finalement $hg.x=h.x=z$ et $hg.y=h.w=w$.

  • Il y a un obstacle idiot lorsque le groupe agit trivialement sur deux éléments. Les stabilisateurs sont transitifs sur les complémentaires des points mais aucun élément du groupe ne permute les éléments de l'ensemble.
    Sinon il me semble que la question a été posée il y a quelques semaines, je vais tâcher de retrouver le fil.
  • Foys
    Modifié (10 Jul)
    On suppose que $|X| \neq 2$ (voir objections précédentes). On peut procéder en deux étapes et d'abord montrer que l'action est transitive (ensuite, soient $a,b,a',b'$ dans $X$ tels que $a\neq a'$ et $b \neq b'$. Par transitivité, il existe $g_0\in G$ tel que $g_0 a = b$. Alors $g_0 a' \neq b$ et comme $b' \neq b$, il existe $g_1\in G$ tel que $g_1 b = b$ et $g_1 g_0 a' = b'$; bref en posant $g:= g_1 g_0$, $g a = b$ et $g a' = b'$).

    Montrons que l'action est transitive. C'est évident si $|X| = 1$. Sinon soient $x,y \in X$. Comme $|X| \geq 3$, il existe $z\in X \backslash \{x,y\}$ et par hypothèse, $g\in G$ tel que $gz = z$ et $gx = y$. CQFD.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Merci infiniment pour vos réponse.
    Mes sincères excuses à Jérôme Germoni que j'ai omis par négligence.
  • Ça y est, j'ai retrouvé (à grand-peine) le fil récent et je poste à nouveau une figure (qui me semble) parlante.

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