Sur un même cercle

Bonjour,
Soit $ABC$ un triangle, $\ell$ la A-médiane de $ABC$, $D$ le symétrique de $B$ par rapport à $\ell$, $E$ le symétrique de $C$ par rapport à $\ell$, $F$ le centre du cercle inscrit du triangle $BCD$, $G$ l'orthocentre du triangle $BCF$.

Question : Montrer que $D, E, F, G$ sont cocycliques.
Amicalement

Réponses

  • Vassillia
    Modifié (9 Jul)
    Bonjour @Bouzar
    Il me vient une question : pourquoi ne pas partir du triangle $BCD$ puis définir ensuite la droite $l$ comme passant par le milieu de $[BC]$ et le milieu de $[BD]$.
    J'ai l'impression que ta construction est indépendante du point $A$ ou alors je n'ai pas tout compris ? Accessoirement, cela rend les calculs plus facile (le centre du cercle inscrit peut être casse-pied à calculer si ce n'est pas celui du triangle de base)
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Bonjour Vassillia,
    J'ai repris à l'identique l'énoncé transmis par le mathématicien Ercole Suppa.
    Cordialement
  • Vassillia
    Modifié (9 Jul)
    C'est une très bonne raison, quoi qu'il en soit, je reste sur mon idée de partir de $BCD$.
    La condition de cocyclicité est $(d^2b + b^3 + d^2c - 2dbc + b^2c - bc^2 - c^3)(d^2 - b^2 - c^2)(d + b - c)=0$ or comme on doit avoir $BCD$ triangle rectangle en $D$, c'est bon !
    Avec bien sûr $d=Distance(B,C)$ ; $b=Distance(C,D)$ et $c=Distance(D,B)$
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Salut à tous 
    Soientt $J$ l 'excentre de $ DBC$, $M$ le centre du rectangle $BDCE$; $DH$ la hauteur de $DBC$;
    on a $J$ est le symétrique  de $I$  par rapport au centre du cercle de $IBC$,
    $G$  est le symétrique  de $J$  par rapport à $M$
    $\angle (IG,GE)=\angle (BC^{\perp},DJ)$
    de plus $\angle (DI,DE)=\angle (DH,DI)=\angle (BC^{\perp},DI)$
    finalement le résultat s'ensuit






  • Bonjour Vassillia et RHOM,
    Merci pour vos contributions.
  • stfj
    Modifié (11 Jul)
    Bonjour, j'ai suivi l'idée de Vassillia de prendre $BDC$ comme triangle de base. J'ai changé les notations en permutant les lettres A et D, et en appelant I le centre du cercle inscrit dans ABC. Je parviens alors à trouver les coordonnées barycentriques de E et de G, mais ne parviens pas en exploitant $$a^2=b^2+c^2$$à prouver que det([v(A),v(E),v(I),v(G)])=0. En tout cas, cela m'aura permis de tester mon veroneseCercle.
    _______________________
    var ('a b c ')
    A=vector([1,0,0])
    B=vector([0,1,0])
    C=vector([0,0,1])
    Linf=vector([1,1,1])

    pyth=1/2*matrix([[0,-c^2,-b^2],[-c^2,0,-a^2],[-b^2,-a^2,0]])
    AB=A.cross_product(B)
    BC=B.cross_product(C)
    CA=C.cross_product(A)

    def sym(vec0,vec1) :
      Un=matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]])
      OOO=matrix( [ [vec0[0],vec0[0],vec0[0]],[vec0[1],vec0[1],vec0[1]],[vec0[2],vec0[2],vec0[2]] ] )
      symO=2*OOO-(vec0[0]+vec0[1]+vec0[2])*Un
      vec=symO*vec1
      return vec                                       

    def veroneseCercle(vec):
        vecteur=vector([vec[0],vec[1],vec[2],(a^2*vec[1]*vec[2]+b^2*vec[0]*vec[2]+c^2*vec[0]*vec[1])/(vec[0]+vec[1]+vec[2])])
        return vecteur

    def perpendiculaire(droite,point,pyth,Linf):
      inf=droite.cross_product(Linf)
      droiteortho=pyth*inf
      orthopoint=droiteortho.cross_product(Linf)
      perp=orthopoint.cross_product(point)  
      return perp

    def symorth(d, p):
       pd=perpendiculaire(d,p,pyth,Linf).cross_product(d)
       pp=sym(pd, p)
       return pp

    aI=perpendiculaire(BC,I,pyth,Linf)
    Cp=vector([1,1,0])
    l=perpendiculaire(AB,Cp,pyth,Linf)

    IC=I.cross_product(C)
    ICB=perpendiculaire(IC,B,pyth, Linf)
    G=ICB.cross_product(aI)
    E=symorth(l,C)
    Ma=matrix([veroneseCercle(E),veroneseCercle(I),veroneseCercle(A),veroneseCercle(G)])
    _________________
  • Vassillia
    Modifié (11 Jul)
    Qu'est-ce qui te bloque ?
    Je te propose de rajouter : print(factor(det(Ma))) à la fin de ton programme et la conclusion vient toute seule normalement (bravo d'ailleurs).
    Remarque : tu n'as pas la même condition de cocyclicité que moi. C'est normal. J'ai défini $l$ comme la droite passant par les milieux de $[BD]$ et $[BC]$. Tu as défini $l$ comme la médiatrice de $[BD]$, choix tout à fait légitime qui te permettra de conclure quand même.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • stfj
    Modifié (11 Jul)
    Tu as raison : ça marche finalement. J'avais utilisé "expand" : cela me donnait des résultats affreux mais avec "factor", j'obtiens $$-1/4*(a^2 - b^2 - c^2)*(a + b + c)^3*(a + b - c)^2*(a - b + c)^2*(a - b - c)*(a - b)*a^3*c=0$$

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