Matrice de projection orthogonale

Bonjour à tous,

je dispose d'une matrice $A \in M_n(\R)$ telle que pour un entier $k \geq 2$ l'on ait $:A^k=A^T$. A partir de ces hypothèses, j'aimerais montrer que la matrice $B=A^{k+1}=AA^T$ est la matrice de la projection orthogonale de base $Im(A)$.
Si j'arrive facilement à montrer que $Im(A)$ et $ker(A)$ sont orthogonaux, que $Im(B)=Im(A)$ et $ker(B)=ker(A)$, la suite me pose problème et je tourne en rond sans parvenir à conclure. Quelqu'un aurait il une idée sur la façon de procéder ?

Bonne journée

F.

Réponses

  • JLapin
    Modifié (9 Jul)
    $A$ et $A^T$ commutent donc tu pourrais utiliser la réduction des endomorphismes normaux pour te simplifier la tâche.

    Sinon, vu ce que tu as déjà fait, il te reste à montrer que $AA^T = I_n$ si $A$ est inversible.
    De la relation initiale tu peux déduire $A^{k^2-1} = I_n$ puis, comme $A$ et $A^T$ commutent, $(AA^T)^{k^2-1}=I_n$.
    Il ne te reste plus qu'à adapter la preuve de l'unicité de la racine carrée d'une matrice symétrique définie positive utiliser le théorème spectral pour conclure.
  • Super merci beaucoup !

    Pour conclure et passer de $A$ inversible à $A$ quelconque, il suffit de considérer une base orthonormée $(e_1,..,e_r,..,e_n)$ telle que $(e_1,..e_r)$ soit une base de $Im(A)$ et $(e_{r+1},..,e_n)$ soit une base de $ker(A)$. La matrice de $A$ dans cette base est alors de la forme $$  \left( \matrix{A_r & 0 \\ 0 & 0} \right)$$ avec $A_r$ inversible qui vérifie les propriétés initiales et est inversible ?

  • JLapin
    Modifié (9 Jul)
    A part le fait que tu ne devrais pas parler de la matrice d'une matrice mais plutôt faire intervenir une matrice de changement de base (qui sera une matrice de $O_n(\R)$) pour relier $A$ et ta matrice diagonale par blocs, c'est ce que j'avais en tête.
    Au passage, j'ai un peu modifié mon précédent message.
  • Bonjour etanche, le roi des liens

    Peux-tu s'il te plait m'expliquer pourquoi le lien que tu cites répond à la question
    Très cordialement 
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • On a $A^{k^2} = A$ donc, comme $A$ et $A^T$ commutent, $(AA^T)^{k^2} = AA^T$.
    Comme $0$ et $1$ sont les seules racines réelles positives de $X^{k^2}-X$, le théorème spectral conclut directement.
    Merci pour le lien.
  • Re,

    effectivement JLapin le terme matrice de matrice est plus que maladroit....c'est un truc à se retrouver avec un tampon "horreur" sur une copie ;-) Sinon, effectivement le théorème spectral est nettement plus pratique dans ce cas.

    Je vais jeter un oeil sur le lien de Gebrane.

    En tous cas merci de vos réponses.

    Bonne journée à vous

    F.
  • fredaulycee2 a dit :


    Je vais jeter un oeil sur le lien de Gebrane.



    J'ai essentiellement résumé le thread de MSE dans mon précédent message, en tout cas ce qui t'intéresse pour cette question.
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