Critique d'un article de l'APMEP

stfj
Modifié (9 Jul) dans Géométrie
Bonjour,
Je m'intéresse à la notion de barycentre et suis tombé sur cet article de l'APMEP, que j'entends critiquer avec votre aide de façon aussi constructive que possible car, pour être honnête, je n'y comprends rien.
J'espère que cela vous intéressera. Pour moi, il est question de notre enseignement de la notion de barycentre depuis des décennies, j'y reconnais ce que je considère comme des erreurs, des errances dans cet enseignement, y compris celui que j'ai reçu en tant que lycéen dans les annés 86-87-88, et qui perdureraient donc en 2024.
Pour moi, aujourd'hui enseignant des lycées et collèges, vus les efforts nombreux que j'ai déployés autour de la notion de barycentre, et que j'entends bien rentabiliser via mon enseignement au collège pour le profit de mes élèves, il s'agit d'une question centrale, au coeur de mon enseignement présent, passé et à venir, où je m'efforce de ne pas reproduire les erreurs passées, présentes et à venir.
J'espère donc profiter de vos lumières.
Cordialement, Stéphane.
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PS: puisqu'il faut bien commencer par quelque chose, qu'est-ce que l' "espace affine scolaire", "objet à l'épistémologie molle"? Comme les espaces affines réels sont une des notions mathématiques fondamentales pour mon métier au quotidien, j'éprouve un compréhensible agacement à buter sur trois mots "scolaire", "épistémologie",et "molle" dans un article où il en est question, n'est-ce pas?

Réponses

  • stfj
    Modifié (9 Jul)
    Je rappelle par ailleurs qu'un espace affine serait difficilement "désigné par la lettre $\mathcal E$" dans la mesure où un espace affine n'est pas un ensemble mais un triplet $(\mathcal E,E,\Theta)$ par exemple. Il y plusieurs façons équivalentes de définir un espace affine(cf Géométrie pour l'élève professeur de Frenkel, p.2 et 3 par exemple) mais certainement pas comme un ensemble. Et les mots "scolaire", "épistémologie" et "molle" ne changent rien à cet état de fait. 
    Ensuite, il est question de "vecteurs géométriques en lien avec les translations et dont l’ensemble E, est normalement structuré en espace vectoriel. On introduit aussi un nouveau type d’objet : le point massif qui est un couple (λ,A) formé d’un réel et d’un point. La motivation, pas seulement physique, derrière l’introduction d’un tel objet sera examinée plus tard."
    Qu'est-ce que c'est que ce charabia indigeste ! Se mettre à trois pour écrire un tel paragraphe ne m'encourage pas au travail en commun. :) Mais évitons comme la peste les attaques ad hominem, qui risquent de desservir nos propos. Disons que c'est des attaques gentilles.
  • stfj
    Modifié (9 Jul)
    Il n'y a pas qu'en physique qu'un champ de vecteurs est défini comme une application de $\mathcal E$ dans $E$. C'est la définition mathématique d'un champ de vecteurs que les auteurs de l'article,(François Boucher, Guy Gauthier et la collaboration de Vincent Beck),  semblent ignorer. C'est un bon article que j'ai parcouru en diagonale, mais faut pas trop rentrer dans certains détails.
  • Vassillia
    Modifié (9 Jul)
    Bonjour @stfj je suis désolée mais je trouve que le charabia (pour reprendre tes mots) sur un espace affine défini comme un triplet est encore plus inutile et incompréhensible que l'article initial. Alors quitte à changer des choses, et j'y suis plutôt favorable, autant faire mieux que pire, n'est-ce pas ?
    Comment définir un barycentre au secondaire ? Je n'ai pas la réponse, je ne suis pas forcément hostile à cette présentation pour ne pas fâcher les puristes. Mais ce dont je suis sûre, c'est qu'il faut en garder l'image mentale d'une moyenne pondérée de points donc il faut rapidement mettre l'accent sur cet usage. De toute façon, je ne me fais pas d'illusion, les élèves oublient très vite tout ce qui ne leur a servi à rien, déjà qu'ils oublient parfois ce qui leur a servi.
    Ah au fait j'ignore volontairement la définition mathématiques de plein de trucs quand j'enseigne ! ;)
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • stfj
    Modifié (9 Jul)
    Bonjour @Vassillia,
    L'article s'adresse non à des élèves mais à des enseignants. Si, pour des raisons que je respecte, tu n'aimes pas la scolastique d'un Frenkel, tu apprécieras peut-être la définition de Jacques Dixmier dans son cours de 1è année :
    "12.7.1. Soit $E$ un espace vectoriel réel. On appelle espace affine attaché à $E$ un ensemble $A$, muni d'une application $$(P,x)\mapsto P+x$$ de $A\times E$ dans $E$, les axiomes suivants étant vérifiés :..."
    Mais tu as raison, je pinaille.
    Quant à la définition du barycentre au secondaire, elle existe déjà, même si on parle de "moyenne pondérée"$$\boxed{bar(\{(x_i,\lambda_i)\}_i)\doteq \frac{\sum_{i=1}^{n}\lambda_i x_i}{\sum_{i=1}^{n}\lambda_i}}$$Mes élèves de 3è savent tous calculer la moyenne de leurs notes. D'ailleurs ceux de 6è aussi.
    Quant à la définition du milieu d'un segment $ab$, comme Dieudonné le proposait, et pour reprendre le dictionnaire "peu important" des espaces affines selon Dixmier lui-même (p.199) $$\boxed{m\doteq a+\frac12(b-a)=\frac12 a+\frac12 b=a+\frac12 \overrightarrow{ab}}$$
    que n'importe quel élève de 6è peut éprouver dans un quadrillage.
    Cordialement, Stéphane.


  • Hum, puisqu'on parle de points, il me semble préférable de les écrire en majuscules conformément à leurs habitudes. 
    Au secondaire, j’espère que vous n'utilisez pas les symboles sigma et les indices de manière exagérée. Du moins pas en première approche, le language maths est un obstacle, et il me semble préférable de s'y habituer progressivement. 
    Mais tout va bien, si tu parles de moyenne pondérée, c'est le plus important.
    Pas d'opinion sur Frenkel, je ne l'ai jamais lu, mais à priori, ma préférence va plutôt sur une définition à la Dixmier
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • stfj
    Modifié (14 Jul)
    Madame a du goût, c'est aussi la définition à la Artin je crois.
  • stfj
    Modifié (14 Jul)
    J'imagine un jeune collègue qui tombe sur un tel article. Que va-t-il se dire au bout de 30 lignes? Probablement un truc dévalorisant pour lui-même alors qu'il ne s'agit que d'une scolastique ridicule capable de noyer la notion élémentaire de milieu [voir juste après la formule (3) de l'article]. J'en reviens donc à mon dada donné dans la deuxième formule encadrée ci-dessus.
    Aucun mathématicien n'imposerait de telles circonlocutions avant d'arriver à la notion de milieu$^1$. Mais on les impose à de jeunes collègues qui se croient obligés ensuite de les imposer à de pauvres élèves vite écoeurés d'un tel gloubi-boulga, et on les comprend.
    Les auteurs de l'article expliquent ces circonlocutions : "conformément aux programmes successifs" et ils n'ont pas tort. Qui peut bien pondre de telles instructions alors que Dieudonné, Lang et d'autres avaient expliqué comment faire dès 1964 pour l'un et dans les années 70 pour l'autre? Lang élève d'Artin entre autres, cela devrait pourtant faire autorité. Quant à Dieudonné, un conseil : ne pas le citer à l'oral de l'agrégation, je peux vous l'assurer :)
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    $^1.- $ On plonge une espace affine $\mathcal E$ dans son enveloppe vectorielle $\widehat{\mathcal E}$, où le milieu de $AB$ est $$\frac12(A+B)$$Donc pour définir le milieu d'un segment d'un espace affine, on utilise de toute façon le milieu dans un espace vectoriel. Sans doute les rédacteurs de programmes de maths de cette époque ne connaissaient pas. D'où ma question insistante : qui peut bien pondre de telles instructions ? Peut-être les mêmes qui suppriment la géométrie projective du programme de l'agrégation (pour cacher leurs méfaits?)
    Quant aux auteurs de l'article, ils introduisent bien $\widehat{\mathcal E}$ après dans leur article.
  • stfj
    Modifié (17 Jul)
    Le reste du §1.1 ne pose pas de problème selon moi. C'est même très bien fait à mon avis.
     Dans le 2.5, l'utilisation des $\sin, \tan$ au lieu de $a,b,c$ me laisse perplexe : je ne m'en sers jamais. Les cas sont qualifiés de "faciles" sans la moindre justification digne de ce nom. Il aurait mieux valu renvoyer à des explications utiles au débutant dans la géométrie du triangle, du type : "voir Redécouvrons la géométrie de Coxeter". Par exemple, le point de Gergonne "facile", faut pas pousser.
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