Parabole

pappus
Modifié (9 Jul) dans Géométrie
Bonjour à tous
Une parabole est tracée sur l'écran de votre ordinateur.
Comment faire pour retrouver son foyer, son sommet et sa directrice?
Amicalement
pappus

Réponses

  • Bonjour Pappus,
    Ta donnée est donc des coordonnées "approximatives" (x_i, y_i) de points sur cette parabole et tu demandes les caractéristiques : par calcul numérique par exemple ? 
  • Bonjour, pappus,
    à quelles instruction avons-nous droit : tangente en un point, notamment ?
  • cailloux
    Modifié (9 Jul)
    Bonjour pappus,
    Une solution possible :
    Deux cordes parallèles $[AA']$ et $[BB']$ ainsi que leurs milieux $a$ et $b$ permettent de récupérer la direction asymptotique et la tangente à la parabole en $C$ parallèle aux deux cordes..

    De $a'$ symétrique de $a$ par rapport à $C$ on mène les tangentes en $A$ et $A'$.
    Les symétriques des directions asymptotiques en $A$, $A'$ et $C$ par rapport aux tangentes en ces points concourent en $F$ foyer de la parabole.
    Directrice et sommet sont une formalité.
    Amitiés.
    Bonjour à tous !
  • Sauf erreur de ma part, trois points définissent une parabole.  
    encore une belle erreur de ta part... c'est regrettable qu'un géomètre, qui se dit expérimenté, ne le sache pas.
  • Vassillia
    Modifié (9 Jul)
    Bonjour, c'est combien de points leon1789 ? Je dirais 4.
    Pour moi une conique est définie par 5 (points ou tangentes). Pour une parabole, on a une tangente obligatoire, la droite de l'infini donc il en reste 4.
    Rappellons que je ne suis pas géomètre donc encore moins géomètre expérimentée, je fais ce que je peux.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Merci Cailloux.
    Bravissimo!
    Oui c'est une solution comme la tienne que j'attendais.
    Elle exige une connaissance approfondie des propriétés affines de la parabole.
    Une autre solution possible?
    Notre logiciel fournit gratis pro deo une équation de cette parabole dans un repère orthonormé choisi soit par le logiciel soit par son utilisateur.
    A partir de cette équation, on calcule les coordonnées du foyer, du sommet et l'équation de la directrice.
    De tout ça on fait un code qu'on rentre dans le logiciel.
    On appuie sur la touche entrée et comme de petits diables sortant de leurs boites apparaissent sur l'écran le foyer, le sommet et la directrice!
    Amitiés
    pappus
    Je le sais , c'est regrettable!
    Peux-tu donner au géomètre inexpérimenté que je suis la construction de la parabole passant par trois points?
  • Bouzar
    Modifié (9 Jul)
    Bonjour pappus,
    étape 0: On dispose d'une parabole tracée.
    étape 1: On place deux points distincts $P_1$ et $P_2$ sur la parabole. On trace ensuite la tangente $T_1$ en $P_1$ et la tangente $T_2$ en $P_2$ à la parabole $\mathcal{P}$. Soit $Q$ le point d'intersection entre $T_1$ et $T_2.$
    étape 2 : D'une part, la perpendiculaire passant par $Q$ à $T_1$ coupe la perpendiculaire passant par $P_1$ à $T_2$ au point $M1$ situé sur la directrice de la parabole $\mathcal{P}.$
    D'autre part, la perpendiculaire passant par $Q$ à $T_2$ coupe la perpendiculaire passant par $P_2$ à $T_1$ au point $M_2$ situé sur la directrice de la parabole $\mathcal{P}.$
    La droite $(M_1M_2)$ est la directrice de la parabole $\mathcal{P}.$
    étape 3 : La perpendiculaire à la directrice passant par $P_1$ coupe cette directrice en $R_1.$ La perpendiculaire à la directrice passant par $P_2$ coupe cette directrice en $R_2.$
    La réflexion de la perpendiculaire à la directrice passant par $P_1$ par rapport à $T_1$ et la réflexion de la perpendiculaire à la directrice passant par $P_2$ par rapport à $T_2$ se coupent au foyer $F$ de la parabole.
    étape 4 : La perpendiculaire à la directrice passant par le foyer $F$ est l'axe de symétrie de la parabole $\mathcal{P}$ et elle coupe $\mathcal{P}$ au point $S$ sommet de la parabole.
    Amicalement
  • Merci Bouzar
    Il y a un petit os dans ta construction!
    Comment fais-tu pour tracer la tangente en un point $P$ de la parabole?
    Au pifomètre?
    Amitiés
    pappus
  • Ben non, il n'y a pas d'os. La construction de Bouzar est largement possible. Sur un ordinateur il y a une équation, il suffit de dériver cette équation pour trouver la tangente. Bref merci Bouzar, au moins, ça répond à ma question, c'était bien 4 qu'il fallait à priori.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • pappus a dit :
    Je le sais , c'est regrettable!
    Peux-tu donner au géomètre inexpérimenté que je suis la construction de la parabole passant par trois points?
    Comme l'a dit Vassillia, il faut 4 points en position "générique" (je mets "générique" car il y a des configurations particulières où il n'y a pas existence, et d'autres il n'y a pas unicité).
  • Bonjour leon1789
    Tu as donc changé d'opinion?
    Peux-tu alors au moins nous donner la construction des éventuelles paraboles passant par quatre points en position "générique"?
    Amicalement
    pappus

  • Mon cher Bouzar
    Voilà où tu en es après ton étape n °1.
    Tu as "construit" vaille que vaille le triangle harpon $QP_1P_2$.
    Sur la figure ci-dessous le quadrangle $(Q,R,P_1, P_2)$ est harmonique et $F$ est le milieu du segment $QR$.
    Amitiés
    pappus

  • pappus a dit :
    Bonjour leon1789
    Tu as donc changé d'opinion?

    Re bonjour Pappus ;)
    J'ai changé d'opinion ??? ben non.
    Je disais que c'était une sacrée belle erreur de croire qu'il faut 3 points pour définir une parabole.
  • leon1789
    Modifié (9 Jul)
    et par 4 points (sauf exception), on peut faire passer 2 paraboles. Ok :) Pour paraphraser Vassillia, il "faut" fixer un cinquième point à l'infini. Mais il peut en exister deux possibles, ou aucun...
    Personnellement, j'ai une vision totalement algébrique (ou numérique) de la situation, du calcul brut, donc je ne pense pas que cela te satisfasse. 
  • pappus
    Modifié (9 Jul)
    Bonjour à tous
    Ce qui est sur et certain en tout cas, c'est qu'on est pas vrai de voir une telle construction.
    Je crois que Sir Isaac Newton s'est intéressé à cette pitoyable question en personne.
    Il serait bien surpris s'il revenait chez nous aujourd'hui de s'être donné tant de mal pour pas grand chose
    Grosso modo si on se donne un quadrangle $(A,B,C,D)$, on récupère le faisceau de coniques passant par ces quatre points, lequel définit sur la droite de l'infini une involution dont les éventuels points fixes sont les points à l'infini des paraboles cherchées. Il y a donc 0,1 ou 2 paraboles.
    Reste à les construire, peut-être après des tartines de wedges?
    Amicalement
    pappus

  • Finalement, le cas où il y a une seule parabole passant par les 4 points A,B,C,D est un cas exceptionnel, tout comme une équation de degré 2 possédant une seule solution dans les réels est un cas particulier.
  • Mon cher leon1789
    Bravo pour ta perspicacité!
    Amicalement
    pappus
  • pappus
    Modifié (9 Jul)
    Bonjour à tous 
    Je me suis fait un petit plaisir pour passer le temps (qui me reste?) plutôt que de me tourner les pouces!
    Comprenne qui pourra, cela n'a plus d'importance  et pourtant c'est soi-disant de la géométrie projective.
    Vous avez dit géométrie projective?
    Pauvre géométrie projective!!
    Amicalement
    pappus
    PS
    Plus facile? J'en doute!
    Construire les paraboles passant par les sommets d'un trapèze.

  • Vassillia
    Modifié (9 Jul)
    Team algébrique tout comme @leon1789
    C'est tellement plus simple, il suffit de sortir une matrice symétrique qui vérifie les 5 conditions mais que ça n'empêche pas tout le monde de proposer sa solution.
    D'ailleurs, je n'oublie pas que tu me dois un café leon1789 pour une histoire de panneaux solaires qui défient le hasard  ;)
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Piteux_gore
    Modifié (9 Jul)
    Bonjour,
    J'ai donné une solution avec plusieurs variantes, il y a quelques mois : Foyer d'une parabole.
    A tantôt...
    L'assassinat mène au vol et, de là, à la dissimulation. (Comtesse de Sédur)
  • Vassillia a dit :
    D'ailleurs, je n'oublie pas que tu me dois un café leon1789 pour une histoire de panneaux solaires qui défient le hasard  ;)
    Ah ça alors ! bon un jour peut-être... Quant à mes panneaux, obligé d'arrêter les relevés, problème d'enregistrement.
    </Hors Sujet>

  • Bonjour,

    J'ai deux questions, dont je n'ai pas la réponse:
    1) Étant donné $3$ points $A,B,C$, quel est le lieu des points $D$ tels qu'il n'existe qu'une seule parabole passant par $A,B,C,D$ ?
    2) Si une parabole passe par $4$ points $A,B,C,D$, cette parabole possède un perspecteur par rapport à chacun des triangles $ABC,ABD,ACD,BCD$. Que peut on dire des ces $4$ perspecteurs, à part qu'ils sont chacun sur l'ellipse de Steiner inscrite correspondante ?

    Cordialement,
    Rescassol

  • pappus
    Modifié (9 Jul)
    Mon cher Rescassol
    Pour ta question n°1, le lieu de $D$ est difficile à apercevoir même avec une bonne paire de jumelles.
    Pour ta question n°2, tu pars d'un quadrangle $ABCD$ et tu récupères un quadrangle de perspecteurs $abcd$ où $a$ est le perspecteur de la parabole par rapport au triangle $BCD$, etc, etc...
    Eh bien ces deux quadrangles ont le même triangle diagonal.
    Autrement dit les deux quadrangles $(A,B,C,D)$ et $(a,b,c,d)$ sont deux orbites harmoniques par rapport à leur triangle diagonal commun!
    On se doute bien qu'à côté d'une lamentable démonstration synthétique, il existe une glorieuse solution calculatoire à grands coups de wedges dévastateurs!
    Amitiés
    pappus

  • Bonsoir,

    je suppose que tu veux dire la droite de l'infini.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Vassillia
    Modifié (9 Jul)
    Le calcul donne en barycentriques $xyz(x+y+z)=0$ pour n'avoir qu'une seule au lieu de deux équations.
    Vous pouvez le vérifier sur cette figure https://www.geogebra.org/classic/j8852cnn en forçant $w=-u-v$
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • pappus
    Modifié (9 Jul)
    Mon cher Rescassol
    Tu as trouvé, bravo!
    Cela revient à dire qu'il existe une unique parabole passant par trois points et de direction asymptotique donnée.
    Au fait comment construire une telle parabole sur l'écran de ton ordinateur?
    Amitiés
    pappus
  • Vassillia
    Modifié (9 Jul)
    Voila les 2 équations à donner à l'ordinateur :
    TriangleCourbe(A,B,C,A*C*u*v^2 + B*C*u*v^2 - A*B*u*v*w - A*C*u*v*w + 2*B*C*u*v*w - A*B*v^2*w - A*C*v^2*w + A*B*u*w^2 + B*C*u*w^2 - A*B*v*w^2 - A*C*v*w^2 - 2*sqrt(-(u + v + w)*u*v*w)*A*C*v + 2*sqrt(-(u + v + w)*u*v*w)*A*B*w)/(u*(v + w)^2=0)
    TriangleCourbe(A,B,C,A*C*u*v^2 + B*C*u*v^2 - A*B*u*v*w - A*C*u*v*w + 2*B*C*u*v*w - A*B*v^2*w - A*C*v^2*w + A*B*u*w^2 + B*C*u*w^2 - A*B*v*w^2 - A*C*v*w^2 + 2*sqrt(-(u + v + w)*u*v*w)*A*C*v - 2*sqrt(-(u + v + w)*u*v*w)*A*B*w)/(u*(v + w)^2=0)
    Avec $D \simeq (u:v:w)$ les coordonnées barycentriques de $D$ par rapport à $ABC$ et si vous voulez un point à l'infini, il faut imposer $w=-u-v$ et on constate que les deux courbes fusionnent ce qui n'est pas trop étonnant vu leur équation.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Bonsoir à tous 
    Voici la figure correspondant au cas du trapèze.
    A quoi bon faire le moindre commentaire, les carottes sont bien cuites et recuites depuis longtemps!
    Amicalement
    pappus

  • RHOM
    Modifié (10 Jul)
    pappus a dit :


    Construire les paraboles passant par les sommets d'un trapèze.

    si nôtre  trapèze est un  parallélogramme alors il n'y a aucune parabole qui passe par ses sommets.
    dans l'autre cas  ( notre  trapèze est "propre")  j avance qu'il y a une seule  parabole $p$ en effet :
    la droite $d$ passant par les milieux des seuls cotés parallèles  désigne l'unique  direction asymptotique   ;
     projectivement nous avons 5 points donc elle est bien déterminé.
     nous allons quand même    construire un 5 point 'fini' :
      $ABCD$ trapèze t.q. $AB\parallel DC, AD\not \parallel CB$; construisons le point $K=p\cap d$ , on a $(A,B,K,\infty_{d})=-1$ ou $ (CA,CB; CK,C\infty_{d})=-1$
    laissons $ C\infty_{d} $ couper $AB$ en $U$  et traçons  le $4^e  $ harmonique $V$ de suite  la droite $CV $ coupera $d $ en $K$.
    on peut déduire  ;
    étant donné un triangle $ ABC$, le lieu du  quatrième point 'fini' qui détermine  une unique parabole est  l'union des  3 droites bipointés   passant respectivement par les sommets et parallèles au cotés opposés.








  • Bonsoir,

    On déduit ces quatre droites (la droite de l'infini et les parallèles au côtés opposés passant par les sommets) de l'équation donnée par Vassillia, que j'ai également retrouvée: $xyz(x+y+z)=0$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • pappus
    Modifié (9 Jul)
    Merci Rhom
    Je ne comprends pas très bien ce que tu as fait.
    Comme tu l'as dit, on connait cinq points de la parabole, $A$, $B$, $C$, $D$, $\infty_d$.
    L'embêtant c'est que si le logiciel permet de tracer une conique connaissant cinq points, il faut que ces cinq points soient à distance finie, d'où la nécessité de construire un cinquième point de la parabole à distance finie.
    Sur ma figure, c'est le point $S$ que je construis comme milieu de $EF$, encore faut-il le montrer!
    Je vais même plus loin car je suggère la construction d'un point quelconque $M$ de la parabole.
    Ici $S$ est le milieu du segment $mm'$, même rengaine: encore faut-il le prouver!
    Enfin ta droite $d$ n'est autre que ma droite $EF$, propriété autrefois bien connue du trapèze, est-elle encore enseignée? J'en doute fort!
    On se contente aujourd'hui d'ânonner ad nauseam l'axiome de Thalès en guise de géométrie affine!
    Amicalement
    pappus
    Enfin analytiquement les paraboles décomposées sont formées de deux droites parallèles.
    Il y a bien deux paraboles passant par les sommets d'un parallélogrammes mais elles sont décomposées.
    Idem pour le trapèze, il y a la parabole propre que nous venons de construire plus la parabole décomposée formée des droites $AB$ et $CD$.
  • RHOM
    Modifié (10 Jul)
    pappus a dit :

    Je ne comprends pas très bien ce que tu as fait.

     les paraboles décomposées sont formées de deux droites parallèles.

    salut à tous 
    @ pappus  j aimerais bien savoir quels sont les passages qui nécessitent une clarification: est-ce la construction de $K$ via $U$ et $V$  ou ...
      Les coniques propres ,en particulier les paraboles , sont 'distincts des coniques dégénérées  dont les droites font partie  selon la classification des coniques que je connais  à moins que je me trompe!
    Enfin dans ta construction de $S$ tu as utilisé un point $M$ qu'on a pas...

  • Mon cher RHOM
    Ce que je ne comprends pas dans ton exposé, c'est l'intervention du birapport $(A,B,K,\infty_d)$.
    (D'ailleurs ton point $K$ n'est autre que mon point $S$).
    Comme ces points ne sont pas alignés, comment est-il défini et comment est-il calculé?
    Dans ma solution, c'est le point $S$ qui joue le rôle de cinquième point à distance finie.
    Une fois ce point construit, plus de problème, on utilise l'outil "conique par 5 points" du logiciel, on appuie sur la touche "entrée" et la parabole surgit mystérieusement sur l'écran.
    Mais autrefois, c'était une toute autre histoire. Nos aïeux ne disposaient que d'une feuille de papier bouchonnée, d'une règle ébréchée et d'un compas rouillé.
    Du point de vue calculatoire, ils étaient aussi bons voire meilleurs que nous avec tous nos wedges.
    Ils savaient qu'il n'existait qu'une seule parabole propre circonscrite au trapèze et ils tenaient la construction de cette parabole comme acquise quand ils savaient construire (avec leurs instruments aujourd'hui obsolètes) un point quelconque $M$ de cette parabole (avec sa tangente éventuellement).
    Je n'ai pas construit cette tangente pour ne pas surcharger une figure déjà bien compliquée mais je ne t'interdis pas de le faire.
    Félicitations pour toutes les solutions synthétiques que tu nous a proposées depuis ton arrivée sur un forum croulant sous les wedges!
    Amicalement
    pappus

  • gai requin
    Modifié (10 Jul)
    Le faisceau des coniques passant par quatre points $A,B,C,D$ en position générale induit une involution sur la droite de l'infini d'après Desargues.
    Il y a donc en général deux paraboles passant par $A,B,C,D$.
    Si $AB\parallel CD$, l'une de ces paraboles est $AB\cup CD$.
    Si $ABCD$ est un parallélogramme, ces deux paraboles sont dégénérées.
  • Merci gai requin de confirmer ce que j'ai déjà dit.
    J'aurais préféré une justification de ma figure.
    Amitiés
    pappus
  • Vassillia
    Modifié (10 Jul)
    pappus a dit :
    Du point de vue calculatoire, ils étaient aussi bons voire meilleurs que nous avec tous nos wedges.

    Ah bon ? Maintenant il faut prouver cette assertion. Je propose une compétition entre pappus et un logiciel de calcul formel. Mieux je propose une compétition entre tous les anciens réunis et un logiciel de calcul formel même utilisé par un lycéen ou une lycéenne (comme ils ou elles apprennent python et à utiliser une calculatrice) et on pose des questions calculatoires :D
    Est-ce qu'on pourrait éviter la désinformation sur un forum de maths ?
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • gai requin
    Modifié (10 Jul)
    @pappus : Sur ta figure, $m\mapsto m’$ par la symétrie de centre le milieu $S$ de $EF$.
    Soit alors l’application affine $\mathcal F(D)\to\mathcal F(C)$, $Dm\mapsto Cm’$.
    D’après Chasles, l’ensemble des $Dm\cap Cm’$ est une parabole qui passe par $A,B,C,D$ et $\infty_{EF}$.
  • Merci gai requin
    C'est exact mais il aurait fallu énoncer le théorème de Chasles pour ceux qui ne le connaissent pas.
    Voir par exemple le cours de Sidler.
    Amitiés
    pappus
    PS
    Et la construction de la tangente en $M$ si chère à nos aïeux?
  •  Salut à tous.

    pappus a dit :

    Ce que je ne comprends pas dans ton exposé, c'est l'intervention du birapport $(A,B,K,\infty_d)$.
    (D'ailleurs ton point $K$ n'est autre que mon point $S$).
    Comme ces points ne sont pas alignés, comment est-il défini et comment est-il calculé?

    pappus

    soit $M$ le milieu de $AB$;
    $(A,B,K,\infty_d)=K(A,B,K,\infty_d) =(A,B,\infty_{AB},,M) \because  KK$ , la tangente à la parabole $p$ est parallèle à $AB$ et $K\infty_d$ passe par le milieu de $AB$ 
     ainsi notre birapport est   égal  à $-1$ .
    Best regards.
    RH HAS




  • Merci RHOM
    Ces quatre points n'étant pas alignés, je suppose que ce birapport est celui de ces quatre points de la parabole, muni de sa structure de droite projective?
    Quant au fait que la droite $K\infty_d$ passe par le milieu de $AB$ et aussi par celui de $CD$, c'est une propriété bien connue du trapèze que j'ai dû apprendre en quatrième ou en troisième, je ne me souviens plus très bien.
    Amicalement
    pappus

  • Chaurien
    Modifié (11 Jul)
    Dans un message du 9 juillet
    @pappus cite quatre lignes d'un énoncé demandant de construire une parabole qui passe par quatre points donnés et signalant que ce problème a été résolu par Newton.
    J'ai reconnu que ce bref extrait provient de : Heinrich Dörrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, their history and solution, Dover 1965, p. 208. 
    Cet ouvrage donne une solution élégante, proprement géométrique, bien sûr sans calculs interminables, indigestes et dépourvus de signification.
    Question en toute amitié à @pappus : lorsqu’on cite ainsi un livre, pourquoi ne pas donner toutes les références de la citation, ce qui permet aux autres de profiter de tout le contexte, ici de la solution complète ?
    Cet ouvrage est traduit de l’allemand Triumph der Mathematik, 1933
    Il y a une curieuse anecdote à son sujet. J'ai constaté la proximité de ce livre avec : Édouard Callandreau, Célèbres problèmes mathématiques, Albin Michel 1949
    Le principe est le même, un choix de problèmes issus de diverses parties des mathématiques, ici au nombre de 111. Il y a 43 problèmes communs aux deux livres. Celui qui nous occupe ici n'y figure pas.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
    11/07/2024

  • gai requin
    Modifié (11 Jul)
    Bonjour @pappus,
    En utilisant l'homographie $D\infty M\mapsto CM\infty$ de ta parabole, on peut construire la tangente en $M$ avec trois parallèles.

  • Bonjour,
    Chaurien:
    Cet ouvrage donne une solution élégante, proprement géométrique, bien sûr sans calculs interminables, indigestes et dépourvus de signification.
    C'est curieux cette manie du dénigrement, de la part de ceux qui sont persuadés de détenir la vérité vraie, alors que ce n'est que leur opinion et choix personnels.

    Cordialement,
    Rescassol

  • @pappus : Était-ce la construction de la tangente que tu attendais ?
  • pappus
    Modifié (11 Jul)
    Mon cher gai requin
    Ta construction est exacte mais ce n'est pas celle que j'attendais.
    La configuration que tu as sous les yeux est affine et devrait être appréhendée facilement par quiconque connait sa géométrie affine. Ce qui compte tenu des programmes actuels devrait être le cas général!
    Tu te doutes bien que c'est loin d'être le cas!
    Aujourd'hui plus personne ne sait ce qu'est une homographie (et encore moins une application affine) et  ce n'est pas demain la veille qu'on le saura à nouveau.
    En principe si la géométrie affine était correctement enseignée chez nous, il devrait en être de même des nombreuses propriétés affines de la parabole et c'est une de ces propriétés qui entraine une construction simple de la dite tangente en un de ses points.
    Curieusement, c'est même une construction connue très très tôt par nos lycéens depuis le début sans qu'ils s'en rendent compte, tout comme monsieur Jourdain faisait de la prose sans le savoir, puisqu'on se garde bien de leur dire quoique ce soit à ce sujet.
    L'analyse c'est l'Analyse avec un grand $A$.
    Quant à ses applications géométriques, elles ont disparu en même temps que la géométrie.
    Amitiés
    pappus

Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.