lemme de Dixon

Je viens vers vous très humblement car ayant bossé sur le lemme de Dixon toute la nuit, j'arrive sur un livre qui donne un énoncé du lemme de Dixon qui ne correspond pas à la version que j'ai étudiée, laquelle étant : Si $A$ est une partie de $\mathbb{N^n}$, l'ensemble des éléments minimaux de $A$ est fini.

À priori l'une implique l'autre mais il n'y a pas équivalence
Mots clés:

Réponses

  • Leonard Eugene Dickson (1874 – 1954)
  • Pour le contexte, il n'est peut-être pas inutile de signaler que cet exercice provient de :
    William W. Adams, Philippe Loustaunau,  An Introduction to Gröbner Bases, AMS 1994.
  • Merci @Chaurien mais est-ce possible de m'éclairer sur l'équivalence entre les 2 énoncés stp
  • Titi le curieux
    Modifié (9 Jul)
    Bonjour,
      Dans le sens Lemme de Dickson prouve cette propriété: ça marche si tous les éléments minimaux de $A$ sont des $\alpha_i$.
      Dans l'autre sens, tu prends les éléments minimaux de l'ensemble des $\alpha_i$ (pas la peine de faire appel au lemme de Dickson pour prouver qu'ils existent, c'est un ensemble fini), tout élément de $A$ est minoré par au moins l'un d'entre eux et aucun d'entre eux n'est minoré par un élément de $A$ autre que lui-même, ce sont les éléments minimaux de $A$.
     Tu avais bien fait attention que dans l'énoncé, il était précisé que les $\alpha_i$ sont des éléments de $A$?
  • Merci pour ta réponse Titi, 

    Je suis d'accord pour "l'autre sens" c'est celui dont je parlais, mais il me semble  pour le sens direct que  montrer l'inclusion de $A$ dans l'union en question est problématique car : si $x$ est dans $M$ il est tout à fait possible que $x$ possède tjr certaines coordonnées inférieures à celles des éléments minimaux de $A$ sans pour autant être lui minimal (ou alors c'est la que je bloque). 


  • Bonsoir,
       Je te conseilles de te pencher sur la propriété suivante: il n'existe pas de suite strictement décroissante: une suite décroissante va stagner au bout d'un moment, comme dans $\mathbb{N}$ (d'ailleurs sert-en pour démontrer la propriété dans $\mathbb{N}^n$) et les ensembles ordinaux. Cette propriété implique que tout élément est minoré par un élément minimal. 
  • Nickel merci beaucoup pour tes réponses, c'est bon pour moi !
  • (la propriété que tu évoques, elle est vraie dans quel cadre stp ?)

  • La propriété évoquée par @Titi le curieux est celle d'ordre bien fondé. Il y en a plein qui ont des têtes très différentes.
    La structure au cœur de ton exercice est celle de beau pré-ordre (BPO pour les intimes). Le lemme de Dickson énonce quant à lui que tout produit fini de BPO est un BPO. Il existe de nombreuses caractérisations des BPO. Celle qui t'intéresse pour ton énoncé est que $X$ est un BPO ssi $X$ est bien fondé et sans antichaîne infinie.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.