Deux perpendiculaires

dans Géométrie
Bonsoir,
1. ABC un triangle A-rectangle
2. (I) le cercle inscrit à ABC
3. M le milieu de [BC]
4. R, Q deux points de (AB), (AC) tels que BR= CQ = BC.
Question : (MI) est perpendiculaire à (DE).
Une élégante preuve synthétique est au rendez-vous.
Sincèrement
Jean-Louis
Réponses
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Bonjour,
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Bonjour,On obtient en barycentriques via sagemath$^1$ avec les notations habituelles, pour le produit scalaire de $\overrightarrow{MI}$ et $\overrightarrow{QR}$, à un facteur non nul près$$-a^{3} b - a^{2} b^{2} + a b^{3} + b^{4} + a^{3} c - a b^{2} c + a^{2} c^{2} + a b c^{2} - a c^{3} - c^{4}$$ce qui en utilisant $a^2=b^2+c^2$ permet de conclure.$\square$Cordialement, Stéphane.https://www.geogebra.org/classic/xkqnwv6a______________$^1.-$var ('a b c ')
A=vector([1,0,0])
B=vector([0,1,0])
C=vector([0,0,1])
pyth=1/2*matrix([[0,-c^2,-b^2],[-c^2,0,-a^2],[-b^2,-a^2,0]])
Q=vector([a,0,b-a])
R=vector([a,c-a,0])
M=vector([0,1,1])
I=vector([a,b,c])
def vecteur(X,Y) :
vec=vector([Y[0]/(Y[0]+Y[1]+Y[2])-X[0]/(X[0]+X[1]+X[2]),Y[1]/(Y[0]+Y[1]+Y[2])-X[1]/(X[0]+X[1]+X[2]),Y[2]/(Y[0]+Y[1]+Y[2])-X[2]/(X[0]+X[1]+X[2])])
return vec
nul=vecteur(Q,R)*(pyth*vecteur(M,I))
nul=2*nul*(a+b+c)
nul=expand(nul)
print (expand(2*b*c*nul/a))
nul =a^4/b - a^2*b - a^4/c - a^3*b/c + a^2*b^2/c + a*b^3/c + a^2*c + a^3*c/b - a^2*c^2/b - a*c^3/b
nul=expand(nul*b*c/a)
print (latex(nul))
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Bonsoir Jean-Louis,Peux-tu revoir ton énoncé.Cordialement
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Bonjour Jean-LouisVoici une autre figure où j'ai fait varier la droite $BC$.Amitiéspappus
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Bonjour à tousSur cette autre figure, c'est le point $A$ que je fais varier.Amicalementpappus
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Mon cher stfjEn effet ton produit scalaire vaut $(b-c)(a+b+c)(b^2+c^2-a^2)$Amicalementpappus
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soit $S$ le point de Miquel ; $M,M'$ les centres des cercles $SBC ,SQR$; $N,N'$ les antipodes de $S$ dans les deux cercleson a donc $SBC\sim SQR, SBQ\sim SCR$ $\because S $ centre de la similitude qui envoie $B\to Q$ ainsi que celle qui envoie $B\to C$.Mais $\angle BSA= 90^°, BQ=CR$ alors $SB=SC$ ; $S,N$ et $S,N'$ sont les midpoints des arcs $BC,QR$ respectivement.il est clair que $N',A,I,N$ sont alignés $(\because NA\perp AS,SA\perp AN)$ et $MM'\parallel NN' (\because MM'$ est perpendiculaire à l'axe radical )nous avons aussi $SMM'\sim SBQ$ donc $\frac{MM'}{BC}=\frac{SM}{SB}=\frac{SB}{BC}$ on deduit $MM'=SB=NI$;en plus le théorème des milieux assure que $NN'=2MM'$ il en decoule $IN'=MM'$ ce qui mène à $IN'M'M$ est un parallélogramme implique $MI\parallel M'N'$ finalement $MI\perp QR$.
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Mon cher pappus,Oui, via sagemath par exemple___________________var('a b c')
nul=a^4/b - a^2*b - a^4/c - a^3*b/c + a^2*b^2/c + a*b^3/c + a^2*c + a^3*c/b - a^2*c^2/b - a*c^3/b
nul=expand(nul*b*c/a)
nul=factor(nul)
print (nul)____________________Donc $$MI \bot QR \iff -{\left(a^{2} - b^{2} - c^{2}\right)} {\left(a + b + c\right)} {\left(b - c\right)}=0 $$ $$\iff \begin{cases} b=c \\ \text{ ou} \\ a^2=b^2+c^2 \end{cases}$$ $$\iff \begin{cases}ABC \text{ est équilatéral, auquel cas (classique) }Q=C \text{ et }R=B\\ \text{ou} \\ABC \text{ est rectangle en }A \end{cases}$$Cordialement, Stéphane.
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Bonjour,
une coquille dans mon énoncéR le point de [BA[ tel que BR = BC
Q le point de [CA[ tel que CQ = CB..
Question : (MI) est perpendiculaire à (QR) et no (DE).
Merci Bouzar pour ta remarque et RHOM pour ta preuve...il est possible de se baser sur un théorème permettant de conclure plus rapidement...
Sincèrement
Jean-Louis
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Bonjour!
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