Deux perpendiculaires

Bonsoir,

1. ABC   un triangle A-rectangle

2. (I)        le cercle inscrit à ABC

3. M        le milieu de [BC]

4. R, Q    deux points de (AB), (AC) tels que BR= CQ = BC.                         

Question :             (MI) est perpendiculaire à (DE). 

Une élégante preuve synthétique est au rendez-vous.

Sincèrement

Jean-Louis







Réponses

  • Bonjour,

  • stfj
    Modifié (8 Jul)
    Bonjour,
    On obtient en barycentriques via sagemath$^1$ avec les notations habituelles, pour le produit scalaire de $\overrightarrow{MI}$ et $\overrightarrow{QR}$, à un facteur non nul près
    $$-a^{3} b - a^{2} b^{2} + a b^{3} + b^{4} + a^{3} c - a b^{2} c + a^{2} c^{2} + a b c^{2} - a c^{3} - c^{4}$$ce qui en utilisant $a^2=b^2+c^2$ permet de conclure.$\square$
    ______________
    $^1.-$
    var ('a b c ')
    A=vector([1,0,0])
    B=vector([0,1,0])
    C=vector([0,0,1])
    pyth=1/2*matrix([[0,-c^2,-b^2],[-c^2,0,-a^2],[-b^2,-a^2,0]])
    Q=vector([a,0,b-a])
    R=vector([a,c-a,0])
    M=vector([0,1,1])
    I=vector([a,b,c])
    def vecteur(X,Y) :
        vec=vector([Y[0]/(Y[0]+Y[1]+Y[2])-X[0]/(X[0]+X[1]+X[2]),Y[1]/(Y[0]+Y[1]+Y[2])-X[1]/(X[0]+X[1]+X[2]),Y[2]/(Y[0]+Y[1]+Y[2])-X[2]/(X[0]+X[1]+X[2])])
        return vec
    nul=vecteur(Q,R)*(pyth*vecteur(M,I))
    nul=2*nul*(a+b+c)
    nul=expand(nul)
    print (expand(2*b*c*nul/a))
    nul =a^4/b - a^2*b - a^4/c - a^3*b/c + a^2*b^2/c + a*b^3/c + a^2*c + a^3*c/b - a^2*c^2/b - a*c^3/b
    nul=expand(nul*b*c/a)
    print (latex(nul))


  • Bonsoir Jean-Louis,
    Peux-tu revoir ton énoncé.
    Cordialement
  • pappus
    Modifié (8 Jul)
    Bonjour Jean-Louis
    Voici une autre figure où j'ai fait varier la droite $BC$.
    Amitiés
    pappus

  • pappus
    Modifié (8 Jul)
    Bonjour à tous
    Sur cette autre figure, c'est le point $A$ que je fais varier.
    Amicalement
    pappus

  • Mon cher stfj
    En effet ton produit scalaire vaut $(b-c)(a+b+c)(b^2+c^2-a^2)$
    Amicalement
    pappus
  • soit $S$ le point de Miquel ; $M,M'$ les centres des cercles $SBC ,SQR$; $N,N'$ les antipodes de $S$ dans les deux cercles
    on a donc $SBC\sim SQR, SBQ\sim SCR$  $\because S $ centre de la similitude   qui envoie $B\to Q$ ainsi que  celle qui envoie $B\to C$.
      Mais $\angle BSA= 90^°, BQ=CR$ alors $SB=SC$ ; $S,N$ et $S,N'$ sont les   midpoints  des arcs $BC,QR$ respectivement.
    il est clair que $N',A,I,N$ sont alignés $(\because NA\perp AS,SA\perp AN)$   et  $MM'\parallel NN'  (\because MM'$ est perpendiculaire à l'axe radical )
     nous avons aussi $SMM'\sim SBQ$ donc $\frac{MM'}{BC}=\frac{SM}{SB}=\frac{SB}{BC}$ on deduit $MM'=SB=NI$;
     en plus le  théorème  des milieux assure que $NN'=2MM'$ il en decoule $IN'=MM'$ ce qui mène à $IN'M'M$ est un parallélogramme  implique $MI\parallel  M'N'$ finalement $MI\perp QR$. 





  • stfj
    Modifié (9 Jul)
    Mon cher pappus,
    Oui, via sagemath par exemple
    ___________________
    var('a b c')
    nul=a^4/b - a^2*b - a^4/c - a^3*b/c + a^2*b^2/c + a*b^3/c + a^2*c + a^3*c/b - a^2*c^2/b - a*c^3/b
    nul=expand(nul*b*c/a)
    nul=factor(nul)
    print (nul)
    ____________________
    Donc $$MI \bot QR \iff -{\left(a^{2} - b^{2} - c^{2}\right)} {\left(a + b + c\right)} {\left(b - c\right)}=0 $$ $$\iff \begin{cases} b=c   \\ \text{ ou} \\ a^2=b^2+c^2 \end{cases}$$ $$\iff \begin{cases}ABC \text{ est équilatéral, auquel cas (classique) }Q=C \text{ et }R=B\\ \text{ou} \\ABC \text{ est rectangle en }A \end{cases}$$
    Cordialement, Stéphane.

  • Bonjour,

    une coquille dans mon énoncé

    R             le point de [BA[ tel que BR = BC

    Q             le point de [CA[ tel que CQ = CB..

    Question :                 (MI) est perpendiculaire à (QR)    et no (DE).


    Merci Bouzar pour ta remarque et RHOM pour ta preuve...il est possible de se baser sur un théorème permettant de conclure plus rapidement...

    Sincèrement

    Jean-Louis




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