Une EDO de Clairaut

Bonjour,
soit $(\Gamma)$ le graphe d'une fonction de classe suffisante ; les tangentes en deux points coupent les axes de coordonnées en des points $A_1,A_2,B_1$ et $B_2$. A quelle condition les droites $A_1B_2$ et $A_2B_1$ sont-elles toujours parallèles ?



Les EDO de Clairaut ne satisfaisant pas aux conditions du théorème local de Cauchy-Lipschitz, la résolution d'icelles requiert un peu de... bonne humeur :) 

Réponses


  • Pour bouger les eaux stagnantes,

    La tangente en un point $A = (a, f(a))$ de $\Gamma = C_f$ est 
    $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

    Je note $P_1$ et $P_2$ deux points de $\Gamma$. Pour que les tangentes à $\Gamma$ en $P_1 = (x_1, f(x_1))$ et $P_2 = (x_2, f(x_2))$ rencontrent ll'axe des abscisses , il faut nécessairement que $f'(x_1)$ et $f'(x_2)$ soient non nuls.

    L'équation de la pente de la droite $A_2B_1$ est :
    $\text{Pente de } A_2B_1 = \frac{(f(x_1) - x_1 f'(x_1)) - 0}{0 - (x_2 - \frac{f(x_2)}{f'(x_2)})} = \frac{f(x_1) - x_1 f'(x_1)}{-x_2 + \frac{f(x_2)}{f'(x_2)}}$.

    Pour que les droites $A_1B_2$ et $A_2B_1$ soient toujours parallèles, il faut que :
    $\frac{f(x_2) - x_2 f'(x_2)}{-x_1 + \frac{f(x_1)}{f'(x_1)}} = \frac{f(x_1) - x_1 f'(x_1)}{-x_2 + \frac{f(x_2)}{f'(x_2)}}$.



    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Bonjour, fiston,
    à présent, pour continuer, il suffit de remarquer que $F(x_1)=F(x_2)$ pour tout $(x_1,x_2)$ ssi $F$ est constante.

    Je rappelle la méthode formelle de résolution des EDO de la forme $y-xy'=\varphi(y')$ : 

    Les graphes des solutions sont les droites affines d'équation $Y-mX=\varphi(m)$  ainsi que l'enveloppe de cette famille de droites. C'est bien entendu l'enveloppe qui donne une courbe intéressante.


  • gebrane
    Modifié (8 Jul)
    Intéressant! . Si je note $F(x) = (f(x) - x f'(x)) \left( x - \frac{f(x)}{f'(x)} \right)$ alors les deux droites sont parallèles ssi $F(x_1)=F(x_2)$. Pour le calcul de $F'$, je trouve

    $F'(x) = (- x f''(x)) \left( x - \frac{f(x)}{f'(x)} \right) + \left( f(x) - x f'(x) \right) \frac{f(x) f''(x)}{f'(x)^2}$
    Donc à démontrer si j'ai compris, que les deux droites sont parallèles ssi pour tout x avec f'(x) non nul, 
    $$(- x f''(x)) \left( x - \frac{f(x)}{f'(x)} \right) + \left( f(x) - x f'(x) \right) \frac{f(x) f''(x)}{f'(x)^2}=0$$

    C'est cauchemardesque

    edit je viens de voir que $F(x)=-\frac{(f(x) - x f'(x))^2}{f'(x)}$

    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Pour supprimer le cauchemar, évite de redériver : une EDO d'ordre $1$ fera l'affaire.
  • gebrane
    Modifié (8 Jul)
    délicieux problème, donc j'avance à pas de tortue, $F$ est constant s'il existe C tel que \[ (f(x) - x f'(x))^2 = C f'(x) \]. Cette condition  à relier  à une équation de Clairaut.


    \[ f(x) = x f'(x) \pm \sqrt{C f'(x)} \]

    Le cauchemar est toujours  présent, il y a un gouffre entre  \[ (f(x) - x f'(x))^2 = C f'(x) \] et \[ f(x) = x f'(x) \pm \sqrt{C f'(x)} \]
    je re le soir 

    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • gebrane
    Modifié (8 Jul)

    Pour respecter l'allure de la courbe  de mon papa, la fonction \( f \) me semble-t-il, il la suppose 
    strictement (décroissante, convexe, positive) et définie suffisamment dérivable sur \( ]0, +\infty[ \). ( comme modèle $f(x)=e^{-x}$)

    Si je dérive \( F(x) = -\frac{(f(x) - x f'(x))^2}{f'(x)} \), je trouve : (  correction coquille du signe)

    \[ F \text{ est constante } \iff \forall x>0, F'(x) = 0 \iff \forall x>0, \left( \frac{f(x)^2}{f'(x)^2} - x^2 \right) f''(x) = 0 \iff \forall x>0, \frac{f(x)^2}{f'(x)^2} = x^2 \iff \forall x>0, \frac{|f(x)|}{|f'(x)|} = |x|\iff \forall x>0, f(x) +x f'(x)=0 \iff \forall x>0,  , f(x)=\frac c x\]  
    Ca plait pas à mon papa  





    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • marco
    Modifié (8 Jul)
    $f(x)=\frac{a}{x}$ est solution de $(f(x)-xf'(x))^2=Cf'(x)$ si $C=-4a$.
  • Bien vu marco, même wolfram se trompe, il croit que les solutions de  $(f(x)-xf'(x))^2= c f'(x)$ 
    sont affines 
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Je viens d'ouvrir le révéler de John, il se trompe aussi comme wolfram sur la nature des solutions , elles ne sont pas forcement affines 
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Bonsoir,
    les EDO de Clairaut sont atypiques : pour $C$ scalaire fixé, on a les solutions affines $f_m\,:\,x\mapsto mx+\sqrt{Cm}$, où $m$ est tel que $Cm\geqslant0$, et la solution (que l'on appelait singulière) $x\mapsto -C/(4x)$, dont le graphe est l'enveloppe de ceux des $f_m$. Les points caractéristiques des droites, graphes des $f_m$, sont des points de bifurcation des solutions.
  • Ok, j'avais mal interprété ta phrase  ainsi que l'enveloppe de cette famille de droites.
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Une question amusante
    Soit $\Gamma$ la courbe de exp(-x) ou 1/x et P=(a,f(a)) un point sur $\Gamma$. la tangente en P à C_f rencontre les deux axes en A et B, chercher a pour que l'aire du triangle OAB soit maximale
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • dirikly
    Modifié (9 Jul)
    Bonjour

    On a : 
    $$\left(A_1 B_2\right) \quad \frac{x}{a_1}+\frac{y}{b_2}  =1 $$
    $$\left(A_2 B_1\right) \quad \frac{x}{a_2}+\frac{y}{b_1} =1 $$
    $$\\a_1 b_1  =a_2 b_2$$

  • Dans ce message,, j'avais fait des hypothèses sur \( f \) (\( f > 0 \), \( f' < 0 \), \( f'' > 0 \)) pour faciliter la résolution de l'équation :

    \[ \forall x \geq 0, \left( \frac{f(x)^2}{f'(x)^2} - x^2 \right) f''(x) = 0 \quad (*)\]

    Est-ce que quelqu'un sait résoudre rigoureusement ce problème : trouver toutes les fonction $C^2$ sur $\R^+$ vérifiant (*) ?
    Parmi les solutions, on trouve :

    1. Les fonctions \( f \) vérifiant \( f'' = 0 \) sur \( \mathbb{R}^+ \), donc les fonctions affines.
    2. Les fonctions vérifiant \( \frac{f(x)^2}{f'(x)^2} - x^2 = 0 \) sur \( \mathbb{R}^+ \), autrement dit les fonctions \( f \) vérifiant \( f(x) = \pm x f'(x) \) sur \( \mathbb{R}^+ \), donc les droites linéaires \( x \mapsto cx \) et les hyperboles \( x \mapsto \frac{c}{x} \).

    Ma question est : y en a-t-il d'autres ?


    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • john_john
    Modifié (9 Jul)
    Bonjour, fiston,
    soit $F$ et $G$ deux fonctions continues définies sur un même intervalle $I$ ; pour savoir si $FG=0$ implique $F=0$ ou $G=0$, il suffit de savoir si $F$ et $G$ peuvent s'annuler au même point.

    En effet, si $FG=0$, alors $F^{-1}(\{0\}]$ et $G^{-1}(\{0\}]$ sont deux fermés  relatifs dont la réunion est $I$ ; s'ils sont disjoints, alors l'un des deux est vide. Si, au contraire, $F$ et $G$ s'annulent en un même point $x_0$ intérieur à $I$, $F$ pourrait par exemple être nulle à gauche de $x_0$ et $G$ nulle à droite de $x_0$.

    Si $f$ de classe $2$ satisfait à $f''\times(f^2-x^2(f')^2)=0$ sur $\R_+^*$ et n'est ni affine ni de la forme $x\mapsto c/x$, avec $c\neq0$, alors, vu ce qui précède, il existe $x_0$ tel que $f$ soit affine à gauche de $x_0$ et de l'autre forme à droite (ou Lycée de Versailles). Ce cas est donc exclu car $f''$ n'est pas de classe $2$ au voisinage d'un tel point.
  • Merci beaucoup pour ce raisonnement qui nous dispensent de la connaissance  des équations de Clairaut. Merci pour le partage de ce joli problème . 
    Je ne sais pas si tu as vu mon message où j'ai inventé un exercice de ton exercice. Si $\Gamma$ est la courbe issue de la fonction $x\to exp(-x)$ sur $\R^+$, je trouve que l'aire est maximale pour a=1. Quelqu'un peut-il confirmer ?
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • J'avais laissé de côté (provisoirement) l'exercice sur l'extremum de l'aire ! Alors, oui, effectivement : en valeur absolue, l'aire est égale à $(x+1)^2\cdot{\rm e}^{-x}$ et le maximum est atteint pour $x=1$. Avec l'autre exemple, elle est constante.
  • Merci
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • De rien, fiston ! D'ailleurs, le point du graphe qui réalise le minimum de cette aire est $(1,1/{\rm e})$ et, par ce point passe aussi le graphe de $x>0\mapsto1/({\rm e}x)$, ces deux graphes étant en outre tangents. Comme l'aire est constante pour les $x>0\mapsto c/x$, ce n'est évidemment pas une coïncidence.
    Là où la dérivée de $(xy'-y)^2/y'$ s'annule, s'annule aussi celle de $xy$. Si, de plus, $y''$ ne s'annule jamais, les abscisses d'annulation sont les mêmes.
  • Papa, allé je suis au chômage, un autre problème de même type 
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


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