Inclusion de boules dans un espace métrique

Chaurien

• Soit un espace métrique $(E,d)$. Pour $a \in E$ et $r \in \mathbb R_+^*$, je note $B'(a,r)=\{x \in E|d(a,x) \le r \}$. 

C'est la boule fermée de centre $a$ et de rayon $r$.

• Soit  $a \in E$, $r \in \mathbb R_+^*$, $a' \in E$,  $r' \in \mathbb R_+^*$.

• Si $d(a,a') \le r'-r$ alors $B'(a,r) \subset B'(a',r')$. C'est juste une affaire d’inégalité triangulaire.

• Réciproquement, si $(E,\left\Vert {...}\right\Vert)$ est un espace vectoriel normé non réduit à $\{0\}$, avec bien sûr $d(a,a')=\left\Vert {a'-a}\right\Vert $, si $B'(a,r) \subset B'(a',r')$, alors  $d(a,a') \le r'-r$.

• Mais cette réciproque n'est pas assurée dans tout espace métrique, par exemple $\mathbb Z$.

• La question que je me pose est la suivante. Soit $E$ un espace métrique connexe (resp. connexe par arcs) non réduit à un point ; l'inclusion $B'(a,r) \subset B'(a',r')$ implique-t-elle $d(a,a') \le r'-r$ ?

Bonne journée.

Fr. Ch.

07/07/2024

raoul.S

Non. Par exemple $E:=[-1,1]$ muni de la distance usuelle. Alors $B'(1,1) \subset B'(0,1)$ mais $r'-r=0$.

Chaurien

Bravo en merci @raoul.S pour cette prompte réponse. Et si l'on ajoute l'hypothèse « $E$ non borné » ?

raoul.S

Pour un contre-exemple avec $E$ non borné on peut considérer $E:=]-\infty,1]$, comme avant on a $B'(1,1) \subset B'(0,1)$ mais $r'-r=0$.

Titi le curieux

Je balance une idée, mais n'en suis pas sûr.

Nommons droite $(ab)$ l'ensemble des points $c$ tel que soit $d(a,c) = d(a,b) + d(b,c)$, soit $d(b,c) = d(a,c) + d(a,b)$ soit $d(a,b) = d(a,c) + d(b,c)$. On dira que la droite est complète si $\forall x \in \mathbb{R}^*_+$ il y a deux point sur la droite qui sont à distance $x$ sur la droite.

  Il me semble possible que la propriété recherchée soit équivalente au fait que le complété de $E$ (par suite de Cauchy) contienne toute les droites complète $(ab)$ avec $(a,b) \in E^2$.

Edit:  En fait, c'est faux, au moins dans des cas comme $\forall x, y, d(x, y) =1$

Chaurien

Il faudrait trouver une condition que doit vérifier un espace métrique $E$ pour que $B'(a,r) \subset B'(a',r')$ implique  $d(a,a') \le r'-r$.  Mais ça semble difficile.