$\cos(\pi/12)$

LeTamanoir

A partir de l'égalité $(1-i)^6=8i$ déduire la valeur de $\cos(\pi/12)$.

Je transforme l'égalité en $(1-i)^6 = 8 \exp(i (\pi/2 + 2k\pi))$.

J'élève à la puissance $1/6$ : $1-i = \sqrt{2} \exp(i (\pi/12+k\pi/3))$

Dans le cas où $k=0$, $\sqrt{2}^{-1} (1-i) = \cos(\pi/12) + i \sin(\pi/12)$, d'où $\cos(\pi/12) = 1/\sqrt{2}$.

Le résultat est évidemment faux mais pourquoi?

JLT

Si u et v sont des nombres complexes, à quelle condition a-t-on $u^6=v^6$ ?

gebrane

\[ \text{Ça pique les yeux, en latex aurait été mieux} \]

Champagne

$i^4$=1. J'élève à la puissance $\frac{1}{4}$, et ainsi $i=1$. Ça ressemble un peu à ton raisonnement. 

gebrane

A quoi sert l'indication ?,
le calcul se fait très simplement avec la linéarisée de cos²

Fin de partie

$\displaystyle 8=(\sqrt{2})^6$

nicolas.patrois

Champagne a dit :

$i^4$=1. J'élève à la puissance $\frac{1}{4}$, et ainsi $i=1$. Ça ressemble un peu à ton raisonnement. 

Non, ça ne marche pas ainsi avec les nombres complexes (ni même avec les nombres réels).

Champagne le sait, on est d’accord.

LeTamanoir

Merci de m'ouvrir les yeux sur cette non-bijectivité.

J'appelle a = 1-i et b=rac(2) exp(i pi/12)

a^6=b^6 peut s'écrire (a-b)(a+b)(a²+b²+ab)(a²+b²-ab)=0

Comme a est différent de b ou -b il reste deux facteurs à explorer

a²+b²+ab = 0 qui s'écrit b² + (1-i)b + (1-i)² = 0 et qui donne b = ((1-i)+/- rac(3) (1+i))/2

et a²+b²-ab = 0 qui donne b=((-1+i)+/- rac(3) (1+i))/2.

Cos pi/12 étant la partie réelle de b/rac(2) on trouve cos pi/12 = (rac(6)+rac(2))/4 après avoir éliminer les 3 autres valeurs possible par des considérations géométriques (cosinus et sinus positifs).

Voyez-vous à une solution moins fastidieuse ? La question provient d'un exercice du bac C (3 petits points de gagnés pour ceux qui ont trouvé la factorisation et ne se sont pas laissés décourager par les calculs).

Désolé pour la typographie je ne sais pas comment utiliser LaTex.

Fin de partie

$\displaystyle i=\text{e}^{i\frac{\pi}{2}}=\left(\text{e}^{i\frac{\pi}{12}}\right)^6$

$a^6=b^6$ avec $a,b$ non nuls est équivalent à $\dfrac{a^6}{b^6}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^6=1$

Il y a plus qu'à connaître la forme générale des solutions de l'équation $X^6=1$.

jean lismonde

Bonjour

Pour calculer les rapports trigonométriques de l'angle $\frac{\pi}{12}$ tu opères avec les relations trigo :

$cos\frac{\pi}{12}=cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4})=cos\frac{\pi}{3}.cos\frac{\pi}{4}+sin\frac{\pi}{3}.sin\frac{\pi}{4}$

soit     $cos\frac{\pi}{12} =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$sin\frac{\pi}{12}=sin\frac{\pi}{3}cos\frac{\pi}{4}-cos\frac{\pi}{3}sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

et       $tan\frac{\pi}{12}=sin\frac{\pi}{12}/cos\frac{\pi}{12}= 2 - \sqrt{3}$

Cordialement

LeTamanoir

Merci. 3 questions/remarques :

1) Parmi les 6 racines de l'unité comment choisir celle qui nous fournit un cos pi/12 correct ?

2) L'esprit de l'exercice est de partir de (1-i)^6 plutôt que de i.

3) Il reste encore pas mal de calcul pour arriver à cos pi/12

 

Fin de partie

@LeTamanoir:  $0<\dfrac{\pi}{12}<\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\pi}{2}$

Et on a,

\begin{align}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)\text{e}^{-i\frac{\pi}{12}}=\omega\end{align}

avec $\omega$ une racine sixième de l'unité.