Interversion de limite et somme
Réponses
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L'égalité ci-dessous est-elle bien ce que tu veux demander : \[ \lim_{x\to 2} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^{n-2}}{(n-1)!}\left(\ln(x)^{n-1}-\ln(x!)^{n-1}\right) \quad \stackrel{?}{=} \quad \sum_{n=1}^{+\infty}\lim_{x\to 2} \frac{n^{n-2}}{(n-1)!}\left(\ln(x)^{n-1}-\ln(x!)^{n-1}\right)\]Si c'est bien le cas, que signifie pour toi la notation $x!$ lorsque $x$ n'est pas un entier ?
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Oui c’est exactement ça, x! = Gamma ( x+1) , lorsque n est un entier naturel, Gamma(n)= (n-1)!Merci .
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Bonjour,
je n’ai pas reçu de réponse à ma question. Est-elle mal posée? Merci de m’éclairer . -
Le mot clé est « continuité uniforme » peut-être ?« je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
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Sara1993 a dit :Bonjour,
je n’ai pas reçu de réponse à ma question. Est-elle mal posée? Merci de m’éclairer .Bonsoir, voici une référence https://www.wikiwand.com/fr/Th%C3%A9or%C3%A8me_d'interversion_des_limitesUn bon exercice est de démontrer le corollaire du théorème d'interversion des limites. -
Une meilleure question pourrait être : "Voyez-vous un théorème que je pourrais appliquer qui permettrait de justifier cette interversion ?"Là, on a un peu l'impression que tu connais la valeur des deux membres de l'égalité et que tu demandes "Est-ce que c'est égal ?"Ceci étant dit, je n'ai pas encore eu le temps de me pencher dessus pour savoir si on peut appliquer un théorème de convergence uniforme qui ferait l'affaire.
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Si la question concerne l'éventuelle égalité : $$\lim_{x\to 2} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^{n-2}}{(n-1)!}\left(\ln(x)^{n-1}-\ln(x!)^{n-1}\right) \quad \stackrel{?}{=} \quad \sum_{n=1}^{+\infty}\lim_{x\to 2} \frac{n^{n-2}}{(n-1)!}\left(\ln(x)^{n-1}-\ln(x!)^{n-1}\right)$$ mentionnée par bisam, alors on dirait que ce n'est pas égal.
Le membre de droite vaut $0$ car $\lim_{x\to 2} \frac{n^{n-2}}{(n-1)!}\left(\ln(x)^{n-1}-\ln(x!)^{n-1}\right)=0$ par continuité de la fonction gamma.
Tandis que $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^{n-2}}{(n-1)!}\left(\ln(x)^{n-1}-\ln(x!)^{n-1}\right)$ vaut $-\infty$ pour $x>2$, donc la somme de gauche diverge. Pour le montrer j'ai utilisé le théorème des accroissements finis sur $\ln(x)^{n-1}-\ln(x!)^{n-1}$ et l'équivalent donné par Stirling. Mais à revérifier... -
L'égalité $a^{n-1}-b^{n-1}=(a-b)\sum_{i=0}^{n-2}a^{i}b^{n-2-i}$ pour $a=ln(x)$ et $b=ln(x!)$ permet d'étudier finement la série de terme général $\dfrac{n^{n-2}}{(n-1)!}\left(ln(x)^{n-1}-ln(x!)^{n-1}\right)$ ce qui ramène à une série de séries de fonction de $x$. Dans un "petit" intervalle fini et fermé contenant $2$ dans son intérieur la somme $\sum_{i=0}^{n-2}a^{i}b^{n-2-i}$ est aussi proche que l'on souhaite de $\sum_{i=0}^{n-2}ln(2)^{n-2}=(n-1)ln(2)^{n-2}$ : cela par continuité en $2$ . Pour finir "il n'y a plus qu'à" étudier la série de terme général $\dfrac{n^{n-2}}{(n-1)!}(n-1)ln(2)^{n-2}\left(ln(x)-ln(x!)\right)$ réécrit en $\dfrac{(nln(2))^{n-2}}{(n-2)!}\left(ln(x)-ln(x!)\right)$ et là on peut utiliser l'équivalent de Stirling pour $(n-2)!$ en tenant compte du fait que $ln(x)-ln(x!)\rightarrow 0$ est seulement bornée dans tout voisinage de $2$ pour conclure, mais comme l'écrit @JLapin quel est ton niveau d'étude?
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