
Géogébra : comment tracer un arc de conique
Bonjour à tous,
un fil récent, dans lequel il était question de ponctuation de parties cachées, m'a fait réfléchir sur la construction par Géogébra d'arc de coniques. Bien entendu, pour le cas de l'ellipse, on peut se ramener par affinité orthogonale à un arc de cercle, macro incluse dans Géogébra.
Mais pour un arc de parabole, ou d'hyperbole ? La construction ci-jointe montre la construction d'un arc $(AB)$ d'ellipse (mais cela aurait pu être toute autre conique), arc réunion de trois arcs obtenus comme des lieux.
Quelqu'un a-t-il une méthode poins artisanale ? On peut en effet colorier ou ponctuer un lieu, mais on ne peut pas en trouver l'intersection avec un autre objet. C'est ballot...

un fil récent, dans lequel il était question de ponctuation de parties cachées, m'a fait réfléchir sur la construction par Géogébra d'arc de coniques. Bien entendu, pour le cas de l'ellipse, on peut se ramener par affinité orthogonale à un arc de cercle, macro incluse dans Géogébra.
Mais pour un arc de parabole, ou d'hyperbole ? La construction ci-jointe montre la construction d'un arc $(AB)$ d'ellipse (mais cela aurait pu être toute autre conique), arc réunion de trois arcs obtenus comme des lieux.
Quelqu'un a-t-il une méthode poins artisanale ? On peut en effet colorier ou ponctuer un lieu, mais on ne peut pas en trouver l'intersection avec un autre objet. C'est ballot...

Réponses
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Bonjour,Pour une elllipse $e$ il y a la commande arc(e,A,B) (arc de A vers B sens trigo). Voir aussi la commande ParamètreChemin.
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Bonjour à tous,
Je vais suivre ce sujet avec intérêt : je suis régulièrement confronté au même problème.
Pour les ellipses, j'utilise la fonction Arc évoquée par Ludwig.
Mais pour les hyperboles/paraboles, mon infâme bricolage (sans lieux et qui permet des intersections) ne mérite pas d'être décrit ici.
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Merci à tous les deux !
Moët Hennesy (oh, pardon : wait and see). -
Bonjour john_john,
Bien que ma "méthode" soit infâme, j'aimerais la tester voire l'améliorer sur un exemple précis en sorte qu'elle soit "utile".
A cet effet, par exemple pour un arc d'hyperbole, est-il possible que tu donnes ici :
- la définition de l'hyperbole (équation ou foyers et un point, autre ?)
- la définition de l'arc (deux points, autre ?)
Merci d'avance.
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Bonjour, cailloux,
pour la parabole ou l'hyperbole, toute définition (par le(s) foyer(s), par cinq points) est possible, puisqu'il existe des constructions des foyers à partir de cinq points. Il suffira de définir l'arc par deux points d'une même branche, ce qui le caractérise de façon unique.
Le dessin supra est fondé sur le principe suivant : je projette l'arc sur la droite $(AB)$, c'est-à-dire en le segment $[A_0B_0]$ et je relève cette projection ; comme il n'y a pas injectivité, cela nécessite une partition de l'image, ce que j'ai suggéré par trois couleurs différentes.
Cette méthode s'adapterait au cas où l'on voudrait limiter la conique à la partie intérieure à un rectangle.
Amicalement, j__j -
Je me décide tout de même à poster mon "usine à gaz" d'autant plus moche qu'il est impossible d'en faire une macro :
L'hyperbole en pointillé est définie par se foyers $F$ et $F'$ et un de ses sommets $S$.
Deux points $A$ et $B$ sont donnés sur une branche.
$A'$ et $B'$ sont les images de $A$ et $B$ dans la rotation de centre $O'$ et d'angle $\alpha$ (dans le bon sens !) suivie de la translation de vecteur $\overrightarrow {O'O}$
On récupère les paramètres de l'hyperbole avec $a=O'S$ et $b=\sqrt{O'F^2-a^2}$
On utilise la forme réduite en paramétrique : $\begin{cases}x=\dfrac{a}{\cos\,t}\\y=b\,\tan\,t\end{cases}$ et via leurs coordonnées, on détermine les paramètres $t_1$ et $t_2$ des points $A'$ et $B'$ (délicat...)
On trace l'arc d'hyperbole $A'B'$ avec la commande GeoGebra :
Courbe [a/cos(t),b*tan(t),t,$t_1,t_2$]
On transforme enfin cet arc (translation/rotation) pour obtenir l'arc $AB$ en rouge sur la figure.
Bref : l'horreur absolue. Le seul minuscule bon point est que l'arc final reconnaît les intersections GeoGebra.
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Bonjour CaillouxLa figure ci-dessous montre comment construire avec Cabri un arc de parabole passant par $A$, $B$, $C$ et de direction asymptotique $D$.Les données sont donc $A$, $B$, $C$, $D$ et $\alpha\in [BC]$Si le point $\alpha$ décrit toute la droite $BC$, on obtient toute la parabole.Une autre façon de faire pour ceux qui sont obsédés par les calculs serait d'appliquer la formule d'interpolation de Lagrange.Amitiéspappus
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Bonjour pappus,
Merci pour ta très belle figure que je crois avoir comprise : de la Géométrie ! Je vais me permettre quelques critiques :
Mon problème (et je crois que c'est aussi celui de john_john) est purement "logiciel".
En général, la conique en question est définie au départ par ses éléments euclidiens (foyers, directrices ...) ou à l'aide de la commande GeoGebra/Cabri "conique par 5 points".
Dans ta construction, les points $B$ et $C$ sont parfaits pour définir l'arc mais il faut au préalable relier les éléments euclidiens (ou les 5 points) aux données de ta figure (point $A$ et direction asymptotique en plus des points $B$ et $C$).
Autre détail mais qui a son importance :On peut en effet colorier ou ponctuer un lieu, mais on ne peut pas en trouver l'intersection avec un autre objet. C'est ballot...J'ai bien l'impression que ton arc de parabole est un lieu. Sous GeoGebra, un lieu est inutilisable pour une éventuelle suite des évènements (GeoGebra ne sait pas reconnaître une intersection avec un lieu). Je ne sais pas ce qu'il en est avec Cabri ...
Amitiés.
[Edit] Sous GeoGebra, dès qu'on tient un lieu, une solution très moche consiste à balancer 5 points sur le lieu en question. Puis "conique par 5 points". Solution tout à fait "misérable". -
C'est trop compliqué de faire une inversion sur un arc d'ellipse ?Edit : Désolé, j'ai (encore) confondu homographie au sens de $\mathbf{P}^2(\R)$, qui envoie une conique sur une conique, et homographie de $\mathbf{P}^1(\C)$, qui n'a pas cette propriété.
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Bonjour Math Coss,
A priori, je ne sais pas où tu veux en venir mais dans le cas de l'ellipse, la commande GeoGebra "Arc", déjà citée, fonctionne parfaitement.
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On peut obtenir l'intersection d'un lieu avec un autre objet d'une façon détournée. Par exemple, avec l'arc de parabole construit par pappus, on fait varier $\alpha$ avec une vitesse égale à la distance $d$ entre le point $M$ et l'objet en question. Il y a souvent des réglages à faire (il ne faut pas que le point se déplace trop vite, on peut entrer la vitesse $d/10$ par exemple, ou n'importe quel $f(d)$, la fonction $f$ ayant $0$ pour point fixe), mais cela fonctionne très bien. On a l'intersection avec la précision du logiciel, sans difficulté.Il y a quand même un problème : si on bouge $A$, $B$ ou $C$ dans la figure de pappus, le point $M$ va se remettre à bouger, et pas forcément dans la bonne direction, c'est-à-dire que la méthode va diverger. Mais cela peut s'arranger, il faut voir au cas par cas et trouver la bonne fonction $f$, suffisamment robuste.Une intersection entre deux lieux est également possible, en faisant une double convergence.
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Merci à tous ! Il semble donc quasiment obligatoire de manipuler des lieux, avec les restrictions que cela impose. Il y a un principe que j'ai abandonné depuis longtemps : il consiste à retravailler les figures en les exportant vers PsTricks ; la commande clip permet en particulier de limiter tout ou partie d'une figure à l'intérieur d'un rectangle. Cela donne de très bons résultats mais demande un temps fou, ne serait-ce que parce qu'il faut placer des taquets pour savoir où opérer (il est difficile, sinon, de repérer les objets à réduire) et que la figure importée ne commente pas les instructions (par exemple, on aimerait lire (*tracé de la droite g*), fût-ce en anglais). Pis encore : si l'on n'est pas content du résultat, tout est à refaire ; c'est souvent le cas car les étiquettes en LaTeX ont bougé, par rapport à la figure exportée.
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Bonjour,J'ai tenté d'appliquer certaines de vos idées.arc(e,A,B) donne un arc $a$ noir d'ellipse ABCDE qui supporte l'intersection : merci @Ludwig.J'aurais naïvement misé sur "Par une inversion de cercle rouge, l'image d'une conique (noire) est une conique (bleue A'B'C'D'E')" : je pensais que @Math Coss suggérait d'obtenir ainsi les arcs d'hyperboles et de paraboles, que semblent ne pas donner la commande arc.Patatras : le lieu vert $a'$ des images M' des M de $a$ est un truc bizarre [EDIT une quartique bicirculaire, dixit Wikipédia dans l'article Courbe inverse EDIT] qui n'a en commun avec l'ellipse bleue que les points A', B', C', D', E'. Je suis étonné, même si son concours avec le cercle et l'ellipse noire est convaincant, quand l'ellipse bleue le rate, ce concours.Amicalement,Swingmustard
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Bonsoir à tous,
Il n'y a que quelques temps, je me posais la question :
M'enfin, les développeurs de GeoGebra ont su mettre au point la commande "Arc" relative à une ellipse.
Comment se fait-il qu'il n'existe pas son équivalent pour une hyperbole ou une parabole ?
C'est en mettant les mains dans le cambouis qu'on se rend compte des difficultés.
Toutes les solutions proposées ici sont plus ou moins bancales : il n'y a rien d'étonnant ...
A une autre époque, j'ai bataillé ferme avec un certain Zoltan Kovacs, père de la commande "Enveloppe" de GeoGebra.
Il a fini par reconnaître que cette commande ne valait pas grand chose en certaines circonstances.
Nous sommes dans la même situation avec cette histoire d'arcs paraboliques ou hyperboliques sauf que personne ne s'est risqué à mettre au point cette commande.
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@cailloux : ta construction d'un arc d'hyperbole permet d'en prendre l'intersection avec un autre objet ? Chez moi ça ne marche pas.On peut aussi utiliser un paramétrage avec les fonctions hyperboliques, qui permet de fabriquer une macro (voir le fichier parahyp joint, à renommer en ggb). Mais toujours pas d'intersection possible.Pour la parabole on a le paramétrage $M=S+pt^2u/2+ ptv$, où $S$ est le sommet de la parabole, $p$ son paramètre, $u$ le vecteur unitaire de direction $SF$ (voir le fichier paraparabole) et $v$ l'orthogonal de $u$. Pas d'intersection non plus, mais dans les deux cas on peut tricher en prenant l'intersection avec la conique entière puis en vérifiant que le nombre $t$ correspondant à cette intersection est dans l'intervalle associé aux points $A$ et $B$. Si c'est le cas on place un point sous le point d'intersection, sinon le point ne sera pas défini.
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Bonjour Ludwig,
Je ne comprends pas; chez moi, ça marche : le point $E$ est l'intersection de la droite $(CD)$ et de l'arc rouge :
[Edit] Je viens d'ouvrir ton premier fichier : ça marche aussi !
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Ah oui, avec une droite. J'avais essayé avec un cercle.PS : pour mon fichier parabole il faut corriger, c'est $a=Si(ta1 ≟ ta3, ta1, Si(ta1 ≟ ta4, ta1, ta2))$ et $b=Si(tb1 ≟ tb3, tb1, Si(tb1 ≟ tb4, tb1, tb2))$. Pareil pour $t1$ et $t2$ dans l'hyperbole, où il faut aussi tracer les deux arcs de branches pour que ça marche (l'un des deux ne sera pas défini).
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Je constate que tu t'y connais mieux que moi quant aux commandes GeoGebra : tu as évité mes simagrées (rotation translation et retour) en calculant directement les paramètres des points $A$ et $B$ de départ (avec des "sélections" pour que ça marche).
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J'ai juste piqué l'idée sur la page GGB qui explique (mal) la commande PathParameter.Il y a un autre moyen pour la parabole et l'hyperbole : utiliser le graphe d'une fonction, ce qui aura l'avantage de pouvoir construire les points d'intersection de l'arc avec un autre objet. Par exemple, pour l'arc de parabole $\mathcal{A}$ compris entre $P$ et $Q$, on écrit la transformation $\mathcal{E}$ qui permet d'obtenir l'arc $\mathcal{A'}$ : $y=x^2/2p$, pour $x$ compris entre $x_1$ (nombre qui dépend de $P$) et $x_2$ (lié à $Q$). Alors l'intersection de l'arc initial avec par exemple le cercle $\mathcal{C}$ est $\mathcal{E}^{-1}(I)$, où $I=\mathcal{E}(\mathcal{C}) ~ \cap \mathcal{A'}$. Ce point $I$, GeoGebra peut le placer.
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